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专题一 函数与导数
第3讲 统计与成对数据的分析
专题一 函数与导数
高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总体、经验回归方程的求解与运用、独立性检验问题，常与概率综合考查，中等难度.
考情分析
内容索引
考点一
考点二
考点三
统计图表、数字特征
回归分析
独立性检验
专题强化练
考点一
统计图表、数字特征
1.频率分布直方图中相邻两横坐标
核心提炼
2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数.
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
例1
(1)(多选)(2023·海南模拟)为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作(简称实操)能力的培养.中职生小王在对口工厂完成实操产品100件，质检人员测量其质量(单位：克)，将所得数据分成5组：[95,97)，[97,99)，[99,101)，[101,103)，[103,105].根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在[99,101)内的为优等品.对于这100件产品，下列说法正确的是
A.质量的平均数为99.7克(同一区间的平均数用
区间中点值代替)
B.优等品有45件
C.质量的众数在区间[98,100)内
D.质量的中位数在区间[99,101)内
√
√
√
对于选项A，质量的平均数为(96×0.025＋98×0.15＋100×0.225＋102×0.075＋104×0.025)×2＝99.7(克)，选项A正确；
对于选项B，优等品有0.225×2×100＝45(件)，选项B正确；
对于选项C，质量的众数不一定落在区间[98,100)内，所以选项C错误；
对于选项D，质量在[99,101)内的有45件，质量在[101,103)内的有15件，质量在[103,105]内的有5件，所以质量的中位数一定落在区间[99,101)内，所以选项D正确.
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则
A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
√
√
取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，
则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，
根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；
根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确.
易错提醒
(1)对于给出的统计图表，一定要结合问题背景理解图表意义.
(2)频率分布直方图中纵坐标不要误以为是频率.
(1)(多选)(2023·盐城模拟)随机抽取6位影迷对某电影的评分，得到一组样本数据如下：92,93,95,95,97,98，则下列关于该样本的说法中正确的有
A.平均数为95 B.极差为6
C.方差为26 D.第80百分位数为97
跟踪演练1
√
√
√
极差为98－92＝6，B正确；
由于80%×6＝4.8，故第80百分位数为第5个数，即97，D正确.
(2)(2023·葫芦岛模拟)游戏对青少年的影
响巨大.某市青少年健康管理委员会对该
市下学年度青少年上网打游戏的情况进
行统计，作出如图所示的人数变化走势图.
根据该走势图，下列结论正确的是
A.这半年中，青少年上网打游戏的人数呈周期性变化
B.这半年中，青少年上网打游戏的人数不断减少
C.从青少年上网打游戏的人数来看，10月份的方差小于11月份的方差
D.从青少年上网打游戏的人数来看，12月份的平均数大于1月份的平均数
√
对于A，由走势图可得，青少年上网打游戏的人数没有周期性变换，故A错误；
对于B，由走势图可知B错误；
对于C,10月份波动较大，方差大，11月波动较小，方差小，故10月份的方差大于11月份的方差，故C错误；
对于D，由走势图可得，12月份的平均数大于1月份的平均数，故D正确.
考点二
回归分析
求经验回归方程的步骤
(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).
核心提炼
(2023·唐山模拟)据统计，某城市居民年收入(所有居民在一年内收入的总和，单位：亿元)与某类商品销售额(单位：亿元)的10年数据如下表所示：
例2
第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
居民年收入x 32.2 31.1 32.9 35.7 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0
商品销售额y 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0
依据表格数据，得到下面一些统计量的值.
第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
居民年收入x 32.2 31.1 32.9 35.7 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0
商品销售额y 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0
(1)根据表中数据，得到样本相关系数r≈0.95.以此推断，y与x的线性相关程度是否很强？
根据样本相关系数r≈0.95，可以推断y与x的线性相关程度很强.
(2)根据统计量的值与样本相关系数r≈0.95，建立y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01)；
(3)根据(2)的经验回归方程，计算第1个样本点(32.2,25.0)对应的残差(精确到0.01)；并判断若剔除这个样本点再进行回归分析， 的值将变大还是变小？(不必说明理由，直接判断即可).
第一个样本点(32.2,25.0)的残差为25.0－(1.44×32.2－15.64)＝－5.728
≈－5.73，
由于该点在经验回归直线的左下方，故将其剔除后， 的值将变小.
易错提醒
(1)样本点不一定在经验回归直线上，但点 一定在经验回归直线上.
(2)求 时，灵活选择公式，注意公式的推导和记忆.
(3)利用样本相关系数判断相关性强弱时，看|r|的大小，而不是r的大小.
(4)区分样本相关系数r与决定系数R2.
(5)通过经验回归方程求的都是估计值，而不是真实值.
(2023·雅安模拟)2023年5月17日，318·川藏线零公里自驾游大本营旅游推介暨“5·17我要骑”雅安站活动在雨城区拉开帷幕，318·川藏线零公里自驾游大本营再次成为关注焦点.318·川藏线零公里自驾游大本营项目以“此生必驾318，首站打卡在雅安”，“世界第三极，雅安零公里”的交旅IP为文化指引，利用雅安交通区位和品牌资源优势，创新打造吸引力体验项目，提高雅安川藏游的话语权和影响力.近段时间某骑行爱好者在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分x与对应用时y(单位：小时)如表：
跟踪演练2
身体综合指标评分(x) 1 2 3 4 5
用时(y/小时) 9.5 8.6 7.8 7 6.1
(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明；
身体综合指标评分(x) 1 2 3 4 5
用时(y/小时) 9.5 8.6 7.8 7 6.1
样本相关系数近似为－1，说明y与x负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系.
(2)建立y关于x的经验回归方程.
考点三
独立性检验
独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据列2×2列联表.
核心提炼
(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断.χ2越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大.
我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳.上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射.某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有45人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣.
例3
(1)请补充完整2×2列联表，并依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
α 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005
xα 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
补充2×2列联表如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 45 10 55
女生 20 25 45
合计 65 35 100
零假设H0：对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别无关联，
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，
即对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
(2)从兴趣小组100人中任选1人，A表示事件“选到的人是男生”，B表示事件“选到的人对‘夸父一号’探测卫星相关知识不感兴趣”，求P(B|A)；
(3)按随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取4名男生和3名女生，组成一个容量为7的样本，再从抽取的7人中随机抽取3人，随机变量X表示3人中女生的人数，求X的分布列和均值.
