(共68张PPT)
专题一 函数与导数
微重点4 平面向量数量积的最值与范围问题
平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法.
内容索引
考点一
考点二
考点三
求参数的最值(范围)
求向量模、夹角的最值(范围)
求向量数量积的最值(范围)
专题强化练
求参数的最值(范围)
考点一
例1
又因为m∈(0,1)，由二次函数的性质得
(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为
A.[－1,3] B.[－1,5]
C.[－7,3] D.[5,7]
√
∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1，
a·b＝2×1×cos θ＝2cos θ，
∵不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，
∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，
∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，
整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cos θ≥0恒成立，
∵cos θ∈[－1,1]，
规律方法
利用共线向量定理及推论
(1)a∥b a＝λb(b≠0).
跟踪演练1
√
如图，若D为BC的中点，又G为△ABC的重心，
2
以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O作OA的垂线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
考点二
求向量模、夹角的最值(范围)
例2
(1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为
A.4 B.5
C.6 D.7
√
可设e＝(1,0)，a＝(x，y)，
则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)
＝x2－6x＋5＋y2＝0，
即(x－3)2＋y2＝4，
则1≤x≤5，－2≤y≤2，
即|a＋e|的最大值为6.
(2)平面向量a，b满足|a|＝3|b|，且|a－b|＝4，则a与a－b夹角的余弦值的
最小值为________.
设|b|＝m，|a|＝3m，
又|a－b|＝4，则1
易错提醒
找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π].若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线；若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b<0和a，b不共线.
跟踪演练2
(1)(2023·杭州模拟)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为
锐角，则实数λ的取值范围为____________________.
因为a＝(1,2)，b＝(1,1)，
所以a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，
因为a与a＋λb的夹角为锐角，
所以a·(a＋λb)>0，且a与a＋λb不共线，
√
由|a＋b|2＝4，
得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|cos θ＝4，
当且仅当|a|＝|b|时，等号成立，
考点三
求向量数量积的最值(范围)
例3
√
由题意可得△OAB为直角三角形，
则A(cos α，0)，B(0，sin α)，
如图所示，则由等腰直角三角形的性质可得C(cos α＋sin α，cos α)，
√
连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，
所以由勾股定理可得|PA|＝1，
设直线PO绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，
＝cos2θ－sin θcos θ
规律方法
向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断.
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.
跟踪演练3
(1)(2023·台州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(含边界)一点，M为边BC的中点，则 的取值范围是
A.[－2,6] B.[－1,9]
C.[－2,4] D.[－1,6]
√
分别过C，F作CK⊥AM，FH⊥AM，K，H为垂足，
因为ABCDEF是正六边形，所以以AB为x轴，AE为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
√
作出如图所示的图形，
专题强化练
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√
1.(2023·咸阳模拟)已知向量a，b，且|a|＝|b|＝5，|a＋b|＝6，则|ta＋b|
(t∈R)的最小值为
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由题意，∵|a＋b|＝6，
∴a2＋b2＋2a·b＝36，
∵|a|＝|b|＝5，∴a·b＝－7，
∴|ta＋b|2＝t2a2＋2ta·b＋b2
＝25t2＋2t×(－7)＋25
＝25t2－14t＋25
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又0≤〈a，b〉≤π，函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，
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所以λ＋μ＝2(1－k)＋k＝2－k∈[1,2].
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4.(2023·北京模拟)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝2，|a－λe|＝1，则|a|的最大值为
A.1 B.2 C. D.4
√
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依题意设e＝(1,0)，a＝(x，y)，
因为a·e＝2，所以x＝2，
则a＝(2，y)，
又a－λe＝(2，y)－(λ，0)＝(2－λ，y)，
且|a－λe|＝1，
即y2＝1－(2－λ)2，
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所以OB⊥OC，
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7.(多选)(2023·南通模拟)平面向量a，b满足a2－a·b－4＝0，|b|＝3，则|a|的取值可能是
A.1 B.3
C.4 D.6
√
√
√
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设向量a，b的夹角为θ，
∵a2－a·b－4＝0，|b|＝3，
∴a2－4＝a·b＝3|a|cos θ，
∵0≤θ≤π，
∵|a|>0，∴解得1≤|a|≤4.
