(共83张PPT)
培优点7 隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形
专题一 函数与导数
在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.
内容索引
考点一
考点二
隐圆(阿波罗尼斯圆)
蒙日圆
考点三
阿基米德三角形
专题强化练
考点一
隐圆(阿波罗尼斯圆)
核心提炼
例1
(多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A，B为平面上相异的两点，则所有满足： ＝λ(λ>0，且λ≠1)的点P的轨迹是圆，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(4,0)，动点P满足 ，则下列关于动点P的结论正确的是
A.点P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0
B.△APB面积的最大值为6
C.在x轴上必存在异于A，B的两定点M，N，使得＝
√
√
√
对于选项A，设P(x，y)，
化简得x2＋y2＋8x＝0，故A正确；
对于选项B，由选项A可知，
点P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0，
即(x＋4)2＋y2＝16，所以点P的轨迹是以(－4,0)为圆心，4为半径的圆，
又|AB|＝6，且点A，B在直径所在直线上，
故当点P到圆的直径所在直线的距离最大时，△APB的面积取得最大值，
因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即△APB的高的最大值为4，
又点P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0，
故存在异于A，B的两定点M(－6,0)，N(－12,0)，
所以2|PA|＋|PQ|＝|PB|＋|PQ|，
又点P在圆x2＋y2＋8x＝0上，如图所示，
所以当P，Q，B三点共线时，2|PA|＋|PQ|取得最小值，此时(2|PA|＋|PQ|)min＝|BQ|
规律方法
对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹.
跟踪演练1
√
√
√
对于A选项，设C(x，y).
所以x2＋y2＋4x＝0，即(x＋2)2＋y2＝4，
动点C的轨迹为以N(－2,0)为圆心，2为半径的圆，故A正确；
对于B选项，因为直线l过定点M(－1,1)，而点M(－1,1)在圆N内，所以直线l与圆N相交，故B正确；
对于C选项，当直线l与NM垂直时，动点C到直线l的距离最大，且最大值为r＋|NM|＝2＋ ，故C错误；
对于D选项，记圆心N到直线l的距离为d，
因为|PQ|2＝4(r2－d2)＝8.
考点二
蒙日圆
在椭圆 ＝1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一
个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.
设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点.
性质1 PA⊥PB.
核心提炼
性质4 PO平分椭圆的切点弦AB.
性质5 延长PA，PB交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.
(2023·合肥模拟)已知A是圆x2＋y2＝4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆 ＋y2＝1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.
(1)若A(－2,0)，求直线l1，l2的方程；
例2
设直线的方程为y＝k(x＋2)，
可得(1＋3k2)x2＋12k2x＋12k2－3＝0，
由Δ＝0，可得k2－1＝0，
设l1，l2的斜率分别为k1，k2，
∴k1＝－1，k2＝1，
∴直线l1，l2的方程分别为y＝－x－2，y＝x＋2.
(2)①求证：对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；
当直线l1，l2的斜率有一条不存在时，不妨设l1的斜率不存在，
∴l2的方程为y＝1(或y＝－1)，l1⊥l2成立，
当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A(m，n)且m2＋n2＝4，
设方程为y＝k(x－m)＋n，代入椭圆方程，
可得(1＋3k2)x2＋6k(n－km)x＋3(n－km)2－3＝0，
由Δ＝0化简整理得(3－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0，
∵m2＋n2＝4，
∴(3－m2)k2＋2mnk＋m2－3＝0，
设l1，l2的斜率分别为k1，k2，
∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2成立，
综上，对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立.
记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，
∵MA⊥NA，∴MN是圆的直径，
②求△AMN面积的取值范围.
规律方法
蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广
双曲线 ＝1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2＋y2＝a2－b2(只有当a>b时才有蒙日圆).
抛物线y2＝2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x＝ (可以看作半径无穷大的圆).
定义椭圆C： ＝1(a>b>0)的“蒙日圆”的方程为x2＋y2＝a2＋b2，已知椭圆C的长轴长为4，离心率为e＝ .
(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
跟踪演练2
∴c＝1，∴b2＝3，
∴“蒙日圆”E的方程为x2＋y2＝4＋3＝7，即x2＋y2＝7.
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆C的一条切线MA，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点D，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为k1，k2，证明：k1·k2为定值.
当切线MA的斜率存在且不为零时，设切线MA的方程为y＝kx＋m，
消去y得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－12＝0，
∴Δ＝64m2k2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，
∴m2＝3＋4k2，
消去y得(1＋k2)x2＋2mkx＋m2－7＝0，
∴Δ＝4m2k2－4(1＋k2)(m2－7)＝16＋12k2>0，
设M(x1，y1)，D(x2，y2)，
∵m2＝3＋4k2，
考点三
阿基米德三角形
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.
性质1 阿基米德三角形底边上的中线MQ平行于抛物线的轴.
核心提炼
性质2 若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线.
性质3 抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹.
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线l方程为：ax
＋by＋c＝0，则定点的坐标为C .
性质5 底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为 .
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为p2.