由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3.
所以X的分布列为
易错提醒
(1)χ2越大两分类变量无关的可能性越小，推断犯错误的概率越小，通过表格查得无关的可能性.
(2)在犯错误的概率不大于0.01的前提下认为两个变量有关，并不是指两个变量无关的可能性为0.01.
(2023·湖南四大名校联考)某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.
(1)①求王同学第2天去A餐厅用餐的概率；
跟踪演练3
设事件Ai：第i天去A餐厅用餐，事件Bi：第i天去B餐厅用餐，其中i＝1,2.
王同学第2天去A餐厅用餐的概率为
P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)
＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.
②如果王同学第2天去A餐厅用餐，求他第1天在A餐厅用餐的概率；
如果王同学第2天去A餐厅用餐，那么他第1天在A餐厅用餐的概率为
(2)A餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升，改造提升后，A餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了100名学生的数据，如表(单位：人).
就餐满意程度 A餐厅改造提升情况 合计
改造提升前 改造提升后 满意 28 57 85
不满意 12 3 15
合计 40 60 100
依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联？
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
零假设H0：学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升没有关联.
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联.
专题强化练
一、单项选择题
1.某班有男生25人，女生20人，采用比例分配的分层随机抽样的方法从这45名学生中抽取一个容量为9的样本，则应抽取的女生人数为
A.2 B.3 C.4 D.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
1
2
3
4
5
6
7
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14
1
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3
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5
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13
14
2.第七次全国人口普查数据显示，德州市各区县常住人口数据如图所示，则这些区县的人口数据的75%分位数为
A.43.86 B.48.8 C.55.92 D.52.36
√
把德州市各区县常住人口数据从小
到大排列：22.33,31.81,35.37,41.91,
45.81,46.68,47.33,47.34,48.8,55.92,
57.64,69.53，
因为12×75%＝9，
所以75%分位数为数据从小到大排列的第9,10两个数的平均数，
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
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13
14
3.(2023·遵义模拟)2023年4月，国内鲜菜、食用油、粮食、禽肉、鲜果、鸡蛋、猪肉价格同比(与去年同期相比)的变化情况如图所示，则下列说法正确的是
A.食用油、粮食、禽肉、鲜果、鸡蛋、
猪肉这6种食品中，食用油价格同比
涨幅最小
B.猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比
涨幅的5倍
C.2022年4月鲜菜价格要比2023年4月高
D.这7种食品价格同比涨幅的平均数超过10%
√
1
2
3
4
5
6
7
8
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14
由图可知，粮食价格同比涨幅比食用
油价格同比涨幅小，故A错误；
猪肉价格同比涨幅为34.4%，禽肉
价格同比涨幅为8.5%,34.4%－5×
8.5%<0，故B错误；
因为鲜菜价格同比涨幅为－21.2%，
说明2022年4月鲜菜价格要比2023年4月高，故C正确；
这7种食品价格同比涨幅的平均数为
1
2
3
4
5
6
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14
4.某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表(单位：人)：
1
2
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11
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14
月收入 文化程度 月收入2 000元以下 月收入2 000元及以上 合计
高中文化以上 10 45 55
高中文化及以下 20 30 50
合计 30 75 105
附表：
1
2
3
4
5
6
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13
14
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.0.01 B.0.025 C.0.03 D.0.05
√
因为χ2≈6.109>3.841＝x0.05，所以认为文化程度与月收入有关系，那么犯错误的概率不会超过0.05.
5.(2023·晋中模拟)人工智能聊天机器人，不仅能流畅对话，还能写诗、撰文、编码等.一经推出，便受到广泛关注，并产生了丰富的社会应用.某调查机构为了解大学生使用聊天机器人的情况，对8所高校进行了调查，其中6所学校给出了使用的学生占比，将数据从小到大依次排列为71%，75%，77%，80%，82%，85%，另外两所学校未给出调查数据，那么这8所学校使用的学生比例的中位数不可能是
A.76% B.77.5% C.80% D.81.5%
√
1
2
3
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3
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14
6.(2023·孝感模拟)已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为
A.10 B.10.6 C.12.6 D.13.6
1
2
3
4
5
6
7
8
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13
14
√
设增加的数为x，y，原来的8个数分别为a1，a2，…，a8，
则a1＋a2＋…＋a8＝64，a1＋a2＋…＋a8＋x＋y＝90，所以x＋y＝26，
1
2
3
4
5
6
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14
所以方差的最小值为13.6(当且仅当x＝y＝13时取到最小值).
1
2
3
4
5
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14
二、多项选择题
√
√
1
2
3
4
5
6
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12
13
14
所以s2>s′2，C错误，D正确.
1
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8.(2023·湛江模拟)某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高/cm 165 168 170 172 173 174 175 177 179 182
体重/kg 55 89 61 65 67 70 75 75 78 80
由表中数据制作成如图所示的散点图：
1
2
3
4
5
6
7
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14
√
√
身高的平均数为
1
2
3
4
5
6
7
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三、填空题
9.(2023·大庆模拟)某校学生参与“保护地球”知识问答活动，满分20分，根据学生的作答成绩绘制成如图所示的频率分布直方图，请据此估计学生成绩的第60百分位数为______.
1
2
3
4
5
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14
14
由图可知第一组的频率为0.04×5＝0.2<0.6，
前两组的频率之和为0.04×5＋0.1×5＝0.7>0.6，所以第60百分位数在[10,15)内，设为x，
则0.1×(x－10)＝0.6－0.2，解得x＝14.
1
2
3
4
5
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14
10.(2023·南京模拟)某工厂月产品的总成本y(单位：万元)与月产量x(单位：万件)有如下一组数据，从散点图分析可知y与x线性相关.如果经验回归方程是 ＝x＋3.5，那么表格中数据a的值为________.
