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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 北师大版 册、章 七年级下册 第1章
课标要求 1、在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义．2、能分析简单问的数量关系，并用代数式表示．3、会求代数式的值:能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．4、了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)．5、了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算(其中的多项式相乘仅指一次式相乘)．6、会推导乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;(a+b)2a2十2ab+b2,了解公式的几何背景，并能进行简单计算．
内容分析 本章的主要内容有:(1)幂的有关运算性质(同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法)；(2)整式的乘法；(3)乘法公式(平方差公式、完全平方公式)；(4)整式的除法. 本章是继七年级上册第三章整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，也是八年级下册第四章因式分解和第五章分式学习的基础，因此，本章内容的地位至关重要.本章内容是中考的必考内容，主要考查幂的运算性质，与整式运算有关的计算、化简求值，用科学记数法表示一个绝对值小于1的数，题型多以选择题、填空题为主，难度不大．
学情分析 学生的知识技能基础:学生在这一章中学习了幂的运算、整式的乘除法等知识，还运用这些知识解决了一些相关的实际问题，在第一课时的复习中，学生已经完成了对本章知识体系的整体认知，进行了幂的运算和简单的整式乘除运算的练习，但容易混淆的乘法公式、稍复杂的综合题目还未进行复习与练习．
单元目标 （一）教学目标1.体会和掌握类比的思想方法，如通过数的运算，类比归纳得出整式的运算性质. 2.体会和掌握转化的思想方法，如将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式进行计算. 3.体会和掌握数形结合的思想方法。在学习本章内容时，要注意代数与几何之间的联系，如在整式乘法和乘法公式部分，借助几何图形对运算法则及公式作了直观解释，体现了数形结合的思想方法.（二）教学重点、难点教学重点:幂的运算，整式的乘除运算，乖法公式.教学难点:幂的运算法则及平方差公式和完全平方公式的灵活运用．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架1.教材特点分析：本章在呈现形式上力求突出:整式及整式运算产生的实际背景--使学生经历实际问题“符号化”的过程，发展符号感；有关运算法则的探索过程--为探索有关运算法则设置了归纳、类比等活动；对算理的理解和基本运算技能的掌握---设置恰当数量和难度的符号运算，同时要求学生说明运算的根据.2.本章教学建议：（1）、注重使学生经历用字母表示数量关系的过程，进一步发展符号感.（2）、以“观察一--归纳--类比猜想-朴括”为主线索呈现运算法则的探索过程，注重对运算法则的探索过程以及下一篇理的理解，发展有条理的思考与表达.（3）、以"观察--归纳--类比猜想--概括”为主线索呈现运算法则的探索过程，注重对运算法则的探索过程以及对算理的理解，发展有条理的思考与表达.（4）、注重在代数学习中发展学生的推理能力，培养表达能力.（5）、保证基本的运算技能，避免繁杂的运算.3.单元知识结构框架：课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1 同底数幂的乘法11.2.1 幂的乘方11.2.2 积的乘方11.3.1 同底数幂的除法11.3.2用科学记数法表示较小的数11.4.1 单项式乘以单项式11.4.2单项式与多项式相乘11.4.3多项式与多项式相乘11.5.1平方差公式的认识11.5.2平方差公式的应用11.6.1完全平方公式的认识11.6.2完全平方公式的应用11.7.1单项式除以单项式11.7.2多项式除以单项式1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1 同底数幂的乘法 1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算．1.正确地理解同底数幂的乘法的运算性质以及会运用性质进行有关计算．2.同底数幂的乘法的运算性质的推导与理解以及灵活运用性质解决相关问题．活动一：通过创设问题情境，借助生活实例让学生独立思考数学问题．活动二：通过例2的讲解，让学生学会运用性质进行计算，在积累解题经验的同时，体会将同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算的思想.1.2.1 幂的乘方1.理解并掌握幂的乘方法则;2.掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活运用.1.幂的乘方运算性质．2.幂的乘方运算性质的灵活运用.活动一：学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论．活动二：探究巩固例题．学生小组合作完成，上黑板展示,讲解．1.2.2 积的乘方1.经历探索积的乘方运算性质的过程，进一步体会积的运算法则.2.会运用积的乘方的运算性质进行运算．1.正确熟练运用积的乘方的运算性质．2．积的乘方的运算性质的探索过程及其应用方法．活动一：经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性．通过探索练习所导出的规律，获得新的知识．活动二：探究巩固例题．1.3.1 同底数幂的除法1.经历同底数幂的除法法则的探索过程，理解同底数幂的除法法则;2.理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算;3.会用同底数幂的除法法则进行计算． 1.同底数幂除法法则的探索和应用，理解零指数和负整数指数幂的意义，将运算法则拓广到整数指数幂的范围．2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义．