(多选)(2023·南平模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A，B两点，M为AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P.下面关于△PAB的描述正确的是
A.点P必在抛物线的准线上
B.AP⊥PB
C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则△PAB的面积S的最小值为
D.PF⊥AB
例3
√
√
√
先证明出抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x0，y0)处的切线方程为y0y＝px＋px0.
证明如下：
可得2y0y＝y2＋2px0，
所以抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x0，y0)处的切线方程为
y0y＝px＋px0.
如图所示.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋ ，
消去x得y2－2mpy－p2＝0，
由根与系数的关系可得y1y2＝－p2，y1＋y2＝2mp，
对于A，抛物线y2＝2px在点A处的切线方程为y1y＝px＋px1，
即点P在抛物线的准线上，A正确；
所以AP⊥PB，B正确；
对于D，当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与x轴的交点，此时PF⊥AB；
所以kAB·kPF＝－1，则PF⊥AB.
综上，PF⊥AB，D正确；
规律方法
(1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质；
(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆.
已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上的点的距离的最小值为4.
(1)求p；
跟踪演练3
解得p＝2.
(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
同理可知，直线PB的方程为x2x－2y2－2y＝0，
由于点P为这两条直线的公共点，
∴点A，B的坐标满足方程x0x－2y－2y0＝0，
∴直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0，
可得x2－2x0x＋4y0＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，
＝ ，
由已知可得－5≤y0≤－3，
专题强化练
A.1 B.2 C.3 D.4
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根据蒙日圆的定义，得a＋2＋a＝6，解得a＝2.
2.(2023·烟台模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB的面积S的最小值为
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由题知，弦AB过抛物线焦点，则由“阿基米德三角形”性质知，点P在抛物线的准线上，△PAB的面积的最小值为S＝p2＝4.
3.已知在平面直角坐标系Oxy中，A(－2,0)，动点M满足|MA|＝ |MO|，得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k，直线l：y＝k(x－1)＋b与圆C恒有公共点，则b的取值范围是
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直线l：y＝k(x－1)＋b恒过定点(1，b)，
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要使对任意实数k，直线l：y＝k(x－1)＋b与圆C恒有公共点，
4.抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：
①P点必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.
若经过抛物线y2＝4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为
A.x－2y－1＝0 B.2x＋y－2＝0
C.x＋2y－1＝0 D.2x－y－2＝0
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设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1，因为△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点P(－1,4)，
又因为PF⊥AB，
即x－2y－1＝0.
5.(多选)(2023·廊坊模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形.抛物线x2＝2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.给出如下结论，其中正确的为
A.若弦AB过焦点，则△ABP为直角三角形且∠APB＝90°
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C.△PAB的边AB所在的直线方程为(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0
D.△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)
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设直线AB的斜率为
化简得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故C正确.
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对于A，过Q(a，b)可作椭圆的两条互相垂直的切线x＝a，y＝b，
∴Q(a，b)在蒙日圆上，
∴蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，
∴C的蒙日圆方程为x2＋y2＝3b2，A正确；
对于B，由l方程知l过P(b，a)，又P满足蒙日圆方程，
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对于C，∵A在椭圆上，
∴|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴d－|AF2|＝d－(2a－|AF1|)＝d＋|AF1|－2a；
当F1A⊥l时，d＋|AF1|取得最小值，最小值为F1到直线l的距离，
对于D，当矩形MNGH的四条边均与C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，
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∴矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH的长和宽分别为x，y，则x2＋y2＝12b2，
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7.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 .已知A(－2,1)，B(2,1)为抛物线C：x2＝4y上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为
______；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为______.
－1
所以在A点处抛物线C的切线的斜率为－1，
切线方程为y－1＝－(x＋2)，即y＝－x－1，
同理在B点处抛物线C的切线方程为y＝x－1，
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所以两切线的交点为P(0，－1)，
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8.(2023·赣州模拟)已知两动点A，B在椭圆C： ＋y2＝1(a>1)上，动点P在直线3x＋4y－10＝0上，若∠APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范
围为__________.
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根据题意可得，圆x2＋y2＝a2＋1上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直，
因此当直线 3x＋4y－10＝0与圆x2＋y2＝a2＋1相离时，∠APB恒为锐角，
解得1
9.(2023·开封模拟)如图，过点P(m，n)作抛物线C：x2＝2py(p>0)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，动点Q为抛物线C上在A，B之间的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M，N.
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b，
消去y并整理得x2－2pkx－2pb＝0，有x1x2＝－2pb，
令抛物线C：x2＝2py在点A处切线方程为y－y1＝t(x－x1)，
消去y并整理得x2－2ptx＋2ptx1－2py1＝0，
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(2)若分别记△PMN，△ABQ的面积为S1，S2，求 的值.
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(1)求椭圆的标准方程；
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(2)如图，P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线与椭圆相切于A，B两点.
①若直线PA的斜率为2，求直线PB的斜率；
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设P(x0，y0)，
则过P的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，
化简得(1＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－4＝0，
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设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
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②作PQ⊥AB于点Q，求证：|QF1|＋|QF2|是定值.