1
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6.4
x/万件 1 2 3 4
y/万元 3.8 5.6 a 8.2
1
2
3
4
5
6
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x/万件 1 2 3 4
y/万元 3.8 5.6 a 8.2
11.(2023·佛山模拟)足球是一项大众喜爱的运动，某校足球社通过调查并进行科学的统计分析，对学校学生喜爱足球是否与性别有关的问题，得出了结论：喜爱足球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.据足球社透露，他们随机抽取了若干人进行调查，抽取女生人数是男生人数的2倍，男生喜爱足球的人数占男生人数的 ，女生喜爱足球的人数占女生人数的 .通过以上信息，可以确定本次足球社所调查的男生至少有____人.
1
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14
12
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
设被调查的男生为x人，则女生为2x人，依题意可得列联表如下：
1
2
3
4
5
6
7
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14
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，所以有χ2≥7.879，
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
13
14
又因为上述列联表中的所有数字均为整数，故x的最小值为12.
则估计该校高一年级的全体学生的身高的平均数为_____，方差为____.
1
2
3
4
5
6
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11
12
13
14
12.某校采用比例分配的分层随机抽样采集了高一年级学生的身高情况，部分统计数据如下：
165
性别 样本量 样本平均数 样本方差
男 100 170 22
女 100 160 38
55
1
2
3
4
5
6
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1
2
3
4
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14
四、解答题
13.(2023·新高考全国Ⅱ)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
1
2
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利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
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(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
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依题可知，患病者该指标
的频率分布直方图中第一
个小矩形的面积为5×0.002
＝0.01＝1%>0.5%，
所以95
所以(c－95)×0.002＝0.5%，
解得c＝97.5，
q(c)＝0.01×(100－97.5)＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
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(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
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当c∈[95,100]时，
f(c)＝p(c)＋q(c)＝(c－95)
×0.002＋(100－c)×0.01＋
5×0.002＝－0.008c＋0.82
≥0.02；
当c∈(100,105]时，
f(c)＝p(c)＋q(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＋(105－c)×0.002＝0.01c－0.98>0.02，
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所以f(c)在区间[95,105]上的最小值为0.02.
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14.(2023·齐齐哈尔模拟)近几年我国新能源汽车产业发展迅速.下表是某省新能源汽车的年销售量与年份的统计表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年销售量(万台) 13 22 25 20 40
某机构调查了该省200位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：
购置传统燃油汽车 购置新能源汽车 合计
男性车主 30 150
女性车主 30
合计 200
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年份 2018 2019 2020 2021 2022
年销售量(万台) 13 22 25 20 40
(1)求新能源汽车的销售量y关于年份x的样本相关系数r，并推断y与x的相关程度；
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附表：
α 0.10 0.05 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
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故y与x相关程度很强.
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(2)请将上述2×2列联表补充完整，并根据小概率值α＝0.005的独立性检验，判断购车车主购置新能源汽车是否与性别有关.
购置传统燃油汽车 购置新能源汽车 合计
男性车主 30 150
女性车主 30
合计 200
依题意可得2×2列联表如下：
购置传统燃油汽车 购置新能源汽车 合计
男性车主 120 30 150
女性车主 30 20 50
合计 150 50 200
零假设H0：购车车主是否购置新能源汽车与性别无关.
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根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为购车车主是否购置新能源汽车与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.005.
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14(共80张PPT)
专题一 函数与导数
第1讲 计数原理与概率
专题一 函数与导数
1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选
择题、填空题为主.
2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等
式、数列交汇考查.
3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用.
考情分析
内容索引
考点一
考点二
考点三
排列与组合问题
二项式定理
概率
专题强化练
考点一
排列与组合问题
解决排列、组合问题的一般过程：
(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素.
核心提炼
例1
(1)(2023·信阳模拟)直上九天问苍穹，天宫六人绘新篇.2023年5月30日神舟十六号发射成功，神十五与神十六乘组航天员在太空会师，6名航天员分两排合影留念，若从神十五和神十六每组的3名航天员中各选1人站在前排，后排的4人要求同组的2人必须相邻，则不同的站法有
A.72种 B.144种
C.180种 D.288种
√
所以不同的站法有18×8＝144(种).
(2)(多选)(2023·重庆模拟)教育部发布了《中国高考报告2023》，为让学生对高考有所了解，某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的5位该学科的骨干教师进行“中国高考报告2023”的相应学科讲座，每天一科，连续5天.则下列结论正确的是
A.从5位教师中选2位的不同选法共有20种
B.数学不排在第一天的不同排法共有96种
C.数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有12种
D.物理排在化学的前面(可以不相邻)的排法共有120种
√
√
规律方法
排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化.
(1)(2023·新高考全国Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_____种(用数字作答).
跟踪演练1
64
②当从8门课中选修3门时，
综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种).
(2)(多选)(2023·白银模拟)小许购买了一套五行文昌塔摆件(如图)，准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有
A.不同的摆放方法共有120种
B.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同
的摆放方法共有36种
C.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同
的摆放方法共有72种
D.若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆
放方法共有36种
√
√
√
考点二
二项式定理
1.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：
(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简.
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式即得所求.
2.对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解.
核心提炼
(1)(2023·湖北八市联考)已知二项式(2x－a)n的展开式中只有第4项的
二项式系数最大，且展开式中含x3项的系数为20，则实数a的值为______.
例2
因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6，
二项式的通项为Tk＋1＝
令6－k＝3，解得k＝3，
(2)(多选)(2023·临沂模拟)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则下列结论中正确的是
A.a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝－2
B.a1－a2＋a3－a4＋…－a2 022＋a2 023＝1－32 023
C.a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＝4 046
D.|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|＝32 023
√
√
对于A选项，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝－1，
对于B选项，令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝32 023，
－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝32 023－1，
故a1－a2＋a3－a4＋…－a2 022＋a2 023＝1－32 023，故B正确；
对于C选项，记y＝(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，
则y′＝－4 046(1－2x)2 022＝a1＋2a2x＋…＋2 023a2 023x2 022，
令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＝－4 046，故C错误；
当k为奇数时，系数为负数，
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|＝－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝32 023－1，
故D错误.