活动一：由学生尝试完成，可以训练学生运用知识的能力，在解题的过程中，让学生自己去体会法则、掌握法则、印象更为深刻.活动二：完成例题学习巩固知识点．1.3.2用科学记数法表示较小的数⒈会用科学记数法表示绝对值小于1的数；⒉能在具体的情境中感受绝对值小于1的数的大小，进一步法则学生的数感.1.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.2.用科学记数法表示小于1的正分数，估测微小事物的策略.活动一：回忆乘方的相关概念和计算，为学习科学记数法打好基础.活动二：逐步理解和明白较小的数，如何正确的用科学记数法表示，同时，得出较小数用科学记数法的表示方法，主要是指数n的得法.活动三：完成例题学习巩固知识点．1.4.1 单项式乘以单项式1.掌握单项式与单项式相乘的运算法则.2.能够灵活地进行单项式与单项式相乘的运算．1.单项式与单项式乘法法则及其应用.2.尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律.活动一：让学生回忆上学期单项式有关问题以及有关幂的运算来引入课题.活动二：引导学生进行观察、分析两个单项式如何相乘．完成例题学习巩固知识点．1.4.2单项式与多项式相乘1.能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则，探究单项式与多项式相乘的法则； 2.掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用．1.单项式与多项式乘法法则及其应用．2.单项式与多项式相乘时结果的符号的确定．活动一：先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法。活动二：让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺．活动三：完成例题学习巩固知识点．例题的处理并不是单一的教师讲，学生模仿，而是先让学生独立尝试解决．1.4.3多项式与多项式相乘1.探索多项式与多项式相乘的乘法法则；2.能灵活地进行整式的乘法运算．1.熟练运用法则进行多项式与多项式的乘法计算．2.法则的推导及综合应用．活动一：通过复习单项式乘以多项式的法则，为学习多项式乘以多项式法则的学习做准备．活动二：完成例题学习巩固知识点．让学生通过不同形式的多项式相乘，灵活应用法则，针对解决不同的问题，积累解题经验．1.5.1平方差公式的认识1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．2.能用公式进行简单的计算，并解决一些实际问题．1.平方差公式的应用．2.会灵活用平方差公式进行运算．活动一：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式．活动二：完成例题学习巩固知识点．1.5.2平方差公式的应用1.通过实例，了解平方差公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算；2.通过观察图形的拼接，验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想．1.对上一节课平方差公式的进一步巩固，并拓展到有关数的简便运算当中去．2.通过拼图游戏，对平方差公式进行几何意义解释．活动一：体会平方差公式的实际意义，理解数学知识与现实生活的密切联系．活动二：完成例题学习巩固知识点．1.6.1完全平方公式的认识1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点;2.会运用公式进行简单的运算．1.体会完全平方公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算．2.判别要计算的代数式是哪两个数的和(或差)的平方．活动一：引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性．活动二：完成例题学习巩固知识点．进一步熟悉完全平方公式的本质特征．1.6.2完全平方公式的应用1.灵活掌握运用完全平方公式进行简便计算. 2.灵活应用乘法公式进行化简计算. 3.会利用公式变形进行整式乘法运算. 1.运用完全平方公式进行一些数的简便运算及综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算.2.灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算.活动一：进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固．活动二：完成例题学习巩固知识点．学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力．1.7.1单项式除以单项式1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法则，运用运算法则熟练、准确地进行计算;2.通过总结法则，培养概括能力；训练综合解题能力和计算能力.1.可以通过单项式与单项式的乘法来理解单项式的除法，要确实弄清单项式除法的含义，会进行单项式除法运算.2.确实弄清单项式除法的含义，会进行单项式除法运算.活动一：通过让学生自主探究学习方法，理解单项式相除是在同底数幂除法的基础上进行的，让学生明确单项式相除，可以分为系数、同底数幂、只在被除式里含有的字母三部分运算．活动二：完成例题学习巩固知识点．1.7.2多项式除以单项式1.理解和掌握多项式除以单项式的运算法则.2.会进行简单的多项式除以单项式的运算.1.会进行多项式除以单项式的运算.2.准确运用法则将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，并注意商的符号的确定.活动一：通过复习上节课所学的单项式除以单项式的运算，为探索多项式除以单项式做准备．活动二：完成例题学习巩固知识点．
《第一章 整式的乘除》单元教学设计
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分课时学案
课题 1.5.2平方差公式的应用 单元 第一单元 学科 数学 年级 七年级下
学习目标 1.通过实例，了解平方差公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算；2.通过观察图形的拼接，验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想.
