6.2.1 矩形的性质同步练习（含答案）

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第六章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
基 础 练
练点1 矩形的定义与边角性质
1.如图，在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的顶点 A(-6,2),B(2,2),C(2,-3),则点D 的坐标为( )
A.(-6,3) B.(3,-6) C.(-6,-3) D.(-3,-6)
(第1题) (第2题)
2.如图,矩形ABCD中,AB =4, AD=6.在边AD 上取一点E,使 BE =BC,过点 C 作CF⊥BE,垂足为点F,则BF的长为___________.
练点2 矩形的对角线性质
3.如图,矩形ABCD的对角线AC 与BD 相交于点O,AC =10,P,Q 分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为( )
A.10 B.5 C.2.5 D.2.25
(第3 题) (第4题)
4.如图，矩形ABCD的对角线AC=4,∠BOA=120°,则AB的长是( )
B.2 D.4
练点3 直角三角形斜边上中线的性质
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC 的平分线交 BC 于点D,E 为 AC 的中点,若AB = 10,则DE 的长是( )
A.8 B.6 C.5 D.4
6.如图,在 中,D为斜边 AC的中点,E 为BD上一点,F 为CE 的中点. 若 则BD的长为( )
B.3 D.4
提 升 练
7.【情境题】如图,矩形 ABCD 为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD 的交点为 E，当水杯底面 BC 与水平面的夹角为 时, 的度数为( )
(第7 题) (第8题)
8.如图,以钝角三角形ABC的最长边 BC 为边向外作矩形 BCDE,连接AE,AD,设 的面积分别为S,S ,S ,若要求出 的值，只需知道( )
的面积 的面积 的面积 D.矩形 BCDE的面积
9.矩形ABCD中,M 为对角线 BD 的中点，点N在边AD上，且 当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为_________.
10.如图,在矩形ABCD中, 3, 点 E 在边 AD上,且 M,N 分别是边 AB，BC上的动点，且 P是线段 CE 上的动点,连接PM,PN.若 .则线段 PC 的长为_________.
(第 10题) (第 11 题)
11.如图,矩形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,点E,F 分别是线段OB, OA上的点，若 3,则BF的长为_________.
12.如图,将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠,点 B 的对应点为点 E,AE 与CD交于点 F.
(1)求证:
(2)若 求 的度数.
13.如图,矩形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O, ∥∥
(1)求证:四边形 OCED 是菱形.
(2)若 求四边形OCED 的面积.
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC 和BD 相交于点O,点E,F 分别为OA,OD 的中点.
(1)求证:
(2)连接AF 和DE，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图中面积是 面积的3 倍的三角形.
参考答案
1. C 【点拨】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB∥DC, AD∥BC.
∵A(-6,2),B(2,2),C(2,-3),∴ 点 D 的横坐标与点 A 的横坐标相同，为-6，点 D 的纵坐标与点 C 的纵坐标相同，为 -3，∴ 点D 的坐标为(-6,-3).
【点拨】∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠A=90°,∴∠AEB=∠FBC.
∵CF⊥BE,∴ ∠CFB=90°,∴∠CFB=∠A.
在△ABE和△FCB中, ∴ FC=AB=4.
∵ 四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=6.
在 Rt△FCB中,由勾股定理得
3. C 【点拨】∵ 四边形ABCD 是矩形,∴AC = BD=
∵点 P,Q 是AO,AD 的中点,∴ PQ 是△AOD 的中位线,∴ PQ=
4. C 【点拨】在矩形ABCD中,BD=AC=4,AO=DO=
180°-120°=60°,∴ △AOD 是等边三角形,
∴ AD=
5. C
6. D 【点拨】∵ D为斜边AC 的中点,F 为 CE 的中点,DF=2,∴AE=2DF=4.
∵AE =AD,∴AD =4.