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√
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以正方形ABCD的中心为原点，如图，建立平面直角坐标系，
则A(－1，－1)，B(1，－1)，D(－1,1)，
设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π)，
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(1＋cos θ，1＋sin θ)＝λ(2,0)＋μ(0,2)，
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(－1,3)
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又cos∠BCD∈(－1,1)，
所以1－1×2cos∠BCD＝1－2cos∠BCD∈(－1,3).
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10.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，则|2a＋b|＋|2a－b|的最小值是_____，最大值是________.
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∵|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b＋2a－b|＝4|a|＝4，
且|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b－2a＋b|＝2|b|＝6，
∴|2a＋b|＋|2a－b|≥6，当且仅当2a＋b与2a－b反向时等号成立.
此时|2a＋b|＋|2a－b|的最小值为6.
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当且仅当|2a＋b|＝|2a－b|时等号成立，(共70张PPT)
专题一 函数与导数
微重点3 三角函数
中ω，φ的范围问题
三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上.
内容索引
考点一
考点二
考点三
三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围
单调性与ω，φ的取值范围
零点与ω，φ的取值范围
专题强化练
考点一
三角函数的最值(值域)
与ω，φ的取值范围
例1
√
√
√
√
规律方法
求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围.
跟踪演练1
√
其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，
考点二
单调性与ω，φ的取值范围
例2
√
所以ω的最小值为11.
规律方法
若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解.
跟踪演练2
√
考点三
零点与ω，φ的取值范围
例3
(1)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________.
[2,3)
因为0≤x≤2π，
所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)＝cos ωx－1＝0，
则cos ωx＝1有3个根，
令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]，
结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，
故2≤ω<3.
规律方法
已知函数的零点、极值点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的最大值、最小值点.
跟踪演练3
√
√
由上分析知，极值点个数可能为5或6个，B错误；
专题强化练
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又因为f(x)在[－t，t]上单调递增，
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即ω＝6k1或ω＝6k2＋2，其中k1，k2∈Z，
由于ω>0，所以ω的最小值为2.
√
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由题意若f(x)的图象与直线y＝－1在[0,2π]上有且仅有1个交点，
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即f(x)在[0,2π]上可能有2个零点，也可能有3个或4个零点，B错误；
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要使φ最小，则k取0，
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10(共102张PPT)
专题一 函数与导数
第2讲 三角恒等变换与解三角形
专题一 函数与导数
考情分析
1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积
等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范
围问题.
2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度.
内容索引
考点一
考点二
考点三
三角恒等变换
正弦定理、余弦定理及综合应用
解三角形的实际应用
专题强化练
考点一
三角恒等变换
核心提炼
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β；
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
例1
√
由3cos 2α－4cos α＋1＝0得3(2cos2α－1)－4cos α＋1＝0，
化简得3cos2α－2cos α－1＝0，
√
规律方法
三角恒等变换的“4大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等.
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等.
(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂.
(4)弦、切互化：一般是切化弦.
√
跟踪演练1
(2)已知函数f(x)＝sin x－2cos x，若当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos θ＝
________.
考点二
正弦定理、余弦定理及综合应用
核心提炼
例2
考向1 正弦定理、余弦定理
√
所以由正弦定理得ac＝b2－a2－c2，
即a2＋c2－b2＝－ac，
(2)(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝ ，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝_____.
2
方法一 在△ABC中，由余弦定理可得，
a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，
即6＝b2＋22－2×b×2×cos 60°，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，
解得AD＝2.
方法二 在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，
即6＝b2＋22－2×b×2×cos 60°，
所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，
又∠BAD＝30°，
所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2.
考向2 解三角形中的最值与范围问题
(2023·大连模拟)从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，________.
(1)求角A；
例3
选①，由余弦定理得，
b2＋c2－a2＝2bccos A，
整理得b2＋c2－a2＝bc，
又因为A＋C＝π－B，
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Ccos A，
因为0因为0(2)若D为边AB的中点，CD＝2 ，求b＋c的最大值.
在△ACD中，设∠ADC＝θ，θ∈(0，π)，
由正弦定理得
规律方法
解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略
(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围.
(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围.
跟踪演练2
√
(1)(2023·宝鸡模拟)在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC等于
方法一 设BC＝2x，则BD＝CD＝x.
