第21章：圆（上） 单元测试（基础卷一）（含解析） 2023-2024年 九年级 上学期 数学 京改版 上册

2023-2024学年京改版九年级圆（上）单元测试
（基础卷一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
2．（本题3分）设⊙O的半径为r，P到圆心的距离为d不大于r，则点P在( )
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．不在⊙O内 D．不在⊙O外
3．（本题3分）已知的半径为2，若，则点P与的位置关系是（　　）
A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断
4．（本题3分）如图，是的外接圆，直径，弦，则弦等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．8
5．（本题3分）若⊙A的半径是5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，则点P与⊙A的位置关系是（ ）
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定
6．（本题3分）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（ ）
①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
7．（本题3分）如图，在⊙O中，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=8，则CD的长为（　　）
A．4 B．8 C．8 D．16
9．（本题3分）如图，ABC内接于⊙，于点D，若CD＝BD，⊙的半径为4，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（　　）
A． B．2 C．2 D．3
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）在圆内接四边形中，的度数为，则 ．
12．（本题3分）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝40°，则∠OAC＝ 度．
13．（本题3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝10，BD＝6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为 ．
14．（本题3分）如图，已知是的直径，，交于，且，则的度数为 ．
15．（本题3分）已知半径为6，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点与的位置的关系是 ．
16．（本题3分）如图，点A．B．C在⊙O上，．弧AB的度数为 ．
17．（本题3分）如图，在正十边形中，连接，，则 ．
18．（本题3分）如图，在锐角中，，AE是中线，BF和CD是高则下列结论中，正确的是 （填序号）．
①
②
③是等边三角形
④．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）在 中，①是直径；②，垂足为；③；④；⑤．
请从上述五个命题中选出两个作为已知条件，三个作为结论并证明．
(1)已知： ，求证： ．
(2)证明：
20．（本题8分）已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD
21．（本题8分）在直径为100cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝80cm，求油的最大深度．
22．（本题10分）已知，AB是的直径，弦于点E
(1)如图①，若，，求的直径；
(2)如图②，连接并延长交于点M，连接MB，若，求的度数．
23．（本题10分）如图，AB，DF是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且，过点D作DE⊥AB于点E．
(1)证明：F是的中点；
(2)若，求FC的长．
24．（本题10分）如图，已知的半径为，在中，是圆的半径，且，点C在线段的延长线上，且．
(1)求线段的长；
(2)求的正弦值．
25．（本题12分）1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为，拱高（即弧的中点到弦的距离）为，求桥拱所在圆的半径（结果精确到）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据点与圆的位置关系得出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点A在圆上，
故选：B．
【点睛】题考查了点与圆的位置关系，能熟记点与圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知和一点A，点A到圆心O的距离为d， 的半径为r,①当时，点A在上，②当时，点A在内，③当时，点A在外，反之亦然．
2．D
【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：已知点P到圆心O的距离d不大于r，当大于r时点P在圆外，因而则点P不在⊙O外．
故选D．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
3．A
【分析】直接根据点与圆的位置关系进行求解即可．
【详解】解：由的半径为2，又因为，
∴点P到圆心的距离等于半径，
∴点P在上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
4．A
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，继而根据勾股定理即可求解．
【详解】∵为直径，
∴，
在中，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角．
5．B
【分析】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵圆心A的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），
∴PA==5，
∵⊙A半径为5，
∴点P点圆心的距离等于圆的半径，
∴点P在⊙A上．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
6．B
【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．
【详解】解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，
∴CE=DE，，，
∴∠BOC=2∠A=40°，，
即，故③正确；
∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，
∴∠C=50°，故②正确；
∵∠C≠∠BOC，
∴CE≠OE，故①错误；
作OP∥CD，交AD于P，
∵AB⊥CD，
∴AE＜AD，∠AOP=90°，
∴OA＜PA，OE＜PD，
∴PA+PD＞OA+OE
∵OE＜OA，
∴AD＞2OE，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7．A
【分析】连接，由垂径定理可得，再利用圆周角定理即可得到答案．
【详解】如下图，连接
，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．B
【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于 O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以
然后利用CD=2CE进行计算．
【详解】解：∵
∴
∵O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴
∴
故选:B.
【点睛】考查垂径定理， 等腰直角三角形， 圆周角定理，综合性比较强，注意垂径定理的应用.