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当切线PA，PB的斜率都存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
切线PA，PB的方程为y－yi＝ki(x－xi)，i＝1,2并由①得
又点A，B在椭圆上，
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由PQ⊥AB得直线PQ方程为
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当切线PA，PB的斜率有一个不存在时，如PB斜率不存在，则B(2,0)，P(2,1)，A(0,1)，直线AB的方程为y＝ x＋1，
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若B(－2,0)，同理可得.(共85张PPT)
专题一 函数与导数
第1讲 直线与圆
专题一 函数与导数
1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、
填空题的形式出现，中低难度.
2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度.
考情分析
内容索引
考点一
考点二
考点三
直线的方程
圆的方程
直线、圆的位置关系
专题强化练
考点一
直线的方程
1.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
核心提炼
例1
(1)(多选)已知直线l的倾斜角等于30°，且l经过点(0,1)，则下列结论中正确的是
√
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(2)当点M(2，－3)到直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0的距离取得最大值时，m等于
将直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0转化为(4x－y＋2)m－x＋y＋1＝0，
所以直线恒过定点N(－1，－2)，
当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，
易错提醒
解决直线方程问题的三个注意点
(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
(2)要注意直线方程每种形式的局限性.
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.
(1)(多选)下列说法错误的是
A.过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5
B.直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)
C.经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D.过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－
y1)(x－x1)
跟踪演练1
√
√
对于A中，当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，
可设直线方程为y＝kx，又直线过点A(－2，－3)，
对于B中，直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0可化为(2x＋y－5)m＋2x－3y＋7＝0，
即直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)，所以B正确；
对于D中，由两点(x1，y1)，(x2，y2)，
当x1＝x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为x＝x1或x＝x2，适合上式，
所以过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，所以D正确.
3
因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0平行，
所以直线l2为2x－4y－6＝0，
直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)化为2x－4y＋2m＝0(m>0)，
得|2m＋6|＝20，因为m>0，
所以2m＋6＝20，解得m＝7，所以m＋n＝7－4＝3.
考点二
圆的方程
1.圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2.圆的一般方程
核心提炼
(1)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0对称，则圆C2的标准方程为
A.(x＋4)2＋(y＋2)2＝4 B.(x－4)2＋(y－2)2＝4
C.(x＋2)2＋(y＋4)2＝4 D.(x－2)2＋(y－4)2＝4
例2
√
由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径为2，
设圆心C1(0,0)关于直线2x＋y＋5＝0的对称点为C2(a，b)，
所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.
(2)(2023·泉州模拟)已知圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0关于直线l：(a＋1)x－ay－1＝0(a≠－1)对称，l与C交于A，B两点，设坐标原点为O，则|OA|＋|OB|的最大值等于
A.2 B.4 C.8 D.16
√
圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0，
直线l：(a＋1)x－ay－1＝0，因为a≠－1，所以直线l的斜率不为0，
又a(x－y)＋(x－1)＝0，
即直线l恒过定点D(1,1)，
又圆C关于直线l对称，所以圆心C在直线l上，
显然(0－1)2＋(0－1)2＝2，即圆C过坐标原点O(0,0)，
因为l与C交于A，B两点，即A，B为直径的两个端点，如图，
所以∠AOB＝90°，
即|OA|·|OB|≤4，当且仅当|OA|＝|OB|＝2时取等号，
所以(|OA|＋|OB|)2＝|OA|2＋|OB|2＋2|OA|·|OB|＝8＋2|OA|·|OB|≤16，
即|OA|＋|OB|≤4，当且仅当|OA|＝|OB|＝2时取等号，
即|OA|＋|OB|的最大值等于4.
规律方法
解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
(1)(2023·龙岩质检)写出一个与圆x2＋y2＝1外切，并与直线y＝ x
及y轴都相切的圆的方程__________________________________________
__________________________________________________________________________________________.
跟踪演练2
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为与圆x2＋y2＝1外切，
联立得3a2＝2|a|＋1，
(2)(2023·福州模拟)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1关于直线ax＋2y＋1＝0对称的圆记为⊙O2，点E，F分别为⊙O1，⊙O2上的动点，EF长度的最小值为4，则a等于
√
由题易知两圆不可能相交或相切，如图，
当EF所在直线过两圆圆心且与对称轴垂直，
点E，F又接近于对称轴时，EF长度最小，
此时圆心O1到对称轴的距离为4，
考点三
直线、圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
其判断方法为：
(1)点线距离法.
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋
核心提炼
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离 Δ<0，直线与圆相切 Δ＝0，直线与圆相交 Δ>0.
