2023年秋期高中二年级期终质量评估
数学试题
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题
卡的指定位置上，在本试卷上答题无效
2.答题前，考生务必先将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上，
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳
素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效！
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损，
第I卷选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1.若A号=C%,则n=
A.9
B.8
C.7
D.6
2.点P为两条直线2x一3y十1=0和x+y一2=0的交点，则点P到直线l:kx一y十k十2=
0的距离最大为
A写
B.√5
C.6⑤
5
D.5
3.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的
学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的
学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为
A易
B8
c
D品
4.已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为4，渐近线方程为x士2y=0,则双曲线的标准方程为
A弱-苦-1
B苦-需=1
cy-若=1
D.若-y2=1
5.南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展
示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口。南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）。某学
校计划于2024年3月4日（周一）一3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学
去南阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、
高三年级各需要一天，则不同的方案有
A.20种
B.50种
C.60种
D.100种
6.若椭圆琴+荒=1和双尚线号一-兰-1的共同焦点为R,5,P是两曲线的一个交点，则
△PFF2的面积值为
A.4
B.8
C.12
D.16
7.已知过点P(x,yo,)且法向量为n=(A,B,C)的平面a的方程为A(x一xo)十B(y一
高二数学第1页（共4页）
y)十C(之一)=0.若平面&的方程为x十y一之一3=0，直线l是平面x十2y一1=0与
x十之十3=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为
A.3
3
B号
C⑤
D.v6
3
3
8.在正方体ABCD一AB1CD1中，点P在底面ABCD所在的平面上运动.下列说法不正确
的是
◇
A.若点P满足D1P⊥AC,则动点P的轨迹为一条直线
A
B.若DA=1,动点P满足|DP|=√3，则动点P的轨迹是圆
C.若点P到点A与点C的距离比为2：1，则动点P的轨迹是椭
圆
D.若点P到直线AB的距离与到直线CC,的距离相等，则动点
P的轨迹为抛物线
B
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9.已知空间直角坐标系O-xyz中，点A(3,0,5),B(2,3,0),C(0,5,0),则下列各点在平面
ABC内的是
A.D(4,-1,2)
B.E(3,2,0)
C.F(-1,4,5)
D.G(1,2,5)
10.下列说法不正确的是
A.过点(3,4)且在x,y轴上的截距相等的直线方程为x十y一7=0
B.过点P(2,1)与圆x2+y2=5相切的直线有两条
C若二项式（分-x)”的展开式中所有项的系数和为一8，则展开式共有7项
D.设随机变量服从正态分布N(0,1),若P(>1)=p,则P(-1<×0)=-p
11.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所
著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何
排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结
杨辉三角
论错误的是
第0行
1
第1行
11
A.C+Cg+…+C8=210
第2行
121
第3行
B.第2023行中从左往右第1011个数与第1012
1331
第4行
14641
个数相等
第5行
15101051
1615201561
+1
第6行
C记第n行的第i个数为a,则分3a,=尘
第7行
172135352171
第8行18285670562881
D.第20行中第12个数与第13个数之比为4：3
12.已知抛物线C:y2=2pz(p>0)的焦点F与椭圆
g十名=1的右焦点重合，过F的直线
交C于A、B两点，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M,则下列结论正
确的是
A.|AB|≥4
AB的最小值为2
M
C.△ABM的面积为定值
D.若M在x轴上，则△ABM为直角三角形
高二数学第2页（共4页）2023年秋期高中二年级期终质量评估
数学试题参考答案
一、选择题
1.B 2.B 3.C 4.D 5.C 6．A 7.A 8.C
二、多项选择题
9.BCD 10.ABC 11.AB 12.ABD
三、填空题
13. y2 4x（答案不唯一，只要 2p 4
9
.） 14.0.09（或 ）
100
4
15. 16. 2
7 2
四、解答题（答案仅供参考，各小题若有其他解法，请酌情给分）
17、解：（1）若选①，因为直线 4x 3y 0的斜率为 4 ，直线 l与直线 4x 3y 0垂直，
3
3
所以直线 l的斜率为 k . ……2分
4
3
依题意，直线 l的方程为 y 2 x 1 ，即3x 4y 5 0； ……5分
4
3
若选②，因为直线 l的一个方向向量为 v 1, ，
4
3
所以直线 l的斜率为 k ， ……2分
4
3
直线 l的方程为 y 2 x 1 ，即3x 4y 5 0 . ……5分
4
（2）由（1）可得：直线 l的方程为3x 4y 5 0。
圆 x2 y2 10的圆心 0,0 到直线3x 4y 5 0的距离为：
d 5 1
2 2 . ……7分3 4
又圆 x2 y2 10的半径为 r 10，
所以 AB 2 r 2 d 2 2 10 1 6 . ……10分
18、解：（1）设事件 C：用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球. ……1分
因为采取放回抽样方式，
2 3
所以每次摸一个白球的概率为 ，每一次摸一个黑球的概率为 ， ……3分
5 5
P(C) 3 2 2 3 12所以 .
