山东省滨州市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题（含答案）

滨州市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题
2024.1
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡对应位置“条形码粘贴处”
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.在平行六面体中，与交于点.设，则下列向量中与相等的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B.或
C. D.或
5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教十伟列亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3整除余2（如）且被5整除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A.32 B.47 C.62 D.77
6.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（ ）
A. B. C. D.
7.若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，长方体中，，点是棱的中点，设直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，则（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.已知直线和圆，则下列选项正确的是（ ）
A.直线恒过点
B.圆与圆有两条公切线
C.直线被圆截得的最短弦长为
D.当时，圆上存在无数对关于直线对称的点
10.已知为等差数列的前项和，，则下列选项正确的是（ ）
A.数列是单调递增数列 B.当时，最大
C. D.
11.如图，椭圆的中心为坐标原点，为左焦点，分别为长轴和短轴的顶点，.则下列选项正确的是（ ）
A.椭圆的离心率为
B.成等差数列
C.成等比数列
D.过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，则
12.直四棱柱的所有棱长都为，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A.点的轨迹的长度为
B.直线与平面所成的角为定值
C.点到平面的距离的最小值为
D.的最小值为-2
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若直线平行于直线，则这两条直线的距离为__________.
14.已知数列中，，则__________.
15.斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，点在轴的上方，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为为坐标原点，则__________.
16.若，且，都有，则的最大值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的极值.
18.（12分）
已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切.
（1）求圆的方程；
（2）求反射后光线所在直线的方程.
19.（12分）
如图，已知正方体中，点分别在棱和上，.
（1）求平面与平面的夹角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
20.（12分）
已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
21.（12分）
已知函数.
（1）设，当时，求证为增函数；
（2）当时，求证.
22.（12分）
已知双曲线的实轴长为4，且双曲线经过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点.
高二数学试题参考答案
2024.1
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，
1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.ABD 10.BC 11.ACD 12.ABD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
解：（1）的定义域为，
所以，
又因为，所以切点为
所以曲线在处的切线方程为
（2）
当时，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，有极小值，且极小值为，无极大值.
18.（12分）
解：（1）设圆心的坐标为，则
即，
即，
解得，，
圆心的坐标为
圆的半径，
所以，圆的方程为，
（2）点关于轴的对称点为，反射光线经过点
当反射光线所在直线的斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意，
当反射光线所在直线的斜率存在时，设方程为：，
即，
设圆心到直线的距离为，
因为反射光线所在直线与圆相切，
所以
所以，
即
解得或
所以，反射后光线所在直线的方程为或.
19.（12分）
解：（1）以为原点，所在直线分别为轴 轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为3，由已知可得，平面的法向量为，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，，取，则，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以，.
（2）假设在线段上存在点，使得平面，
所以，，
设，
所以，，
所以，，
若平面，
所以，，
所以，，
所以，，即
故在线段上存在点使得2平面.
20.（12分）
解：（1）当时，，即，
因为，
所以时，，
所以，，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1），
所以，
所以
①
②
①-②得
所以.
21.（12分）
（1）函数的定义域为，
，
，
因为，所以，
所以为上的增函数.
（2）当时，，则有，
故只需证恒成立，
由（1）知当时，在上单调递增，
又，
由零点存在定理，可知在上有唯一实根，且.当时，，当时，，
从而当时，取得最小值.
由，得，
即，
所以，
故
..
当且仅当时，上式等号成立，
所以，当时，.
综上所述，当时，恒成立.
（2）方法二
当时，，则有，故只需证明当时，恒成立，
令，
，
由得，
由得，
由得，
所以时.
所以恒成立，当时，等号成立.
所以即，
当且仅当时，等号成立，
，即，当且仅当时，等号成立.
所以成立.
综上，当时，恒成立.
22.（12分）
解：（1）因为双曲线的实轴长为4，
所以，解得.
又双曲线经过点，
所以，.
解得，
所以双曲线的方程为.
（2）解法一：
设点，则.
设直线的方程为，
将其代入，得，
易知，且，
所以，且，
则，
又直线的方程为，
令，则
所以直线过定点.
解法二：
设直线的方程为，设点，则，
将代入方程，
得，
易知，
则，
由三点共线可得，
所以，
所以
所以，
所以
又，所以
直线的方程为，
所以直线过定点.