规律方法
(1)(2023·龙岩质检)在(1＋x)· 的展开式中，x的系数为
A.12 B.－12 C.6 D.－6
跟踪演练2
√
(2)(多选)(2023·宿迁模拟)设(2x＋1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a6(x＋1)6，则下列结论中正确的是
A.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36
B.a2＋a3＝－100
C.a1，a2，a3，…，a6中最大的是a2
D.当x＝7时，(2x＋1)6除以16的余数是1
√
√
√
对A，对题中式子，令x＝－2，则[2×(－2)＋1]6＝a0－a1＋a2－…＋a6＝36，故A正确；
对D，当x＝7时，(2x＋1)6＝156＝(16－1)6
所以(2×7＋1)6除以16的余数是1，故D正确.
考点三
概率
1.古典概型的概率公式
核心提炼
2.条件概率公式
3.全概率公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)
例3
(1)(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1).
A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输
方案译码为0的概率
√
√
√
对于A，依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1,1,1，则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1这3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1；0,1,1和1,1,1这4个事件的和，它们互斥，所求的概率为 (1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故C错误；
对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，
单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，
因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，故D正确.
(2)(多选)现有来自某校高三年级的3袋专项计划审核表，第一袋有4名男生和2名女生的高校专项审核表，第二袋有5名男生和3名女生的国家专项审核表，第三袋有3名男生和2名女生的地方专项审核表.现从3袋中随机选择一袋，再从中随机抽取1份审核表，设Ai＝“抽到第i袋”(i＝1,2,3)，B＝“随机抽取一份，抽到女生的审核表”，则
√
√
√
规律方法
求概率的方法与技巧
(1)古典概型用古典概型概率公式求解.
(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解.
(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解.
(1)(2023·青岛模拟)将四位数2 023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为
跟踪演练3
√
将2 023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数(含原来的四位数)的样本点有2 203,2 230,3 220,3 022,2 023,2 320,2 032,2 302,3 202，共9个，
所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的样本点有2 023,
2 320,2 032,2 302,3 202，共5个，
所以所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为
(2)(多选)(2023·黄冈调研)1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题(著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题)，在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2,3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是
D.在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选
2号门比保持原选择获得豪车的概率更大
√
√
√
设A1，A2，A3分别表示1,2,3号门里有豪车，用B1，B2，B3分别表示主持人打开1,2,3号门.
对于A，如题意所述，游戏参与者初次选择了1号门，因为在做选择的时候不知道豪车在哪个门里，故不影响豪车在三个门中的概率分配，
所以事件A1，A2，A3发生的概率仍然为 ，即A正确；
对于B，在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况：
豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，故P(B3|A2)＝1，
豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故P(B3|A3)＝0，
对于C，由贝叶斯公式，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率分别为
故选2号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即C错误，D正确.
专题强化练
一、单项选择题
1.(2023·汕头模拟)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为
A.2563 B.27 C.2553 D.6
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√
分三步取色，第一步、第二步、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256＝2563(种)颜色.
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2. 的展开式的第3项的系数是
A.112 B.－112
C.－28 D.28
√
可得第3项的系数是112.
3.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有
A.30种 B.60种 C.120种 D.240种
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4.(2023·信阳模拟)2023年5月28日国产大飞机C919由上海飞抵北京，这标志着C919商飞成功，开创了中国商业航空的新纪元.某媒体甲、乙等四名记者去上海虹桥机场、北京首都机场和中国商飞总部进行现场报道，若每个地方至少有一名记者，每个记者只去一个地方，则甲、乙同去上海虹桥机场的概率为
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5.(2023·合肥模拟)某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若A高中恰好需要1名心理学教授，B，C，D三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有
A.150种 B.540种 C.900种 D.1 440种
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∴不同的分配方案共有6×(90＋60)＝900(种).
6.(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
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方法一 如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，
所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.
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方法二 令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，
则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，
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A.－2 B.－1 C.1 D.2
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令5－2k＝－1，解得k＝3，
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所以10m－10＝10，解得m＝2.
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8.(2023·昆明模拟)随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式，避免在没有任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私加以保护，又能获得所需要的真实信息.某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”.
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①若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“×”；
②若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画“√”，画“×”的比例为3∶2，用频率估计概率，则该公司员工对考勤管理方案的满意率为
A.50% B.60% C.70% D.80%
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抛掷一枚质地均匀的硬币两次，共出现以下情况：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，
记一次正面朝上一次反面朝上为事件A，则共有2种情况满足要求，
设回答②且画“√”为事件C，
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所以该公司员工对考勤管理方案的满意率为70%.
二、多项选择题
9.(2023·南京模拟)在 的展开式中
A.常数项为160 B.含x2项的系数为60
C.第4项的二项式系数为15 D.所有项的系数和为1
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10.某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买)，甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排，则
A.若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种
B.若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1 154种
C.若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种
D.若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一
排，则购票的情况共有508种
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11.(2023·莆田模拟)甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件Ai(i＝0,1,2)表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则
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√
√
A0表示从甲罐中取出的2个球，没有红球，A1表示从甲罐中取出的2个球，有1个红球，A2表示从甲罐中取出的2个球，有2个红球，在一次试验中，这三个事件，任两个事件不能同时发生，所以两两互斥，故A正确；
P(B)＝P(B|A0)P(A0)＋P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)
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则P(A1B)＝P(A1)P(B)，所以B与A1相互独立，故D错误.
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√
√
对于A，令x＝1，可得a1＝12 023＝1，所以A正确；
对于B，令x＝2，可得2a1＋2a2＝22 023，
所以a1＋a2＝22 022，所以B不正确；
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可得x2 023＝a1x＋a2x(x－1)＋…＋a2 023x(x－1)·(x－2)…(x－2 022)，
令x＝－1，可得－1＝－a1＋2！a2－3！a3＋4！a4＋…－2 023！a2 023，
因为a1＝1，
所以2！a2－3！a3＋…－2 023！a2 023＝0，
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＝a2＋a3(x－2)＋…＋a2 023(x－2)(x－3)…(x－2 022)，
取x＝1，可得2 022＝a2－a3＋2！·a4－…－2 021！·a2 023，
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三、填空题
13.(x－2y＋1)6展开式中含x2y项的系数为________.