2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
考向1 直线与圆的位置关系
例3
(1)(多选)(2023·阳泉模拟)已知直线l：y＝kx＋2k＋2(k∈R)与圆C：x2＋y2－2y－8＝0.则下列说法正确的是
A.直线l过定点(－2,2)
B.直线l与圆C相离
C.圆心C到直线l距离的最大值是
D.直线l被圆C截得的弦长的最小值为4
√
√
对于A，因为l：y＝kx＋2k＋2(k∈R)，即y＝k(x＋2)＋2，
令x＋2＝0，即x＝－2，得y＝2，所以直线l过定点(－2,2)，故A正确；
对于B，因为(－2)2＋22－2×2－8<0，
所以定点(－2,2)在圆C：x2＋y2－2y－8＝0的内部，所以直线l与圆C相交，故B错误；
对于C，如图，因为圆C：x2＋y2－2y－8＝0，
可化为x2＋(y－1)2＝9，圆心C(0,1)，
当圆心C与定点(－2,2)的连线垂直于直线l时，
圆心C到直线l的距离取得最大值，
(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝
4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为 ”的m的一个值为
___________________________________.
设直线x－my＋1＝0为直线l，点C到直线l的距离为d，
(1)(2023·淄博模拟)“a≥ ”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－
a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
考向2 圆与圆的位置关系
例4
√
圆C1：x2＋y2＝4的圆心C1(0,0)，半径r1＝2，
圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1的圆心C2(a，－a)，半径r2＝1，
(2)(多选)(2023·福建统考)已知⊙O：x2＋y2＝1，⊙O1：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是
A.若r＝2，两圆的公切线过点(－2,0)
B.若r＝2，两圆的相交弦长为
C.若两圆的一个交点为M，分别过点M的两圆的切线相互垂直，则r＝3
D.当r>3时，两圆的位置关系为内含
√
√
当r>3时，r－1>2＝|OO1|，故两圆的位置关系是内含，D正确.
规律方法
直线与圆相切问题的解题策略
当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.
(1)(2023·邯郸模拟)已知直线l：x－y＋5＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0交于A，B两点，若M是圆上的一动点，则△MAB面积的最大值是_________.
跟踪演练3
圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9，则圆C的圆心为C(1,2)，半径r＝3，
(2)(多选)(2023·辽阳模拟)已知⊙E：(x－2)2＋(y－1)2＝4，过点P(5,5)作圆E的切线，切点分别为M，N，则下列命题中真命题是
A.|PM|＝
B.直线MN的方程为3x＋4y－14＝0
C.圆x2＋y2＝1与⊙E共有4条公切线
D.若过点P的直线与⊙E交于G，H两点，则当△EHG面积最大时，|GH|
＝2
√
√
√
因为圆E的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
所以圆心E的坐标为(2,1)，半径为2，如图，
所以|EM|＝|EN|＝2，
由已知得PM⊥ME，PN⊥NE，
因为PM⊥ME，PN⊥NE，
所以点P，M，E，N四点共圆，且圆心为PE的中点，
即x2－7x＋y2－6y＋15＝0，
又圆E的方程可化为x2－4x＋y2－2y＋1＝0，
所以圆E与圆F的公共弦方程为3x＋4y－14＝0，
故直线MN的方程为3x＋4y－14＝0，B正确；
圆x2＋y2＝1的圆心O的坐标为(0,0)，半径为1，
所以圆x2＋y2＝1与圆E相交，故两圆只有2条公切线，C错误；
如图，设∠HEG＝θ，则θ∈(0，π)，
专题强化练
一、单项选择题
1.(2023·丹东模拟)若直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a等于
A.－2 B.1 C.－2或1 D.－1或2
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√
由题意知，直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，
∴1×2＝a(a＋1)，解得a＝－2或a＝1.
当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2.
当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合.
综上所述，a＝－2.
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2.(2023·蚌埠质检)直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1,1)，
将点(－1,1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，
可知点(－1,1)在圆内，
所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交.
√
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√
3.(2023·湖北星云联盟模拟)过三点A(1,0)，B(2,1)，C(2，－3)的圆与直线x－2y－1＝0交于M，N两点，则|MN|等于
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依题意，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，
则圆的方程为x2＋y2－6x＋2y＋5＝0，
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4.(2023·滨州模拟)已知直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则mn的最大值为
√
由于直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，
5.(2023·洛阳模拟)已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1与圆C2：x2＋(y－4)2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为
A.5 B.3 C.2 D.1
√
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16
由圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1，可得圆心C1(4,1)，半
径r1＝1，
圆C2：x2＋(y－4)2＝1，可得圆心C2(0,4)，半径r2＝1，
如图，|PM|≥|PC1|－r1，|PN|≥|PC2|－r2，
所以|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－r1－r2＝|PC1|＋|PC2|－2≥|C1C2|－2＝3，
当点M，N，C1，C2，P共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，
故|PM|＋|PN|的最小值为3.
6.(2023·信阳模拟)已知圆C：x2＋y2＋2x－3＝0与过原点O的直线l：y＝kx(k≠0)相交于A，B两点，点P(m，0)为x轴上一点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝0，则实数m的值为
A.－3 B.－2 C.2 D.3
√
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l的方程为y＝kx，
代入圆C的方程，得(k2＋1)x2＋2x－3＝0，
因为k≠0，所以2m－6＝0，解得m＝3.