重点 对上一节课平方差公式的进一步巩固，并拓展到有关数的简便运算当中去.
难点 通过拼图游戏，对平方差公式进行几何意义解释．
教学过程
导入新课 【引入思考】王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好像是个神童，怎么算得这么快？” 王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式.” 你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？想一想上节课学方差公式，叙述一下它的内容。平方差公式：文字语言:__________________________________符号语言:__________________________________我们学方差公式，你能通过下面的正方形验证它吗？
新知讲解 本节课来研究：标明学习内容请表示图中阴影部分的面积。沿着所画虚线将阴影部分剪开，拼成一个长方形，长方形的长和宽分别是多少？现在的面积是多少？_______________________________________（3）比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________提炼概念（本节课主要内容提炼）【想一想】(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:7×9= 11×13= 79×81=8×8= 12×12= 80×80=(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？___________________________________________________________________________________________________________________(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典例精讲 【例3】用平方差公式进行计算：(1)103×97； (2)118×122.【总结提升】平方差公式在用于简便运算的应用时，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较变形成两数的和与这两数的差的积的形式，使之符号公式的特点，再用平方差公式可求解．【例4】计算：a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
课堂练习 巩固训练 1.已知x=6302,y=629×631，则（ ） A.x=y B.x>y C.x课堂小结
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分课时教学设计
第10课时《1.5.2平方差公式的应用 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算。通过创设问题情境，在数学活动中建立平方差公式模型，通过探索规律，归纳出利用平方差公式，解决数字运算问题的方法，培养观察、归纳、应用能力.
学习者分析 了解平方差公式的几何背景，培养数形结合意识。在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.
教学目标 1.通过实例，了解平方差公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算； 2.通过观察图形的拼接，验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想.
教学重点 对上一节课平方差公式的进一步巩固，并拓展到有关数的简便运算当中去．
教学难点 通过拼图游戏，对平方差公式进行几何意义解释．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好像是个神童，怎么算得这么快？” 王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式.” 你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？ 学生活动1： 通过探究活动理解．学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知. 在复习上节课知识的基础上，引入本节课的平方差公式的几何解释，并为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备.活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发，利用正方形面积转换成长方形面积，通过等积变形，得出平方差公式，使学生体会平方差公式的实际意义，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： 上节课我们学方差公式，你能通过下面的正方形验证它吗？ 请表示图中阴影部分的面积。 沿着所画虚线将阴影部分剪开，拼成一个长方形，长方形的长和宽分别是多少？ 比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？ (a+b)(a-b)=a2-b2 议一议：(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点: 7×9= 8×8= 11×13= 12×12= 79×81= 80×80= (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？ 平方差公式 (3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗 师：让我们一起验证一下。 （a+1）(a-1) =a2-12 =a2-1 ∴（a+1）(a-1)=a2-1是正确的。 平方差公式在用于简便运算的应用时，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较变形成两数的和与这两数的差的积的形式，使之符号公式的特点，再用平方差公式可求解．学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论.引导学生呈现出自己的思考过程. 通过特例进行归纳，让学生经历由特殊到一般的探究过程. 活动意图说明： 引导学生建立模型，经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算，积累解题经验，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 【例3】用平方差公式进行计算： (1)103×97； (2)118×122. 【解】(1)103×97 (2)118×122 =(100+3) (100－3) =(120－2) (100+2) =1002－32 =1202－22 =9 991 ； =14 396 . 