－120
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14.北京日坛公园的西门位于东西中轴线上，公园内部的主要路径及主要景点如图所示.某活动小组计划从“烈士墓”出发，经“东西中轴线及其以北”的主要路径前往“祭日拜台”进行实践活动，活动结束后
经“东西中轴线及其以南”的主要路径由南门离开.已知小组成员的行动路线中没有重复的主要路径.则该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过____个主要景点；该小组全程共有____条行动路线可供选择.
5
35
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该小组在前往“祭日拜台”的途
中最多可以路过主要景点依次有：
北天门，祭器库，神库神厨，悬
铃木，西天门，共5个；
各路口与景点标记如图所示，该
小组全程行动路线可分三类：
第一类：由A经H到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到H的路线有：AFGH，AFGDEH，ABDGH，ABDEH，
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第二步活动结束后从“祭日拜台”
到南门路线有：IMO，IMKLNO，
IMNLKO，JLKO，JLNO，共有4
×5＝20(种).
第二类：由A经I到“祭日拜台”
再到南门，路线分两步，第一步
先由A到I的路线有：AFI，ABDGFI，ABDEHGFI，第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：JLKO，JLNO，共有3×2＝6(种).
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第三类：由A经J到“祭日拜台”
再到南门，路线分两步，第一
步先由A到J的路线有：ABCJ，
AFGDBCJ，AFGHEDBCJ，第
二步活动结束后从“祭日拜台”
到南门路线有：IMO，IMKLNO，
IMNLKO，共有3×3＝9(种).
因此，共有20＋6＋9＝35(种).
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电商平台在第二次推送时小李不购买此商品的概率
16.(2023·温州模拟)若数列a1，a2，a3，a4满足a1＋a4＝a2＋a3，则称此数列为“准等差数列”.现从1,2，…，9,10这10个数中随机选取4个不同的数，
则这4个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列”的概率是______.
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和为5有2种组合，和为6有2种组合，
和为7有3种组合，和为8有3种组合，
和为9有4种组合，和为10有4种组合，
和为11有5种组合，和为12有4种组合，
和为13有4种组合，和为14有3种组合，
和为15有3种组合，和为16有2种组合，
和为17有2种组合，
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16(共94张PPT)
专题一 函数与导数
第2讲 随机变量及其分布
专题一 函数与导数
离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.
考情分析
内容索引
考点一
考点二
考点三
分布列的性质及应用
随机变量的分布列
正态分布
专题强化练
考点一
分布列的性质及应用
离散型随机变量X的分布列为
核心提炼
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
(4)D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.
(5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X).
例1
(1)(多选)(2023·台州模拟)已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中ab≠0，则下列说法正确的是
A.a＋b＝1 B.E(X)＝2b
C.D(X)有最大值 D.D(X)有最小值
√
√
所以D(X)是开口向下的二次函数.
所以D(X)有最大值，无最小值.
所以C正确，D不正确.
∴ξ的分布列为
规律方法
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
(1)(多选)已知某项试验成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验的成功次数，E(X)，D(X)分别为随机变量的均值和方差，则
跟踪演练1
√
√
√
设0代表试验失败，1代表试验成功，
则X的所有可能取值为0,1，
则X的分布列如表所示，
(2)(多选)(2023·温州模拟)随机变量X的分布列如表所示，则D(bX)的最大值为
X 1 2 3
P a 2b a
√
由题可知2a＋2b＝1,0≤a≤1,0≤2b≤1，
E(X)＝a＋4b＋3a＝4(a＋b)＝2，D(X)＝(1－2)2a＋(3－2)2a＝2a，
则D(bX)＝b2D(X)＝2ab2＝－2b3＋b2，
令f(b)＝－2b3＋b2，则f′(b)＝－6b2＋2b＝－2b(3b－1)，
考点二
随机变量的分布列
1.二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(01)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝ pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
核心提炼
2.超几何分布
(2023·济南模拟)某校举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，知识竞赛包含预赛和决赛.
(1)下表为某10位同学预赛成绩：
求该10位同学预赛成绩的第75百分位数和平均数；
例2
考向1 相互独立事件
得分 93 94 95 96 97 98
人数 2 2 3 1 1 1
因为10×0.75＝7.5，所以第75百分位数为第8个成绩，为96；
由题意可知X的所有可能取值为2,3,4,5，
所以X的分布列为
(2023·安阳模拟)不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱.某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：
例3
考向2 超几何分布
民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
普通型民宿 19 5 4 17 13 18 9 20 10 15
品质型民宿 6 1 2 10 11 10 9 12 8 5
(1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率；
民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
普通型民宿 19 5 4 17 13 18 9 20 10 15
品质型民宿 6 1 2 10 11 10 9 12 8 5
设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件A；
“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件B；
所以选出的4间均为普通型民宿的概率为
(2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和均值.
民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
普通型民宿 19 5 4 17 13 18 9 20 10 15
品质型民宿 6 1 2 10 11 10 9 12 8 5
这10家民宿，其中普通型民宿的房间不低于17间的有4家，随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4，
X的分布列为
(2023·焦作模拟)全国家庭教育宣传周期间，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成长，协同育新人”主题活动，最终评出了8位“最美家长”，其中有6位妈妈，2位爸爸，学校准备从这8位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享.
(1)若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件A，第二次抽到爸爸为事件B，求P(A)和P(B)；
例4
考向3 二项分布
(2)现需要每天从这8位“最美家长”中随机选1人，连续4天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做1场经验分享，1天只做1场，且人选可以重复，记这4天中爸爸做经验分享的天数为X，求X的分布列和均值.
故X的分布列为
规律方法
求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；
(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.