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7.(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是
√
方法一 令x－y＝k，则x＝k＋y，
代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，
因为存在实数y，则Δ≥0，
即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，
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故x－y的最大值是
方法二 由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
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8.已知圆O：x2＋y2＝1，点P在直线l：x－y－2 ＝0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当∠APB最大时，记劣弧 及PA，PB所围成的平面图形的面积为S，则
A.2C.1√
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如图所示，
圆O：x2＋y2＝1的圆心O的坐标为(0,0)，半径为1，
所以当|OP|最小时，∠OPB最大，即∠APB最大，此时OP垂直于直线l，
从而四边形OAPB的面积为
设∠AOP＝θ，则∠AOB＝2θ，
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二、多项选择题
9.下列说法正确的是
A.直线y＝ax－2a＋4(a∈R)必过定点(2,4)
B.直线y＋1＝3x在y轴上的截距为1
C.直线 x＋3y＋5＝0的倾斜角为120°
D.过点(－2,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋1＝0
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√
对于A选项，直线方程可化为y＝a(x－2)＋4，
所以直线y＝ax－2a＋4(a∈R)必过定点(2,4)，A正确；
对于B选项，直线方程可化为y＝3x－1，故直线y＋1＝3x在y轴上的截距为－1，B错误；
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对于D选项，过点(－2,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程可设为2x＋y＋c＝0，
则2×(－2)＋3＋c＝0，可得c＝1，
所以过点(－2,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋1＝0，D正确.
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10.(2023·湖南联考)已知直线l1：y＝kx＋1，l2：y＝mx＋2，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝6，下列说法正确的是
A.若l1经过圆心C，则k＝1
B.直线l2与圆C相离
C.若l1∥l2，且它们之间的距离为 ，则k＝±2
D.若k＝－1，l1与圆C相交于M，N，则|MN|＝2
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对于A，因为圆心C(1,2)在直线y＝kx＋1上，所以2＝k＋1，解得k＝1，A正确；
对于B，因为直线l2：y＝mx＋2恒过定点(0,2)，且(0－1)2＋(2－2)2<6，
即点(0,2)在圆C内，所以l2与圆C相交，B错误；
对于C，因为l1∥l2，则m＝k，
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对于D，当k＝－1时，直线l1：y＝－x＋1，即x＋y－1＝0，
11.如图所示，该曲线W是由4个圆：(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝1，x2＋(y＋1)2＝1，x2＋(y－1)2＝1的一部分所构成，则下列叙述正确的是
A.曲线W围成的封闭图形的面积为4＋2π
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√
√
曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为2×2＋2×π×12＝4＋2π，故A正确；
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12.已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法正确的是
A.圆O与圆C有四条公切线
C.x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线
D.过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得
∠MQN＝90°
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对于C选项，显然直线x－y＝2与直线OC平行，
因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC：y＝x，
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三、填空题
13.(2023·锦州模拟)写出过点P(2,4)且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的一条直线的方程________________________________________.
x＝2或3x－4y＋10＝0(写出其中一个即可)
圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心C(1,2)，半径r＝1，
当直线斜率不存在时，验证知x＝2满足条件；
当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)＋4，即kx－y－2k＋4＝0，
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综上所述，直线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0.
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14.(2023·潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－4xcos θ－4ysin θ＝0，与圆C总相切的圆D的方程是____________.
x2＋y2＝16
圆C的标准方程为(x－2cos θ)2＋(y－2sin θ)2＝4，则圆C的圆心为(2cos θ，
2sin θ)，半径为2，由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，故圆C上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D的方程是x2＋y2＝16.
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15.(2023·烟台模拟)已知实数a，b满足a2＋b2－4a＋3＝0，则a2＋(b＋2)2的最大值为________.
方程a2＋b2－4a＋3＝0整理得(a－2)2＋b2＝1，
设点A(a，b)，即点A是圆C：(x－2)2＋y2＝1上一点，
又点B(0，－2)在圆C：(x－2)2＋y2＝1外，
1
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16.(2023·葫芦岛模拟)自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，
依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位
系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作
下，自动安全地操作机动车辆.某自动驾驶讯车在车前O
点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域OAB.
如图所示，在平面直角坐标系中，O(0,0)，直线OA，OB的方程分别是y
＝ 现有一个圆形物体的圆心为C，半径为1 m，圆C与OA，
OB分别相切于点M，N，则|MN|＝________ m.
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如图，连接MC，NC，MN，由题意可设C(a，0)(a>0)，
又圆C与OA相切，
由题意可得MC⊥OM，NC⊥ON，
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同理S△NOC＝1，所以S四边形MONC＝2，又MN⊥OC，
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16(共87张PPT)
微重点11 圆锥曲线中二级结论的应用
专题一 函数与导数
圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式.法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，理解各结论之间的联系与区别，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.
内容索引
考点一
考点二
焦点弦问题
等角的性质
考点三
切线、切点弦方程
专题强化练
考点一
焦点弦问题
1.已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线 l过左焦点F1与椭圆(焦点在x轴上)交于A，B两点，设 ∠AF1F2＝α，e为椭圆的离心率，p为椭圆
的焦点到对应准线的距离，则p＝
核心提炼
(3)焦点三角形的面积公式：P为椭圆上异于长轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则 ＝b2·tan .