在△ACD中，由余弦定理的推论可得，
在△ABD中，由余弦定理的推论可得，
又∠ADC＋∠ADB＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠ADB，
整理可得x2＝12，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
①求角A的大小；
＝－cos Acos B＋sin Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
②若a＝2，求△ABC的周长的取值范围.
所以b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号.
又因为b＋c>a＝2，所以4考点三
解三角形的实际应用
解三角形应用题的常考类型
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.
核心提炼
例4
√
(1)(2023·洛阳模拟)某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下：①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别为a1 m，a2 m(a2>a1)，两次观测时镜子间的距离为a m，人的“眼高”为h m，则建筑物的高度为
设建筑物的高度为x，如图所示，
由△HGF∽△DEF，
所以ha＋xa1＝xa2，即x(a1－a2)＝－ha，
(2)(2023·济南模拟)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行
600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为________米.
由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，
所以∠CBD＝90°，
又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，
在△ABC中，∠ACB＝∠DCA－∠DCB＝75°－30°＝45°，
由余弦定理得
规律方法
解三角形实际问题的步骤
跟踪演练3
(1)(2023·湖州、衢州、丽水质检)喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在点C处测得酒店顶端A的仰角∠ACB＝28°，则酒店的高度约是
A.91米 B.101米
C.111米 D.121米
√
由题设∠CBD＝30°，
(2)(2023·广州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________ m.
因为∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，所以∠ADC＝150°，
所以∠DAC＝15°，所以AD＝CD＝35，
又因为∠ACB＝120°，
所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°，
在△BCD中，由正弦定理得
在△ABD中，由余弦定理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB
专题强化练
一、单项选择题
1.(2023·汕头模拟)在△ABC中，已知C＝45°，b＝ ，c＝2，则角B为
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
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√
又因为c>b，可得C>B，即0°2.(2023·芜湖模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos A＋bcos(A＋C)＝0，则△ABC为
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
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由acos A＋bcos(A＋C)＝0，
得acos A－bcos B＝0，
由正弦定理得sin Acos A－sin Bcos B＝0，
所以sin 2A＝sin 2B，
因为0<2A<2π，0<2B<2π，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
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因为α为锐角，
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√
4.(2023·南充模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是
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依题意，如图，在△ABC中，
∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，
则∠ACB＝45°，
由正弦定理得
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5.(2023·烟台模拟)已知α，β满足sin(2α＋β)＝cos β，tan α＝2，则tan β的值为
√
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因为sin(2α＋β)＝cos β，
所以sin(α＋α＋β)＝cos(α＋β－α)，
即sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
显然cos α≠0，两边同除cos α得，
tan αcos(α＋β)＋sin(α＋β)＝cos(α＋β)＋tan αsin(α＋β)，
2cos(α＋β)＋sin(α＋β)＝cos(α＋β)＋2sin(α＋β)，
即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，易知cos(α＋β)≠0，
√
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即2a2＋2b2＝5abcos C，
当且仅当a＝b时，等号成立，
又y＝cos x在(0，π)上单调递减，C∈(0，π)，
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二、多项选择题
7.(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7，则下列结论正确的是
A.sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4
B.△ABC为钝角三角形
√
√
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设a＋b＝5t，b＋c＝6t，c＋a＝7t，t>0，
则a＝3t，b＝2t，c＝4t，
对于A，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，
故A不正确；
对于B，c最大，所以C最大，
对于C，若a＝6，则t＝2，b＝4，c＝8，
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对于D，由正弦定理的推论得
△ABC的周长l＝9t，
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故D正确.
三、填空题
9.(2023·开封模拟)在△ABC中，AB＝7，BC＝3，C＝ ，则△ABC的面
积为________.
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由余弦定理可得，AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C，
所以CA2＋3CA－40＝0，
解得CA＝5或CA＝－8(舍去)，
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sin 3θ＝sin(θ＋2θ)＝sin θcos 2θ＋cos θsin 2θ
＝sin θ(1－2sin2θ)＋2sin θcos2θ
＝3sin θ－4sin3θ，
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11.(2023·泉州统考)2022年11月30日，神舟十五号载人飞船成功与天和核心舱对接形成组合体，并于2023年6月4日成功返回地面.本次任务的完成见证了货运飞船与空间站交会对接最快世界纪录等众多历史性时刻.如图，神舟十五号返回舱接近地面时，伞面是表面积约为392π m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC在水平地面上的投影为D，D
和观测点A在同一水平线上.在遥控观测点A处测得点B的仰角为45°，线段BC的视角(即∠BAC)的正弦值为 ，则此时返回舱底端离
地面的高度约为______m.
