河北省邯郸市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题（含解析）

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邯郸市2023-2024学年第一学期期末质量检测
高一数学
班级 姓名
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定为
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知正实数x，y满足，则的最小值为
A．7 B．8 C．9 D．10
5．已知角的终边经过点，则
A． B． C． D．
6．已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的一个可能取值是
A． B． C． D．
7．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为
A． B． C． D．
8．已知函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列各组函数中，表示同一个函数的是
A．与 B．与
C．与 D．与
10．已知，则下列不等关系成立的是
A． B． C． D．
11．已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
A．的最小正周期为 B．的定义域为
C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上的值域为
12．已知定义在R上的偶函数满足，且当时，恒成立．则下列说法正确的是
A．函数为奇函数 B．
C． D．函数的图象关于点对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为 ．
14．已知幂函数的图象不经过原点，则实数 ．
15．已知函数，则的解集为 ．
16．某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB区域（如图所示）测量得知，其半径为2km，圆心角为弯，规划局工作人员在上取一点C，作CD∥OA，交线段OB于点D，作CE⊥OA，垂足为E，形成三角形CDE健步跑道，则跑道CD长度的最大值为 km．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
求解下列问题：
（1）计算：；
（2）若，，求的值．
18．（本小题满分12分）
已知．
（1）化简；
（2）若，求的值．
19．（本小题满分12分）
已知定义在R上的函数，是奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明．
20．（本小题满分12分）
已知函数（）的最小正周期为．
（1）求；
（2）已知，，求．
21．（本小题满分12分）
2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产工千块动力电池，将收入万元，且该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入）
（1）求函数的解析式；
（2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？
22．（本小题满分12分）
已知不等式的解集为，函数（，且），（，且）．
（1）求不等式的解集；
（2）若对于任意的，均存在，满足，求实数的取值范围．
邯郸市2023-2024学年第一学期期未质量检测
高一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A C A B B C BC ABC BCD ABD
1．B
解析：∵，∴，故选B．
[命题意图]本题主要考查集合的交集，补集运算，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，属于基础题．
2．D
解析：命题“，”的否定为“，”，故选D．
[命题意图]本题主要考查全称量词命题的否定，该题从数学素养上体现对学生逻辑推理素养的考查，属于基础题．
3．A
解析：因为，当时，或，，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．
[命题意图]充分、必要条件是高考的重要内容，本题主要考查三角函数及充分条件和必要条件的定义，该题从数学素养上体现对学生逻辑推理素养的考查，考查学生的运算求解能力﹐属于基础题．
4．C
解析：由，得，
所以，当且仅当即，时，等号成立，所以的最小值为9，故选C．
[命题意图]基本不等式是高考的重点，本题考查利用基本不等式求最值，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，属于基础题．
5．A
解析：角的终边经过点，则，解得，则点P坐标为，则，故选A．
[命题意图]本题考查任意角的三角函数的定义，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，属于基础题，
6．B
解析：函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，由题知，为奇函数，，，B选项满足条件，故选B
[命题意图]本题主要考查三角函数图象的平移变换和伸缩变换，函数的奇偶性定义和诱导公式的应用，考查学生的数形结合思想和数学思维能力，属于基础题．
7．B
解析：根据题意，设，则，因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，则有，解得，故选B．