(1)(多选)(2023·泉州模拟)下列说法正确的有
A.某学校有2 023名学生，其中男生1 012人，女生1 011人，现选派10名
学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布
B.若随机变量X的均值E(X)＝2 023，则E(X－1)＝2 023
C.若随机变量X的方差D(X)＝2，则D(2X＋2 023)＝8
D.随机变量X～B(2 023,0.5)，则P(X≤1 010)＝P(X≥1 011)
跟踪演练2
√
√
A选项，根据超几何分布的定义，可知A正确；
B选项，E(X－1)＝E(X)－1＝2 022，故B错误；
C选项，D(2X＋2 023)＝22D(X)＝8，故C正确；
D选项，因为X～B(2 023,0.5)，
根据组合数的对称性可知，P(X≤1 010)＝P(X≥1 013)，故D错误.
(2)某地为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
①在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；
记“从10所学校中随机选取3所学校参与‘自由式滑雪’都超过40人”为事件A，
参与“自由式滑雪”的人数超过40的学校共4所，
②“单板滑雪”参与人数超过45的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和均值；
X的所有可能取值为0,1,2,3，
参与“单板滑雪”人数在45以上的学校共4所，
所以X的分布列如右表：
③现在有一个“单板滑雪”集训
营，对“滑行、转弯、停止”这
3个动作技巧进行集训，且在集
训中进行了多轮测试.规定：在
一轮测试中，这3个动作中至少
有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在集训测试中，小明同学每个动作达到“优秀”的概率均为 ，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的均值达到不少于5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件B，
因为n∈N*，所以n的最小值为20，
故至少要进行20轮测试.
考点三
正态分布
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴x＝μ.
(2)样本标准差σ.
(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.
核心提炼
(1)(多选)(2023·运城模拟)已知某校高二男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(175,16)，且P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，则
A.该校高二男生的平均身高是175 cm
B.该校高二男生身高的方差为4
C.该校高二男生中身高超过183 cm的人数超过总数的3%
D.从该校高二男生中任选一人，身高超过180 cm的概率与身高不超过
170 cm的概率相等
例5
√
√
对选项A，在N(μ，σ2)中，μ为平均数，正确；
对选项B，方差为σ2＝16，错误；
对选项D，正态曲线关于直线x＝175对称，所以身高超过180 cm的概率与身高不超过170 cm的概率相等，正确.
(2)已知随机变量ξ服从正态分布，有下列四个命题：
甲：P(ξ＞a＋1)＞P(ξ＞a＋2)；
乙：P(ξ≤a)＝0.5；
丙：P(ξ＞a＋1)＝P(ξ＜a－1)；
丁：P(a－1＜ξ＜3＋a)＜P(a＜ξ＜4＋a).
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
√
对于甲，a取任何值，都有P(ξ>a＋1)>P(ξ>a＋2)，所以甲为真命题；
对于乙，若P(ξ≤a)＝0.5，则该正态分布的均值μ＝a；
对于丙，若P(ξ＞a＋1)＝P(ξ＜a－1)，
乙和丙至少有一个真命题，又因为乙和丙等价，所以乙和丙都是真命题；
对于丁，P(a<ξ<4＋a)＝P(a<ξ<3＋a)＋P(3＋a<ξ<4＋a)
＝P(a<ξ<3＋a)＋P(a－4<ξ规律方法
利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：
(1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).
(2)P(X(3)P(a (1)教育部教育考试院给使用新高考卷的吉林、黑龙江、安徽、云南命制了一套四省联考题，测试的目的是教考衔接，平稳过渡.假如某市有40 000名考生参加了这次考试，其数学成绩X服从正态分布，总体密度
函数为f(x)＝ ，且P(70≤X≤120)＝0.9，则该市这次考试数
学成绩超过120分的考生人数约为
A.4 000 B.3 000 C.2 000 D.1 000
跟踪演练3
√
由总体密度函数解析式可知μ＝95，
则该市这次考试数学成绩超过120分的考生人数约为0.05×40 000＝
2 000(人).
(2)(2023·哈尔滨模拟)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量
做n次测量，最后结果的误差Xn～N 的概率不大于
0.002 7，至少要测量的次数为(参考数据：P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A.141 B.128 C.288 D.512
√
因为μ＝0，所以P(－3σ≤Xn≤3σ)≈0.997 3，
所以至少要测量的次数为288次.
专题强化练
一、单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
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2
3
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5
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7
8
9
10
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
2.在一个袋中装有除颜色外完全相同的4个黑球，3个白球，现从中任取
3个小球，设取的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由题意知，随机变量X服从N＝7，M＝3，n＝3的超几何分布，故B错误，C正确；
3.(2023·宁德质检)某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲、乙两个品种的茶青每500克的红茶产量(单位：克)分别为X，Y，
其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是
A.Y的数据较X更集中
B.P(X≤c)C.甲种茶青每500克的红茶产量超过μ2的概
率大于
D.P(X>c)＋P(Y≤c)＝1
√
1
2
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4
5
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7
8
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14
对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；
对于B，∵c，μ2与Y的密度曲线围成的面积S1大于c，μ1 与X的密度曲线围成的面积S2，
∴P(X≤c)＜P(Y≤c)，正确；
对于C，∵μ2＜μ1，
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∴P(X＞c)＋P(Y≤c)＝1＋S1－S2>1，错误.
4.小华与另外4名同学进行“手心手背”游戏，规则是：5人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得1分，其余每人得0分.现5人共进行了3次游戏，记小华3次游戏得分之和为X，则E(X)为
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√
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设0表示手背，1表示手心，用5位的二进制数表示所有可能的结果，其中第一位表示小华所出的手势，后四位表示其余四人的手势，
如表所示，
00000 00001 00010 00011
00100 00101 00110 00111
01000 01001 01010 01011
01100 01101 01110 01111
10000 10001 10010 10011
10100 10101 10110 10111
11000 11001 11010 11011
11100 11101 11110 11111
X可能的取值为0,1,2,3，且X服从二项分布，
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5.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
√
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设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，
在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，
在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙，
方法一 由题意可知，P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]
＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，
P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，
P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3.
所以P丙－P甲＝2p2(p3－p1)>0，P丙－P乙＝2p1(p3－p2)>0，
所以P丙最大，故选D.
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方法二 (特殊值法)
不妨设p1＝0.4，p2＝0.5，p3＝0.6，
则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝0.4；
在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝0.52；
在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝0.6.
所以P丙最大，故选D.