9．D
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理可得，再根据弧长公式计算可得答案．
【详解】解：连接OA，OC，如图，
∵CD＝BD，且
∴，
∴
又OC=4，
∴劣弧的长为
故选：D
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及求弧长，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．
10．C
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．
【详解】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E=∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB是等腰直角三角形是解题关键．
11．80
【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A=180°，
∴∠C=180°-100°=80°．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
12．50
【分析】根据BC是直径得出∠B＝∠D＝40°，∠BAC＝90°，再根据半径相等所对应的角相等求出∠BAO，在直角三角形BAC中即可求出∠OAC
【详解】∵BC是直径，∠D＝40°，
∴∠B＝∠D＝40°，∠BAC＝90°．
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠B＝40°，
∴∠OAC＝∠BAC﹣∠BAO＝90°﹣40°＝50°．
故答案为50
【点睛】本题考查了圆的基本概念、角的概念及其计算等腰三角形以及三角形的基本概念，熟悉掌握概念是解题的关键
13．4或2.56．
【分析】证明，可得DB2＝CD AD，由切线的性质以及勾股定理求得的长，分当∠AEP＝90°时和当∠APE＝90°时，求解即可．
【详解】解：如图，连接，
是的切线，是的直径，
，
又，
，
，
DB2＝CD AD，
∵过B点的切线交AC的延长线于点D，
∴AB⊥BD，
∴AB＝＝＝8，
当∠AEP＝90°时，
∵AE＝EC，
∴EP经过圆心O，
∴AP＝AO＝4；
当∠APE＝90°时，则EP∥BD，
∴＝，
∵DB2＝CD AD，
∴CD＝＝＝3.6，
∴AC＝10﹣3.6＝6.4，
∴AE＝3.2，
∴＝，
∴AP＝2.56．
综上AP的长为4或2.56．
故答案为4或2.56．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
14．
【分析】连接OB．在△AOB和△AOE中利用三角形的外角的性质，外角等于不相邻的两个内角的和即可求解．
【详解】连接OB．设∠A=x．
∵AB=OC，OB=OC，∴∠BOA=∠A=x，∴∠EBO=∠A+∠BOA=2x．
又∵OB=OE，∴∠E=∠EBO=2x．
∵∠EOD=∠E+∠A=2x+x=3x，即3x=75，解得：x=25．
则∠A的度数是25°．
故答案为25°．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质，正确根据等腰三角形的性质得到∠A、∠E与以及∠EOD的关系是本题的关键．
15．点P在⊙O内．
【分析】先根据两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O的位置关系．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，
∵半径为6，
∵5＜6，
∴点P在的内部；
故答案为：点P在⊙O内．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外 d＞r；当点P在圆上 d=r；当点P在圆内 d＜r．
16．
【分析】在⊙O中，和对着同一条弧，根据圆周角定理，可得出的度数，再根据弧与圆心角的关系即可得到答案．
【详解】解：在⊙O中，和对着同一条弧，
又，
，
因为弧的度数和它所对的圆心角的度数相等，
所以的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系知识点，找出同弧所对的圆周角及圆心角是解题的关键．
17．/54度
【分析】找出正十边形的圆心O，连接A7O，A4O，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：如图，设正十边形内接于⊙O，连接A7O，A4O，
∵正十边形的各边都相等，
∴∠A7OA4=×360°=108°，
∴∠A4A1A7=×108°=54°．
故答案为：54．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
18．①②③④
【分析】通过证明点B，点C，点F，点D四点在以BC为直径的圆上，由圆周角定理可得∠CEF=2∠CDF，故②正确，通过证明△ABC∽△AFD，可得，由直角三角形的性质可得AC=2AD，可得BC=2DF，故①正确；由直角三角形的性质可得DE=EF=DF，可证△DEF是等边三角形，故③正确；由勾股定理可得BD2+CD2=BC2=CF2+BF2，可判断④正确，即可求解．
【详解】解：∵AE是中线，
∴BE=EC，
∵BF⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BFC=∠BDC=90°，
∴点B，点C，点F，点D四点在以BC为直径的圆上，
∴点E是圆心，
∴∠CEF=2∠CDF，故②正确，