[命题意图]本题主要考查复合函数的单调性，考查学生的换元转化和数学思维能力，属于中档题．
8．C
解析：令，则，则，令，得，函数（）的图象如图：
由题意得方程有两个不等实根，，不妨设，则，，令，则，此时解得，或，此时无解，综上所述，实数k的取值范围是，故选C．
[命题意图]本题主要考查函数的零点与方程的解，考查学生综合运用知识的能力，考查学生的逻辑推理、数学运算等数学素养，属于中档题．
9．BC
解析：与解析式不同，故不是同一函数，故A不正确；与定义域都为R，且解析式相同，故是同一函数，故B正确；当时，，当时，，所以，故是同一函数，故C正确；函数的定义域为，函数的定义域为R，两个函数定义域不同，故不是同一函数，故D不正确，故选BC．
[命题意图]本题主要考查函数的三要素，考查学生综合运用知识的能力，属于基础题．
10．ABC
解析：对于A，∵，，∴，故A正确；对于B，∵，∴，∵，∴，故B正确；对于C，∵，∴，∵，∴，∴，故C正确；对于D，∵，，∴，∴，故D不正确，故选ABC．
[命题意图]不等式性质是不等式部分的重点，本题主要考查不等式的基本性质及其应用，考查学生的数学运算素养，属于基础题．
11．BCD
解析：由图象知，∴函数的最小正周期为，故A不正确；∵函数的最小正周期，∴，∴，则，，即，，∵，∴当时，，则，∵，∴，则，∴，由，，得，，故的定义域为，故B正确；∵，∴点是函数图象的一个对称中心，故C正确；当时，，∴，故D正确，故选BCD．
[命题意图]本题主要考查正切函数的图象和性质，根据函数图象确定函数的解析式是解决本题的关键，考查学生的数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
12．ABD
解析：∵，令，可得，∴函数为奇函数，故A正确；∵，当时，，，又函数为偶函数，，由A知，∴，可得，则，函数的周期为4，且，∴，∴，故B正确；∵时，恒成立，∴函数在上单调递增，，即，矛盾，故C不正确；，∴函数的图象关于点对称，∵函数的周期为4，函数的图象关于点对称，故D正确，故选ABD．
[命题意图]本题考查抽象函数的性质，考查学生综合运用知识的能力，考查学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的数学素养，属于中档题．
13．
解析：由题意可得，则，即且，所以函数的定义域为．
[命题意图]本题考查函数的定义域的求法，考查分式不等式的解法，考查学生的数学运算能力，属于基础题．
14．
解析：根据幂函数的定义可得，解得或，当时，不经过原点，符合题意；当时，过原点，不符合题意，故．
[命题意图]本题主要考查幂函数的概念和图象性质，考查学生对基础知识的掌握情况和数学运算素养，属于基础题．
15．
解析：的定义域为R，，∴为偶函数，当时，，∴在上单调递增，由偶函数的性质得，即，则，两边平方得，解得，所以的解集为．
[命题意图]本题主要考查函数的奇偶性和单调性以及函数与不等式综合应用，考查学生综合运用知识的能力和数学运算能力，属于中档题．
16．
解析：如图，过点O作CD的垂线，垂足为F，连接OC，设（），则，，又，所以．因为，所以，所以当，即时，CD取到最大值．
[命题意图]三角函数是高考的重点，本题主要考查利用三角函数解决实际问题，考查学生运算求解能力和数学建模能力，属于中档题．
17．解：
（1）．
（2）∵，，
∴，，
∴．
[命题意图]本题主要考查指数、对数的运算，考查学生运算求解的能力，属于基础题．
18．解：
（1）．
（2）由（1）得，
所以
．
[命题意图]本题主要考查诱导公式及同角三角函数的基本关系式，考查学生灵活变形和转化的能力，考查学生运算求解能力，属于基础题．
19．解：
（1）因为定义在R上的函数是奇函数，
所以，即，①
又，所以，②
由①②得，，所以，
又，符合题意，
故实数a的值为，实数b的值为1．
（2）函数在R上单调递减，
证明：在R上任取，
则，
因为，所以，又，，
所以，即，
所以函数在R上单调递减．
[命题意图]本题主要考查函数奇偶性的性质，函数单调性的证明，考查学生逻辑思维能力和运算求解能力，考查学生综合运用知识的能力，属于基础题．
20．解：
（1）
，
因为，函数的最小正周期，可得，
所以．
（2），可得，
因为，所以，所以，
所以，
所以
．
[命题意图]本题主要考查三角函数的性质、三角恒等变换等基础知识，考查学生运算求解能力、推理论证能力、转化与化归思想．
21．解：
（1）由题意得，
∵，
∴当时，，
当时，，
综上所述，函数的解析式为．
（2）由（1）得，
当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴；
当时，
，
当且仅当，即时，，
∵，
∴的最大值为207.5，
故当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元．
[命题意图]本题考查函数的实际应用和分段函数的性质，考查函数思想、转化思想和分类讨论思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22．解：
（1）不等式的解集为，
∴，，
∴，，
∴即为，解得或，
∴不等式的解集为．
（2）由题意可知，
，，
令，则，，对称轴方程为，
①若，即时，当时，，即，
此时在上单调递减，，
由，得；
②若，即时，当时，，即，
此时在上单调递增，，
由，得；
③若，即时，当时，，即，
此时在上单调递增，，
由，得，
综合①②③可知，
即实数的取值范围是．
[命题意图]本题主要考查一元二次不等式与方程的关系及一元二次不等式的解法，考查函数恒成立问题和存在性问题，考查学生分类讨论的数学方法，考查学生换元和转化的思想方法，考查数学逻辑思维能力和数学运算素养，属于难题．