6.(2023·泰州模拟)在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对 a>0，都有P(ξ≥a)≤ .某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取
3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为P(A).则P(A)的最大值为
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√
记该市去年1名市民的收入为X万元，则E(X)＝10，
从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y.
设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p，
因为Y～B(3，p)，
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令f(p)＝3p3－6p2＋3p，
则f′(p)＝9p2－12p＋3＝3(3p－1)(p－1)，
所以3p－1<0，p－1<0，即f′(p)>0，
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二、多项选择题
7.(2023·沈阳模拟)为调查中学男生的肺功能情况，对两学校各1 000名男生的肺活量数据(单位：ml)进行分析，随机变量x表示甲校男生的肺活量，且x～n(3 000,2002)，随机变量y表示乙校男生的肺活量，且y～n(3 200,3002)，则下列说法中正确的有
a.甲校男生肺活量数据的均值低于乙校
b.乙校男生肺活量数据的波动幅度大于甲校
c.估计甲、乙两校男生肺活量在3 000 ml～3 200 ml的人数占比相同
d.估计甲校男生肺活量低于2 800 ml的人数比乙校男生肺活量低于2 800 ml的
人数多
√
√
√
由题设，甲校男生肺活量均值为3 000，标准差为200，乙校男生肺活量均值为3 200，标准差为300，所以甲校男生肺活量数据的均值、波动幅度都低于乙校，A，B正确；
甲校男生肺活量在3 000 mL～3 200 mL的概率为P(μ≤X≤μ＋σ)＝P(μ－σ≤X≤μ)，而乙校对应概率小于P(μ－σ≤Y≤μ)，故男生肺活量在
3 000 mL～3 200 mL的人数占比不同，C错误；
甲校男生肺活量低于2 800 mL的概率为P(X<μ－σ)，而乙校对应概率小于P(Y<μ－σ)，故估计甲校男生肺活量低于2 800 mL的人数比乙校男生肺活量低于2 800 mL的人数多，D正确.
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8.随机变量ξ的分布列如表所示，其中xy≠0，下列说法正确的是
√
√
√
因为xy≠0，x＋y＝1，易得01
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三、填空题
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10.(2023·青岛模拟)某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(175，σ2)，已知P(175≤X<180)＝0.2，若P(X≤a)∈[0.3,0.5].写出一个符合条件的a的值为_________________________________.
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172([170,175]中的任意一个数均可)
因为X～N(175，σ2)，且P(175≤X<180)＝0.2，
则P(X≤170)＝P(X≥180)＝0.5－0.2＝0.3，
且P(X≤175)＝0.5，故若P(X≤a)∈[0.3,0.5]，
则a∈[170,175].([170,175]中的任意一个数均可).
11.把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形
的个数X不少于2的概率为________.
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如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为半圆弧另外的三个四等分点，
从A，B，C，D，E这5个点中任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为
其中直角三角形有△ABC，△ABD，△ABE，共3个，
钝角三角形的个数为10－3＝7，
由题意可知X∈{0,1,2,3}，
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12.(2023·汕头模拟)某单位有10 000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10 000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，平均每个人需要化验________次.(结果保留四位有效数字)(0.955≈0.773 8,0.956≈0.735 1,
0.957≈0.698 3).
0.426 2
设每个人需要的化验次数为X，
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X的分布列为
说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.426 2次.
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四、解答题
13.(2023·衡阳名校协作体模拟)某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一步基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)才能进行第二步技能操作.第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.
以两步总分和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为 ，且各题操作互不影响.
(1)求李明被终止比赛的概率；
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(2)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后得分的分布列及均值；
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设李明在竞赛中，A类题全部操作正确后得分为X，则X的所有可能取值为40,60,80,100，
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所求X的分布列为
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(3)求李明获二等奖的概率.
设“李明获二等奖”的事件为N，事件N即A类题全部操作正确，B类题正确操作2题或A类题操作正确3题，B类题全部正确操作，
所以李明获二等奖的概率为P(N)
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14.(2023·龙岩质检)新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差(这里指质量与生产标准的差的绝对值)的样本数据统计如下表.
质量差(单位：mg) 56 67 70 78 86
件数(单位：件) 10 20 48 19 3
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质量差(单位：mg) 56 67 70 78 86
件数(单位：件) 10 20 48 19 3
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
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由X～N(μ，σ2)，μ＝70，σ2＝36得，
P(64≤X≤82)＝P(70－6≤X≤70＋2×6)
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(2)若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线生产效率的两倍.若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽取一件.
①求该零件为废品的概率；
质量差(单位：mg) 56 67 70 78 86
件数(单位：件) 10 20 48 19 3
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设“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”为事件A，
“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”为事件B1，
“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”为事件B2，
又P(A|B1)＝0.015，P(A|B2)＝0.018，
于是P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)
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②若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
质量差(单位：mg) 56 67 70 78 86
件数(单位：件) 10 20 48 19 3(共49张PPT)
专题一 函数与导数
培优点6 概率与统计的创新题型
概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解.
内容索引
考点一
考点二
概率和数列的综合问题
概率和函数的综合问题
专题强化练
考点一
概率和数列的综合问题
例1
(2023·晋中模拟)晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文景观(如王家大院，常家庄园等)，也有风景秀丽的自然景观(如介休绵山，石膏山等).某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览.若每位游客选择人文景观的概率是 ，选择自然景观的概率为 ，游客之间选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X，求X的均值与方差；
(2)现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为n分的概率为Pn，求Pn.
规律方法
概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：
(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式.
(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.
(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.
(2023·邯郸模拟)某市为了让广大市民更好地了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大赛.比赛共设置n道题，参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目.设某选手答对每道题的概率均为p(0(1)记答题结束时答题个数为X，当n＝3时，若E(X)>1.75，求p的取值范围；
跟踪演练1
根据题意，X的所有可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝1－p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝p2，
所以E(X)＝1－p＋2p(1－p)＋3p2＝p2＋p＋1，
(2)①记答题结束时答对题的个数为Y，求E(Y)；
P(Y＝k)＝pk(1－p)，
其中k＝0,1,2，…，n－1，P(Y＝n)＝pn.