2.已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，直线l过左焦点F1与双曲线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设 ∠AF1F2＝α，e为双曲线离心率，p为双曲线的焦点到对应准线的距离，则p＝
图1 图2
图1
图2
(3)焦点三角形的面积公式：P为双曲线上异于实轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则 ＝
3.已知直线l过焦点F与抛物线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设 ∠AFx＝α，e为抛物线离心率，p为抛物线的焦点到对应准线的距离.
例1
(2023·滨州模拟)过椭圆T: ＋y2＝1上的焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，则|AB|＋|CD|的取值范围是
√
方法一 不妨设直线l1的倾斜角小于直线l2的倾斜角，则直线l1的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为 ＋θ，
所以 0≤sin 2θ≤1，所以8≤8＋sin22θ≤9，
方法二 当直线l1，l2有一条斜率不存在时，不妨设直线l1的斜率不存在，则直线l2的斜率为0，
不妨设直线l1，l2都过椭圆的右焦点F(1,0)，
可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
Δ＝(－4k2)2－4(1＋2k2)(2k2－2)＝8k2＋8>0，
令1＋k2＝t，因为k≠0，所以t>1，
易错提醒
要注意公式中α的含义.
(2)公式中的加减符号易混淆.
(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样.
已知双曲线x2－y2＝2，点F1，F2为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为
跟踪演练1
√
考点二
等角的性质
核心提炼
图1
图2
图3
3.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线对称轴上任意一点N(a,0)的一条弦的端点A，B与对应点G(－a,0)的连线所成角被对称轴平分，即∠OGA＝∠OGB(如图3).
(2023·洛阳模拟)在平面直角坐标系Oxy中，曲线C：x2＝6y与直线l：y＝kx＋3交于M，N两点.
(1)当1例2
将y＝kx＋3代入x2＝6y，得x2－6kx－18＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则Δ＝36k2＋72>0，
x1＋x2＝6k，x1x2＝－18，
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求以线段OP为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由.
存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
当b＝－3时，有k1＋k2＝0，
则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－3)符合题意.
规律方法
根据等角性质，存在某定点满足条件，快速算出此点的坐标，这给算出准确答案提供了依据.
(1)求椭圆C的方程；
跟踪演练2
∴a2＝2c2＝b2＋c2，∴b2＝c2，a2＝2b2，
解得b2＝4，a2＝8，
(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA＝∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋1，
得(2k2＋1)x2＋4kx－6＝0，
Δ＝16k2＋24(2k2＋1)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
假设存在定点Q(0，t)(t≠1)符合题意，
∵∠PQA＝∠PQB，∴kQA＝－kQB，
∵上式对任意实数k恒等于零，
∴4－t＝0，即t＝4，∴Q(0,4)，
当直线l的斜率不存在时，A，B(不妨设点A在x轴上方)两点分别为椭圆的上下顶点(0,2)，(0，－2)，
显然此时∠PQA＝∠PQB，
综上，存在定点Q(0,4)满足题意.
考点三
切线、切点弦方程
核心提炼
例3
(1)证明：Q是线段MN的中点；
得3x2＋6x－25＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两根，故x1＋x2＝－2.
故Q(－1，－1)是线段MN的中点.
(2)分别过点M，N作双曲线的切线l1，l2，证明：三条直线l，l1，l2相交于同一点；
(3)设P为直线l上一动点，过P作双曲线的切线PA，PB，切点分别为A，B，证明：点Q在直线AB上.
设P(x0，y0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，
则PA，PB的方程分别为
显然，无论x0取什么值(即无论P为直线l上哪一点)，点Q(－1，－1)都在直线AB上.
规律方法
运用联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得事半功倍的效果.
(1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标；
跟踪演练3
又因为a2＝b2＋c2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，
因为点P在直线PA，PB上，
(2)记△AFM，△BFM的面积分别为S1和S2，当|S1－S2|取最大值时，求直线AB的方程.
设直线AB的方程为x＝ty＋2，
得(t2＋3)y2＋4ty－2＝0，
专题强化练
A.1 B.2 C.4 D.8
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√
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根据焦点三角形面积公式可知，
结合c2＝a2＋b2，解得a＝1.