50
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则R＝14，所以BC＝5R＝70，
因为仰角∠BAD＝45°，
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所以在Rt△ACD中，
故返回舱底端离地面的高度约为50 m.
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由角平分线定理得
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设CD＝2m，则AD＝3m，
在△BCD中，
在△ABD中，
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又cos∠BDC＝cos(π－∠BDA)＝－cos∠BDA，
整理得c2＝9m2＋6， ①
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四、解答题
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选①，
因为01
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选②，
因为1＋2cos Ccos B＝cos(C－B)－cos(C＋B)，
所以1＋2cos Ccos B－cos(C－B)＋cos(C＋B)＝1＋2cos(C＋B)＝1－2cos A＝0，
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(2)求△ABC内切圆的半径.
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所以bc＝2，
设△ABC内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，
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由余弦定理得
c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，
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在△ABD中，
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在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC，
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(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
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方法一 在△ABD与△ACD中，由余弦定理得
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解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π，
方法二 在△ABC中，因为D为BC的中点，
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解得sin∠ADC＝1，而0<∠ADC<π，
专题一 函数与导数
本课结束(共91张PPT)
专题一 函数与导数
第1讲 三角函数的图象与性质
专题一 函数与导数
考情分析
1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图
象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交
汇命题.
2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下.
内容索引
考点一
考点二
考点三
三角函数的运算
三角函数的图象
三角函数的性质
专题强化练
考点一
三角函数的运算
核心提炼
例1
(1)(2023·南宁模拟)在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且sin α＝ ，则sin(α
＋β)＝________.
由题意，角α与β的顶点在原点，终边构成一条直线，所以β＝α＋π＋2kπ，k∈Z，
所以sin(α＋β)＝sin(2α＋π＋2kπ)＝sin(2α＋π)
＝－sin 2α＝－2sin αcos α，
(2)(2023·巴中模拟)勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案(如图所示)，若小正方形与大正方形的面积之比为 ，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为
√
设大正方形的边长1，直角三角形中最小的角为θ，则中间小正方形的边长为cos θ－sin θ，
二级
结论
(2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知，
sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者知一可求二.
(1)(2023·鹰潭模拟)设sin 23°＝m，则tan 67°等于
跟踪演练1
√
∵sin 23°＝m，
∵sin 23°＝m>0，
∴2sin α＝－cos α，
考点二
三角函数的图象
核心提炼
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤
例2
√
√
(2)(多选)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)等于
√
不妨令ω＝2，
即函数的解析式为
所以排除D，选BC.
规律方法
由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值
规律方法
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势.
跟踪演练2
√
√
又因为点(－1,0)在函数f(x)的图象上，
考点三
三角函数的性质
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
核心提炼
例3
√
√
√
＝3sin 2x的图象，
所以g(x)为奇函数，故C项错误；
规律方法
研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项.
跟踪演练3
√
√
专题强化练
一、单项选择题
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5.(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
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甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，
等价于sin α＝±cos β，
所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，
所以甲不是乙的充分条件；
由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，
平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，
即sin2α＋sin2β＝1，
所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.
√
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所以f(x)∈[－2，－1]，
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所以a＋1≤－1，即a≤－2，故a的最大值为－2.
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8.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为y＝sin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π)，如图2.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3(0A.19 B.20
C.40 D.41
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因为t1＋t2＝2，t2＋t3＝5，t3－t1＝T，
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又|φ|<π，则区间[φ，40π＋φ]内包含了0，π，2π，3π，…，39π或π，2π，3π，…，40π，
所以区间[φ，40π＋φ]内包含kπ(k∈Z)的次数最多为40.
二、多项选择题
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得5tan θ－5tan2θ＝－3－3tan2θ，
即2tan2θ－5tan θ－3＝0，
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√
√
对于A项，f(x)的定义域为R，f(－x)＝|sin(－x)|＋cos|－x|＝|sin x|＋cos|x|＝f(x)，故A正确；
对于B项，由cos(－x)＝cos x得cos|x|＝cos x，
所以f(x)＝|sin x|＋cos x，
又因为f(x＋2π)＝|sin(x＋2π)|＋cos(x＋2π)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，
所以函数f(x)是以2π为周期的周期函数，
所以f(x)＝|sin x|＋cos x
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故函数f(x)的图象如图所示.