方法一 Y的均值E(Y)＝p(1－p)＋2p2(1－p)＋…＋(n－1)pn－1(1－p)＋npn
＝(1－p)[p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1]＋npn，
设Sn＝p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1，
利用错位相减可得(1－p)Sn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1－(n－1)pn，
所以E(Y)＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1－(n－1)pn＋npn
方法二 E(Y)＝(p－p2)＋(2p2－2p3)＋(3p3－3p4)＋…＋[(n－1)pn－1－(n－1)pn]＋npn
②当p＝ 时，求使E(Y)>4的n的最小值.
参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477.
所以n>8.848，又n∈N*，故n的最小值为9.
考点二
概率和函数的综合问题
(2023·淮北模拟)社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分支学科.其基本内容包括：人口作为社会变动的原始依据的探讨，将人口行为作为引起社会体系特征变动的若干因素中的一个因素来研究.根据社会人口学研究发现，一个家庭有ξ个孩子(仅考虑不超过3个孩子家庭)的分布列为：
例2
其中m>0,0且B＝BA0＋BA1＋BA2＋BA3，
(2)参数p受到各种因素的影响(如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)，通过改变参数p的值来调控未来人口结构.若希望P(ξ＝2)增大，如何调控p的值？
由题意得P(ξ＝2)＝m，考虑m的变化即可，
记g(p)＝2p3－3p2－1，则g′(p)＝6p2－6p＝6p(p－1)<0，
故g(p)在(0,1)上单调递减，
∵g(0)＝－1，∴g(p)<0，∴f′(p)<0，f(p)在(0,1)上单调递减，
规律方法
构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制.
(2023·浙江金丽衢十二校联考)某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一、二等，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.已知生产一件产品的利润如下表：
跟踪演练2
等级 一等 二等 三等
利润(万元/每件) 0.8 0.6 －0.3
(1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；
等级 一等 二等 三等
利润(万元/每件) 0.8 0.6 －0.3
(2)求该公司每天所获利润ξ(万元)的均值；
设一件产品为一等品为事件A，二等品为事件B，次品为事件C，
则P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，P(C)＝0.1，
则ξ的所有可能取值为1.6,1.4,1.2,0.5,0.3，－0.6，
P(ξ＝－0.6)＝[P(C)]2＝0.01，
P(ξ＝1.2)＝[P(B)]2＝0.16，
P(ξ＝1.6)＝[P(A)]2＝0.25，
则ξ的分布列为
E(ξ)＝－0.6×0.01＋0.3×0.08＋0.5×0.1＋1.2×0.16＋1.4×0.4＋1.6×0.25＝1.22.
ξ －0.6 0.3 0.5 1.2 1.4 1.6
P 0.01 0.08 0.1 0.16 0.4 0.25
等级 一等 二等 三等
利润(万元/每件) 0.8 0.6 －0.3
(3)若该工厂要增加日产量，需引入设备及更新技术，但增加n件，其成本也将相应提升n－ln n(万元)，假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由.(ln 2≈0.69，ln 3≈1.1)
由(2)可知，每件产品的平均利润为1.22÷2＝0.61(万元)，则增加n件产品，利润增加为0.61n万元，成本也相应提高(n－ln n)万元，
所以净利润为0.61n－n＋ln n＝ln n－0.39n，n∈N*，
因为x只能取整数，所以x＝2或x＝3，此时f(x)可能为最大值，
f(2)＝ln 2－0.39×2≈0.69－0.78＝－0.09<0，
f(3)＝ln 3－3×0.39≈1.1－1.17＝－0.07<0，
即在f(x)取得最大值时也是亏本的，所以不应该增加产量.
专题强化练
1.(2023·石家庄模拟)国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定：中小学校每年组织一次在校学生健康体检，现某学校有4 000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4 000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
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(1)若m＝0.4，记每人血样化验次数为X，当k取何值时，X的均值最小，并求化验总次数；
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设每人血样化验次数为X，
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所以当k＝16时，f(x)取得最小值，所以E(X)的最小值为0.126 5.
所以按16人一组，每个人血样化验次数的均值最小，此时化验总次数为4 000×0.126 5＝506.
(2)若m＝0.8，设每人血样单独化验一次费用为5元，k个人混合化验一次费用为k＋4元.求当k取何值时，每人血样化验费用的均值最小，并求化验总费用.
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设每组k人，每组化验总费用为Y元，
若混合血样呈阴性，则Y＝k＋4，若混合血样为阳性，则Y＝6k＋4，
且P(Y＝k＋4)＝0.992k，P(Y＝6k＋4)＝1－0.992k，
所以E(Y)＝(k＋4)×0.992k＋(6k＋4)(1－0.992k)
＝6k－5k×0.992k＋4，
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所以当10个人一组时，每个人血样化验费用的均值最小，化验总费用为4 000×1.8＝7 200(元).
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2.(2023·广州模拟)随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广.
(1)公司内部测试的活动方案设置了第i(i∈N*)次抽奖中奖的名额为3i＋2，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束.参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中.
①求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率；
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②求甲参加抽奖活动次数的分布列和均值；
设甲参加抽奖活动的次数为X，则X＝1,2,3，
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设丙参加抽奖活动的次数为Y，“丙中奖”为事件A，
令m≤n，m∈N*，则丙在第2m－1次中奖的概率
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则丙参加活动次数的均值为E(Y)
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2(共6张PPT)
专题一 函数与导数
规范答题5 概率与统计
(12分)(2023·新高考全国Ⅰ)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率； [切入点：pi＋1与pi之间的关系]
(1)利用全概率公式
(2)寻求pi+1与pi之间的关系，构造等比数列
(3)根据结论及等比数列的求和公式求解
思路分析
解 (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi， (1分)
答题模板 规范答题不丢分
＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6. (3分)
(2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，
P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)
＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
所以
①处写出P(B2)的概率计算公式
则P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)
＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，
(5分)
②处写出P(Ai＋1)的概率计算公式
即pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2，
③处写出pi＋1与pi的关系
则
(7分)
④处构造出等比数列
(9分)
⑤处计算出pi
⑥处利用题干结论计算E(Y)