第六章 特殊平行四边形专题1 关于菱形的例题及变式（含答案）

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第六章 特殊平行四边形
专题1 关于菱形的例题及变式
变式1
1.菱形ABCD中,对角线 则菱形的边长为__________.
变式2
2.【情境题】小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中,对角线AC,BD 交于点O,
求证：四边形ABCD 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流.
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条
件，并证明.
变式3
3.如图,在边长为4 的菱形ABCD 中,E为 AD边的中点,连接CE 交对角线 BD于点F.若 则这个菱形的面积为( )
A.16 D.30
变式4
4.如图,在 中，点D是AB上一点，点E 是AC 的中点,过点C作( 交 DE 的延长线于点 F.
(1)求证:
(2)连接AF,CD,如果点D 是 AB 的中点,那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形 证明你的结论.
变式 5
5.如图,四边形 ABCD 是菱形, 于点 E, 于点 F.
(1)求证:
(2)若 求菱形的边长.
参考答案
1.5
2.【解】赞成小洁的说法.补充条件：OA =OC.证明如下:
∵OA=OC,OB=OD,∴ 四边形ABCD 是平行四边形.
又∵AC⊥BD,∴ 四边形ABCD 是菱形.(本题补充的条件不唯一)
3. B 【点拨】连接AC交 BD 于点O,
∵四边形ABCD 为菱形,∴AD∥BC,CB=CD=AD=4,AC⊥BD,BO=OD,OC=AO.
∵ E 为 AD 边 的中点,∴DE=2.
∵∠DEF =∠DFE,∴ DF = DE = 2.
∵DE∥BC,∴∠DEF=∠BCF.
∵∠DFE=∠BFC,∴ ∠BCF=∠BFC,∴BF=BC=4,∴BD=BF +DF=4+2=6,∴OB=OD=3.
在Rt△BOC中,
∴菱形 ABCD 的面积
4.(1)【证明】∵CF∥AB,∴ ∠ADF=∠CFD,∠DAC=∠FCA.
∵点E是AC的中点, ∴AE = CE,∴ △ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF.
(2)【解】当AC⊥BC 时,四边形ADCF 是菱形.
证明:由(1)知AD=CF,∵AD∥CF,∴四边形ADCF是平行四边形.
∵ 点 D 是 AB 的中点,点E 是 AC 的中点,∴ DE∥BC.
∵ AC⊥BC,∴AC⊥DE,即AC⊥DF,∴ 四边形 ADCF 是菱形.
5.(1)【证明】∵ 四边形 ABCD是菱形,∴ AB=AD, ∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB =∠AFD=
在 和 中
(2)【解】设菱形的边长为x，则
在中，根据勾股定理得 即 解得
∴菱形的边长是5.
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