∵四边形BDFC是圆内接四边形，
∴∠ADF=∠ACB，∠AFD=∠ABC，
∴△ABC∽△AFD，
∴，
∵∠BAC=60°，CD⊥AB，
∴∠ACD=30°，
∴AC=2AD，
∴，
∴BC=2DF，故①正确；
∵∠BFC=∠BDC=90°，BE=EC，
∴DE=EF=，
∴DE=EF=DF，
∴△DEF是等边三角形，故③正确；
∵∠BFC=∠BDC=90°，
∴BD2+CD2=BC2=CF2+BF2，
∴CF2-CD2=BD2-BF2，
∴（CF+CD）（CF-CD）=（BD+BF）（BD-BF），
∴（CF+CD）：（BD+BF）=（BD-BF）：（CF-CD），故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关知识，证明相似是解题的关键．
19．(1)①②；③④⑤
(2)证明过程见详解
【分析】（1）已知，① 是直径 ；② ，垂足为，求证③ ；④；⑤ ，是证明垂径定理的性质；
（2）如图所示（见详解），连接，可得等腰直角三角形，，由三角形全等即可求证．
【详解】（1）解：根据是直径 ，，垂足为，可证明；；成立，是垂径定理的性质，
∴已知是直径 ，，垂足为，求证；；．
（2）解：如图所示，
是直径 ，，垂足为，连接，，
∵，是半径，，
∴，，，
∴，
∴；
∵，
∴，则，
∴，，同圆中，等角所对的弧相等．
【点睛】本题主要考查圆的垂径定理的性质的证明，掌握圆中直径、半径、弦的位置关系，圆心角与所对弧的关系是解题的关键．
20．见解析
【分析】根据角之间的关系，得到，再根据弦与圆心角的关系，即可求解．
【详解】证：∵
∴
∴
【点睛】此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等，解题的关键是掌握它们之间的关系．
21．油的最大深度是20cm．
【分析】先连接OA，过点O作OC⊥AB，交⊙O于D，根据垂径定理，即可求得AC的值，然后在Rt△OAC中，利用勾股定理，即可求得OC的值，继而求得油的最大深度．
【详解】如图，过O作OC⊥AB于点C，并延长交⊙O于点D，连接OA，
依题意得CD就是油的最大深度，
根据垂径定理得：AC＝AB＝40cm，OA＝50cm，
在Rt△OAC中，根据勾股定理得：OC＝＝＝30（cm），
∴CD＝OD﹣OC＝50﹣30＝20（cm），
答：油的最大深度是20cm．
【点睛】此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
22．(1)20
(2)
【分析】（1）连接，先根据垂径定理得出的长，再设，则，在中根据勾股定理求出r的值，进而可得出结论；
（2）先根据垂径定理得出 再由得出 ，故可得出 ，再由是的直径得出 对应圆心角的度数，进而可得出结论．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
是的直径，弦于点E，，
．
设，则， B在中，
， 即 ，
解得，
；
（2）是的直径，弦于点E，
，
，
是的直径，
对应的圆心角为，
．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理解答是解出此题的关键．
23．(1)见解析
(2)FC=
【分析】（1）连接BF，OC，根据，可得∠CBF=∠OFB，再由圆周角定理可得∠COF=∠BOD，从而可得，进而得到，即可求证；
（2）作OH⊥BC于点H，连结BD，先证得△OHB≌△DEO，可得OH=DE=2，从而得到，继而得到BE= 1，再由勾股定理可得BD的长，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接BF，OC，
∵，
∴∠CBF=∠OFB，
∵∠COF=2∠CBF，∠BOD=2∠OFB，
∴∠COF=∠BOD，
∴，
∵∠AOF=∠BOD，
∴，
∴F是的中点 ；
（2）解：作OH⊥BC于点H，连结BD，
∵，
∴∠CBO=∠BOD，
∵OD=OB，∠OED=∠OHB=90°，
∴△OHB≌△DEO，
∴OH=DE=2，BH=OE，
∵OH⊥BC，BC=3，
∴BH=OE=1.5，
∴，即BE=OB-OE=OB-BH=1，
∴，
∵，
∴FC=BD=．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，根据，得到是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）过点O作于点D，根据，可得是等腰直角三角形，从而得到，，即可求解；
（2）过点B作于点E，在中，根据锐角三角函数，可得，从而得到，再由锐角三角函数，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点O作于点D，
∵的半径为，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点B作于点E，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
25．．
【分析】利用勾股定理和垂径定理解答．
【详解】解：如图，∵,拱桥的跨度AB＝37.4m，拱高CD＝7.2m，
∴AD＝AB＝18.7m，
∴AD2＝OA2 （OC CD）2，即18.72＝AO2 （AO 7.2）2，
解得AO≈27.9m．即圆弧半径为27.9m．
答：桥拱所在圆的半径为27.9m．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，注意数形结合思想与方程思想的应用．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页