5 5 5 5 25
12
即用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球的概率为 . ……6分
25
（2）设事件A为第一次摸到黑球，
1
{#{QQABRQQAogAIAABAAAhCQw0aCkEQkBGACCoGgFAMMAAASBNABAA=}#}
事件 B为第一次摸到黑球，第二次也摸到黑球， ……7分
所以 P(A)
3 3 2 3
， P(AB) ， ……9分
5 5 4 10
所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为：
3
P(B A) P(AB) 1 10 . ……12分
P(A) 3 2
5
19、解：【方法一】
（1）因为 AC1 AB BC CC1 AB AD AA1 a
b c， ……1分
又底面 ABCD是正方形， BAA1 DAA1 , AB 1, AA1 2，3
所以 a b AB AD 0,a c AB AA1 AD AA1 b c 1 2 cos60 1 ……4分
AC | a b c | a 2 b 2 c 2 2a
所以 1 b
2a c 2b c
1 1 4 0 2 1 2 1 10 . ……6分
（2）因为 A1B AB AA1 a c， ……7分
2
所以 A1B | a c | a c
2 2a c 1 4 2 3， ……8分
又 AC1 A1B (a
b c ) (a c ) a 2 a b b c c 2 1 0 1 4 4， ……10分
设直线 AC1与 A1B所成角为 ，
AC1 A1B 4cos 2 30所以 ，
AC1 A1B 10 3 15
2 30
即直线 AC1与 A1B所成角的余弦值为 . ……12分
15
【方法二】
如图示，以 A为原点， AB, AD分别为 x、y轴正方向建立空间直角坐标系，则
A 0,0,0 , B 1,0,0 , C 1,1,0 , D 0,1,0 , ……2分
2
{#{QQABRQQAogAIAABAAAhCQw0aCkEQkBGACCoGgFAMMAAASBNABAA=}#}
. ……4分A1 1,1, 2 , B1 2,1, 2 , C1 2,2, 2 , D1 1,2, 2
（1） AC1 2,2, 2 , ……6分
所以 AC 2
2
1 2 2
2 2 10 . ……8分
（2） AC1 2,2, 2 ， A1B 0, 1, 2 . ……10分
设直线 AC1与 A1B所成角为 ，
AC1 Acos 1
B 4 2 30
所以 ，
AC1 A1B 10 3 15
2 30
即直线 AC1与 A1B所成角的余弦值为 . ……12分
15
20、解：（1）设椭圆 C的半焦距为 c 0，
2
c 1, PF 1 1 2 3 0 5 3则 1 , PF2 ，
2 2 2
可得 PF PF 4 2a，即 a 2，则b2 a2 c21 2 3， ……4分
x2C y
2
所以椭圆 的标准方程为 1. ……5分
4 3
（2）由题意可知：M 2,0 .