【例4】计算： a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3). (1) a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3). =a2(a2-b2) +a2b2 = (2x)2-25-(4x2 -6x) =a4-a2b2 +a2b2 = 4x2-25-4x2 +6x =a4 ； = 6x-25 上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简. 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题. .活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知x=6302,y=629×631，则（ ） A.x=y B.x>y C.x作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1） 选做题： 2.计算： （1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) （2） 【综合拓展类作业】 3.对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？
教学反思
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1.5.2平方差公式的应用
北大教版 七年级 下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
学习目标
1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简
便运算；(重点)
2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的
思想方法.（难点）
新知导入
思考：
(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式：
数相同
数相同
加
减
乘
平方差
新知讲解
合作学习
上节课我们学方差公式，你能通过下面的正方形验证它吗？
a
a
b
请表示图中阴影部分的面积。
S阴影=a2-b2
a2
b2
a
b
沿着所画虚线将阴影部分剪开，拼成一个长方形，长方形的长和宽分别是多少？
a+b
a-b
（a+b）（a-b）
现在的面积是多少？
a
a
b
b
a+b
a-b
b
b
几何验证平方差公式
a
a
b
b
a2-b2
a
b
b
b
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b
a-b
提炼概念
平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点：
（1）公式具体，易于理解；
（2）公式的特征也表现得突出，易于初学者“套用”；
（3）形式简洁。但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性，需要正确确定a和b代表的内容。
计算下列各组算式。
7×9=
8×8=
11×13=
12×12=
79×81=
80×80=
【想一想】
这些算式有什么特点？
63
64
143
144
6399
6400
请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗
（a+1）(a-1)=a2-1
验证：（a+1）(a-1)
=a2-12
=a2-1
∴（a+1）(a-1)=a2-1是正确的。
典例精讲
【例3】用平方差公式进行计算：
(1)103×97； (2)118×122.
=(120－2) (100+2)
=1202－22
=14 396 .
=(100+3) (100－3)
=1002－32
=9 991 ；
【例4】计算：
(1) a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
= (2x)2-25-(4x2 -6x)
= 4x2-25-4x2 +6x
= 6x-25
=a2(a2-b2) +a2b2
=a4-a2b2 +a2b2
=a4
平方差公式
单项式乘多项式
归纳概念
公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
公式中的a，b可表示
(1)单项式
(2)具体数
(3)多项式
三个表示
(1)简化某些多项式的乘法运算
(2)提供有理数乘法的速算方法
两种作用
课堂练习
必做题
1.已知x=6302,y=629×631，则（ ）
A.x=y B.x>y
C.xB
2.计算20162－2015×2017的结果是( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
A
选做题
3. 计算：
(1)（a – 2)(a + 2)(a2 + 4)
=（a2 – 4）（a2 + 4）
= a4 – 16
(2)（x + y + 1）（x – y – 1）
= [ x +（y + 1）][ x –（y + 1）]
= x2 – （y + 1）2
= x2 – y2 – 2y – 1
(3)(a + b + c) (a + b – c)
= (a + b)2 – c2
= a2 + 2ab + b2 – c2
(4)20152 – 2014×2016
= 20152 – (2015 – 1)×(2015 + 1)
= 20152 – (20152 – 12)
= 1
综合拓展题
4. 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
课堂总结
平方差公式的应用及注意事项
两个应用
四点注意
1.利用平方差公式简化一些数字计算.
2.逆用平方差公式进行化简、计算.
1.必须符合平方差公式的结构特征.
2.有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后可以运用公式进行化简、计算.
3.计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化.
4.在运算过程中，有时可以反复应用公式.
作业布置
必做题
1.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）
B
选做题
2.计算：
（1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
（2）
解：（1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
= x2-4y2+x2-1
=2 x2-4y2-1
(2)
综合拓展题
3.对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2-1-(9-n2)
＝10n2-10.
因为(10n2-10)÷10=n2-1.
n为正整数，
所以n2-1为整数
谢谢
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