则f(π＋2kπ)＝－1，
所以函数f(x)的最小值为－1，故B错误；
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对于C项，
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所以x1＋x2＋x3＋x4＝8π，故D正确.
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三、填空题
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则sin θ>0，cos θ>0，
则cos θ＝2sin θ，
且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，
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由图可知，
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又因为f(0)<0，
16.(2023·重庆模拟)如图，函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f(x)的图象于点D，O(坐标原点)为△ABD
的重心(三条边中线的交点)，其中A(－π，0)，则tan∠ABD＝________.
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因为O为△ABD的重心，且A(－π，0)，
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所以tan∠ABD＝tan(∠ABO＋∠CBO)
专题一 函数与导数
本课结束(共60张PPT)
专题一 函数与导数
培优点5 极化恒等式、奔驰定理与等和线定理
平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单.
内容索引
考点一
考点二
考点三
向量极化恒等式
平面向量“奔驰定理”
等和(高)线定理
专题强化练
考点一
向量极化恒等式
例1
设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，
则AD＝3n.
根据向量的极化恒等式，
(2)(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则 的取值范围是________.
[39,55]
由向量极化恒等式知
又△ABC是边长为8的等边三角形，
规律方法
利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.
跟踪演练1
√
[0,4]
如图，∵PA⊥PB，
∴点P在以AB为直径的半圆上，取CD的中点O，
连接PO，
考点二
平面向量“奔驰定理”
例2
√
由奔驰定理得
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.
√
所以h1＝h2＝h3，
所以点P是△ABC的内心.
规律方法
利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比.
跟踪演练2
√
S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶1∶2，
√
O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，
于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S△BOC∶S△AOC∶S△AOB，
即S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3，
所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.
考点三
等和(高)线定理
等和(高)线
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O点时，k＝0；
(5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
例3
√
规律方法
要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线.
跟踪演练3
√
如图，当点P位于线段BC上时，
(λ＋μ)min＝1，
当点P位于点D时，
(λ＋μ)max＝3.
故1≤λ＋μ≤3.
专题强化练
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根据奔驰定理，
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＝100－64＝36.
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4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时， 的取值
范围是
A.[0,1] B.[0,2]
C.[1,3] D.[0,4]
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当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径.
设内切球的球心为O，
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设M(x，y)，因为MB＝2MA，
化简得(x＋2)2＋y2＝4，
设线段AB的中点为C，
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令x＋y＝k，如图，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，
当点C在A(或B)处时，x＋y最小为1.
故x＋y的取值范围是[1,2].
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则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，故A错误；
故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，
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所以O为△ABC的垂心，故C正确；
故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝5∶12∶13，设内切圆半径为r，
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即BC∶AC∶AB＝5∶12∶13，
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取线段AB的中点E，连接ME，如图，
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由奔驰定理知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5，
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如图，D，E，N分别为BC，AB，AC的中点，P为DE与BN的交点，
设2x＋y＝k，作出定值k为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线，
当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，(共7张PPT)
专题一 函数与导数
规范答题2 三角函数与解三角形
(10分)(2023·新高考全国Ⅰ)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A； [切入点：由A，B，C关系求角C及代换sin B]
(2)设AB＝5，求AB边上的高. [关键点：由A，B，C关系求sin B]
(1)由A，B，C关系求角C→B=π-(A+C)代入化简→tan A→sin A
(2)由角C，sin A→sin B→AC→等面积法求高
思路分析
解 (1)
答题模板 规范答题不丢分
又2sin(A－C)＝
(1分)
sin B＝sin(A＋C)，
(2分)
∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋
cos Asin C，
∴sin Acos C＝3cos Asin C，∴sin A＝3cos A，
①处由A，B，C关系求角C
②处由B与A，C关系代换sin B
③处两角和差公式化简
(5分)
即tan A＝3，(4分)
由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C
(7分)
④处由正切求正弦
⑤处由B与A，C关系求sin B
(8分)
可得
⑥处正弦定理求AC
⑦处等面积法求高
专题一 函数与导数
本课结束