2.已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－1，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若直线l的斜率为1，则弦AB的长为
A.4 B.6 C.7 D.8
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√
∵k＝tan θ＝1，
3.(2023·齐齐哈尔模拟)已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别
为F1，F2.若椭圆C上存在一点M，使得|F1F2|是|MF1|与|MF2|的等比中项，则椭圆C的离心率的取值范围是
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√
设椭圆C上存在一点M(m，n)，由椭圆的第二定义，
可得|MF1|＝a＋em，|MF2|＝a－em，
由|F1F2|是|MF1|与|MF2|的等比中项，
可得|F1F2|2＝|MF1||MF2|，即4c2＝(a＋em)(a－em)，即e2m2＝a2－4c2，
因为0≤m2≤a2，
所以0≤e2m2≤a2e2,0≤a2－4c2≤a2e2，
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对于C，当点A为短轴的一个顶点时，∠F1AF2最大，
所以∠F1AF2为锐角，
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6.(多选)(2023·襄阳模拟)如图，过双曲线C：x2－ ＝1(b>0)右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A，B两点，交x轴于点D，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是
A.|AB|min＝2b
B.S△OAP＝S△OBP
C.S△AOB＝2b
√
则双曲线C的离心率e＝2
√
√
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设点P(x0，y0)，A(x1，y1)是切线与渐近线在第一象限的交点，B(x2，y2)是切线与渐近线在第四象限的交点，
双曲线的渐近线方程为y＝±bx，
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又因为x0≥1，
即|AB|min＝2b，故A项正确；
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所以点P(x0，y0)是A，B的中点，
所以S△OAP＝S△OBP，故B项正确；
对于B项，由A项知，
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则S△AOB＝S△AOD＋S△BOD
故C项错误；
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所以2a＝|PF1|－|PF2|＝4－2＝2，解得a＝1，
解得c2＝4，所以c＝2，
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方法一 设l1，l2的倾斜角分别为α，β，
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方法二 设直线AB的方程为y＝k1(x＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为______.
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方法一 设|AF1|＝k，|BF1|＝7k，根据双曲线定义|AF2|＝k＋2a，|BF2|＝7k＋2a，
在△AF1F2中，由余弦定理可得(k＋2a)2＝(2c)2＋k2－2·2c·kcos 60°，
在△BF1F2中，由余弦定理可得(7k＋2a)2＝(7k)2＋(2c)2－2·2c·7kcos 120°，
①
②
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(1)求椭圆C的方程；
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(2)在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有∠OMA＝∠OMB，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由.
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由(1)知，F(1,0)，假定存在点M(t,0)满足条件，当直线与x轴不重合时，设l的方程为x＝my＋1，
消去x并整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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因为∠OMA＝∠OMB，则直线MA，MB的斜率互为相反数，
整理得y1(my2＋1－t)＋y2(my1＋1－t)＝0，
即2my1y2＋(1－t)(y1＋y2)＝0，
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当直线l与x轴重合时，点A，B为椭圆长轴的两个端点，点M(2,0)也满足∠OMA＝∠OMB，
综上，存在点M满足条件，点M的坐标为(2,0).
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(1)求椭圆E的方程；
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(2)M是直线x＝4上任意一点，过M作椭圆E的两条切线MA，MB(A，B为切点).
①求证：MF2⊥AB；
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设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(4，t).
又直线AM，BM过点M(4，t)，
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故点A(xA，yA)，B(xB，yB)在直线3x＋ty＝3上，
故直线AB方程为3x＋ty＝3，
当t＝0，即M(4,0)时，直线AB方程为x＝1，则MF2⊥AB.
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②求△MAB面积的最小值.
将直线AB方程3x＋ty＝3与椭圆E的方程联立得(t2＋12)y2－6ty－27＝0，
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∵其在m∈[3，＋∞)上单调递增，(共76张PPT)
微重点10 离心率的范围问题
专题一 函数与导数
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
内容索引
考点一
考点二
利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
考点三
利用几何图形的性质求离心率的范围
专题强化练
考点一
利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1
(1)(2023·三亚模拟)已知F是椭圆 ＝1(a>b>0)的一个焦点，若过原点的直线与椭圆交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是
√
设椭圆左、右焦点分别为F1，F，连接F1A，F1B，
由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF1 为平行四边形，
且∠AFB＝120°，∠FAF1＝60°，
在△AFF1中，
＝(|AF|＋|AF1|)2－3|AF|·|AF1|，
∴(|AF|＋|AF1|)2－|FF1|2＝3|AF|·|AF1|
当且仅当|AF|＝|AF1|时等号成立，
又∵椭圆的离心率e∈(0,1)，
(2)(2023·咸宁模拟)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝24，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则3e1e2的取值范围是
√
设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，
|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，点P在第一象限，
∴|PF2|＝|F1F2|，|PF1|>|PF2|，
|PF2|＋|F1F2|>|PF1|，
即r1＝24，r2＝2c，且r1>r2,2r2>r1，
∴2c<24,4c>24，解得6在双曲线中，|PF1|－|PF2|＝2a2，
在椭圆中，|PF1|＋|PF2|＝2a1，
∵6∴3e1e2的取值范围为(1，＋∞).
规律方法
此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.
(2023·亳州模拟)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为__________.
跟踪演练1
双曲线C与直线y＝x有交点，
双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则P点在双曲线右支上，
设PF1与y轴交于点Q，
由对称性得|QF1|＝|QF2|，
所以∠QF1F2＝∠QF2F1，
所以∠PF2Q＝∠PF2F1－∠QF2F1
＝2∠PF1F2＝∠PQF2，
所以|PQ|＝|PF2|，
所以|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，
由|QF1|>|OF1|得2a>c，
又在△PF1F2中，∠PF1F2＋∠PF2F1＝4∠PF1F2<180°，
∠PF1F2<45°，
考点二
利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
(1)(2023·张掖模拟)若椭圆E：x2＋ ＝1(0例2
√
设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，
椭圆E上存在点P满足|OP|＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与椭圆有交点，得c≥b，
所以c2≥b2＝a2－c2，
√
∴P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，
由双曲线的几何性质，知|PF2|>c－a，
规律方法
利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.