若直线 l的斜率不为 0时，设 x= ty+n(n 2)，
x ty n
2 2 2 2 2联立方程 x y ，消去 x得 3t 4 y 6tny 3n 12 0，
1 4 3
6tn 3n2 12
则 0，可得 y1 y2 , y y3t2 4 1 2
2 ， ……7分3t 4
uuur uuur
又因为MA x1 2, y1 ,MB x2 2, y2 ，
uuur uuur
由题意可知：MA MB x1 2 x2 2 y1y2 0， ……8分
则 ty1 n 2 ty2 n 2 y1y2 0，
2 2
整理得 t 1 y1y2 t n 2 y1 y2 n 2 0，
3 t2 1 n2 4 6t2n n 2则 n 2 2 0，
3t2 4 3t2 4
3
{#{QQABRQQAogAIAABAAAhCQw0aCkEQkBGACCoGgFAMMAAASBNABAA=}#}
3 t2 1 n 2 2
又因为 n 2，则 n 2 0 ，可得 6t n
2 n 2 0，3t 4 3t2 4
2 2 2
整理得 n ，即直线 l : x= ty+ 过定点 ,07 7 7
； ……10分
若直线 l的斜率为 0，则 A x1, y1 ,B x1, y1 ，
uuur uuur
又因为MA x1 2, y1 ,MB x1 2, y1 ，
uuur uuur
由题意可知：MA MB 4 x2 y21 1 0
2 2
，即 x1 y1 4
x2 2
且 1
y
1 1，解得 y1 0，此时直线 l : y 0，不合题意；
4 3
l
2
综上所述：直线 过定点 ,0 . ……12分
7
21、（可用综合几何法证明、求解，请按照步骤酌情给分。）
解：由题意，可以 B为原点，BC,BA,BP分别为 x, y, z轴正方向建立
如图所示的空间直角坐标系，则
B 0,0,0 , C 6,0,0 , D 3,6,0 , A 0,6,0 , P 0,0,5 N 3,0, 5 2 .
（1）显然 BC 6,0,0 为平面 PAB的一个法向量.
DN 而 0, 6,
5
.2
因为 BC DN 0 0 0 0 ,所以 BC DN .
又DN 平面 PAB，所以DN //平面 PAB . ……4分
n BP 0 0 5z 0
（2）设 n x, y, z 为面 PBD的一个法向量，则 ，
n BD 3x 6y 0 0
不妨设 y 1，则 n 2,1,0 . ……6分
5
n DN 2 0 1 6 0 6 5
记点 N到面 PBD的距离为 d，则 d 2 .
n 2 2 12 02 5
6 5
即点 N到面 PBD的距离为 . ……8分
5
（3）显然 BA 0,6,0 为平面PBC的一个法向量.
m AP 0 6y 5z 0
设m x, y, z 为面 PAD的一个法向量，则 ，
m AD 3x 0 0 0
不妨设 y 5，则m 0,5,6 . ……10分
4
{#{QQABRQQAogAIAABAAAhCQw0aCkEQkBGACCoGgFAMMAAASBNABAA=}#}
设平面 PAD与平面 PBC的夹角为 ，则
cos cos BA,m B A m 0 30 0 5 61 .
BA m 6 02 62 52 61
5 61
即平面 PAD与平面 PBC的夹角的余弦值为 . ……12分
61
22、解：（1）随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2，3 . ……1分
C 0C3
P(X 0) 5 5 10 1
C1C 2
P(X 1) 5 5 50 5由题意可得： C310 120 12
， C310 120 12
，
C 2C1 50 5 C3C 0P(X 2) 5 5 10 1 3 P(X 3)
5 5
C ， 3
10 120 12 C10 120 12
， ……3分
随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 5 5 1
P
12 12 12 12
……4分
E(X ) 0 1 1 5 2 5 1 3均值 3 ． ……5分
12 12 12 12 2
（2）①设该划线分为m，由Y ~ N (75.8,36)得 75.8, 6，
Y Y 75.8令 ，则Y 6 75.86 ， ……6分
由题意， P Y≥m 0.85，即 P 6 75.8 m 75.8 ≥m P ≥ 0.856 ，
Q ~ N (0,1)， P( 1.04) 0.85， P 1.04 0.85，
m 75.8
1.04， m 69.56，取m 70． ……8分
6
②由①讨论及参考数据得
P Y≥71 P 6 75.8≥71 P ≥ 0.8 P ≤0.8 0.788，
即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为 0.788， ……9分
~ B(800,0.788)， P( k) C k 0.788k (1 0.788)800 k800 ．
P k P k 1 ,
由 P k P k 1 , ……10分
C k 0.788k (1 0.788)800 k800 C
k 1 0.788k 1800 (1 0.788)
801 k ,
即 C k 8000.788
k (1 0.788)800 k C k 1 0.788k 1800 (1 0.788)
799 k ,
解得 630.188≤ k≤631.188，
k N， k 631，
当 k 631时， P( k )取得最大值． ……12分
5
{#{QQABRQQAogAIAABAAAhCQw0aCkEQkBGACCoGgFAMMAAASBNABAA=}#}