在Rt△ABC中,D为斜边AC的中点,
点技巧 如果已知条件中出现中点， 一般要考虑三角形的中位线定理： 如果既有中点又有直角， 就要考虑“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
7. D 【点拨】如图,∵四边形ABCD 是矩形,∴AB∥CD,∠ABC=90°,
∴∠ABF=180°-90°-27°=63°.
∵AE∥BF,∴∠EAB =∠ABF= 63°.
∵AB∥CD,∴∠AED=∠EAB=63°.
8. C 【点拨】作 AG⊥ED 于点 G,交 BC 于点 F,则∠FGE=90°.
∵四边形BCDE 是矩形,∴∠FBE=∠BEG=∠CDE=90°,BC∥ED,BC=ED,BE=CD,
∴四边形 BFGE 是矩形,∠AFB =∠FGE =90°,
只需知道 就可求出 的值.
9.2 或 1+ 【点拨】以点 D，M，N 为顶点的三角形是直角三角形，分两种情况：①如图①，当∠MND=90°时,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴MN∥AB.
∵ M 为对角线 BD 的中点,∴ 易得 AN = DN.
∵ AN=AB=1,∴AD=2AN=2.
②如图②,当∠NMD=90°时, MN⊥BD.
∵M为对角线 BD的中点,∴MN垂直平分 BD,连接BN,则 BN=DN.
∵∠A =90°,AB =AN =1,∴ BN = ,∴ AD=
综上所述，AD的长为2 或
10. 【点拨】在矩形ABCD 中,∠D=∠BCD=90°, CD=AB=3.
∵ DE=3,∴ DE =CD,∴△CDE 是等腰直 角 三 角 形,∴ ∠DCE =∠BCE=45°.
作点 N关于 EC 的对称点 N',则 N'在直线 CD上, 连接
∴ PM + PN'=4 = BC,此时 M,P,N'三点共线,且MN'∥BC,如图,易得 是等腰直角三角形,四边形BCN'M 为矩形,∴PN'= CN',BM =N'C.
∵ BM= BN,CN = CN',∴BN = CN=2,
11. 【点拨】过A 作AN⊥BD于N,过B作BM⊥AC 于M,
∴∠ANO =∠ANB =∠BMO =∠BMA=90°.
∵四边形ABCD 是矩形,
(HL),
∴ ON=OM,∴ BN= AM.
∵ AE = BF,AN=BM,∴ Rt△ANE≌Rt△BMF(HL),∴ FM = EN.
设FM =EN=x,∵AF=1,BE=3,∴ BN=3-x,AM=1+x,∴3-x=1+x,∴x=1,∴FM=1,∴AM =2.
12.(1)【证明】由折叠可知BC=EC,∠B=∠E.
在矩形ABCD 中,AD=BC,∠D=∠B=90°.∴AD=EC,∠D=∠E.
在△DAF和△ECF中,∴△DAF≌△ECF(AAS).
(2)【解】∵△DAF≌△ECF,∴∠DAF=∠ECF=40°.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠EAB=∠DAB-∠DAF=90°-40°=50°.
∵∠EAC=∠CAB,∴∠CAB=25°.
13.(1)【证明】∵DE∥AC,CE∥BD,∴ 四边形OCED 是平行四边形.
∵ 矩形ABCD的对角线 AC,BD 相交于点 O,
∴OC=OD,∴ 四边形OCED 是菱形.
(2)【解】∵四边形ABCD是矩形,BC=3,DC=2,
∵四边形OCED 是菱形,.
14.(1)【证明】∵ 四边形ABCD为矩形,∴OA=OB=OC = OD.
∵ 点 E,F 分别为 OA,OD 的中点,
∵∠EOB=∠FOC,∴△BOE≌△COF(SAS).
(2)【解】∵四边形ABCD为矩形,∴OA=OB=OC=
∵点E,F 分别为 OA,OD的中点,
同理可得
综上所述，面积是 面积的 3 倍的三角形有△BCE，△BCF，△ABF，△CDE.
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