设M是椭圆C： ＝1(a>b>0)的上顶点，P是C上的一个动点.当P运动到下顶点时，|PM|取得最大值，则C的离心率的取值范围是
跟踪演练2
√
设P(x0，y0)，M(0，b)，
由题意知，当y0＝－b时，|PM|2取得最大值，
考点三
利用几何图形的性质求离心率的范围
(1)(2023·榆林模拟)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若cos∠PAQ≥－ ，则该双曲线离心率的取值范围是
例3
√
以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，
解得(不妨设)P(a，b)，Q(－a，－b)，A(－a,0)，
√
设双曲线上的点P(x0，y0)，
所以|OP|2≥a2，
规律方法
利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系.
跟踪演练3
√
在△F1PF2中，
专题强化练
1.若椭圆上存在点P，使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2∶1，则该椭圆的离心率e的取值范围是
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由题可设点P到椭圆两个焦点的距离分别为2m，m，
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√
由双曲线定义得||AF1|－|AF2||＝2a，
∵|AF1|＝2|AF2|，
∴|AF2|＝2a，|AF1|＝4a，
在△AF1F2中，由余弦定理得
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则|PB|2＝x2＋(y－b)2
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10
依题意得|PB|2≥b2恒成立，
化简整理得c4－3a2c2＋a4≤0，即e4－3e2＋1≤0，又e>1，
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√
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10
如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，
由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，
所以四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c，
设|AF′|＝n，|AF|＝m，
在Rt△ABF中，|BF|＝n，m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2，
可得mn＝2b2，
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结合c2＝a2－b2，
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√
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如图，过点F2作渐近线的垂线，垂足为E，连接MF2，
由双曲线的定义可得|MF1|－|MF2|＝2a，故|MF1|＝|MF2|＋2a，
所以|MD|＋|MF1|＝|MD|＋|MF2|＋2a≥|EF2|＋2a＝b＋2a，
即|MD|＋|MF1|的最小值为2a＋b，
因为|MD|>|F1F2|－|MF1|恒成立，
所以|MD|＋|MF1|>|F1F2|恒成立，即2a＋b>2c恒成立，
1
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所以b>2c－2a，即b2>4c2＋4a2－8ac，
即c2－a2>4c2＋4a2－8ac，
所以3c2＋5a2－8ac<0，
1
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√
√
√
∴2c2＝|PO|2－c2，
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当点P为短轴端点时，
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即a2－c2≤3c2≤a2，
∴△PF1F2为等边三角形，故C错误；
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又
＝|OP||OF2|sin∠POF2，
∴ ＝|OP||OF2|sin∠POF2
1
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∴|PF2|2＝|OP|2＋|OF2|2－2|OP||OF2|·cos∠POF2＝2c2，
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√
√
√
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设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∠F1MF2＝θ，
不妨设点M是C1，C2在第一象限内的交点，则m>n，
m＋n＝2a1，m－n＝2a2，
所以m＝a1＋a2，n＝a1－a2，
在△F1MF2中，由余弦定理可得
|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos θ，
即4c2＝m2＋n2－2mncos θ，
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一方面，4c2＝m2＋n2－2mncos θ＝(m＋n)2－2mn(1＋cos θ)
此时△F1MF2面积为
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另一方面，4c2＝m2＋n2－2mncos θ
＝(m－n)2＋2mn(1－cos θ)
此时△F1MF2面积为
1
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所以S＝b1b2，故A正确；
对于B，因为m>n且m＋n＝2a1，
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由4c2＝m2＋n2－2mncos θ得
4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＋(a1＋a2)(a1－a2)，
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10
所以(e1e2)2∈(1，＋∞)，e1e2∈(1，＋∞)，故C错误；
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________.
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10
设△F1PF2内切圆C与△F1PF2的边F1F2，PF2，PF1分别相切于点M，N，Q，则|CM|＝|CN|＝|CQ|＝r，
且|F1M|＝|F1Q|，|F2M|＝|F2N|，|PQ|＝|PN|，
所以Rt△CMF2≌Rt△CNF2，
1
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3
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10
由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|QF1|－|NF2|＝2a，
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过点P作PD⊥x轴于点D，设P(xP，yP)，
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10(共90张PPT)
专题一 函数与导数
第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系
专题一 函数与导数
直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等.
考情分析
内容索引
考点一
考点二
考点三
弦长问题
面积问题
中点弦问题
专题强化练
考点一
弦长问题
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
核心提炼
例1
已知点P在圆O：x2＋y2＝4上运动，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，M为线段PD的中点(当点P为圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合).
(1)求点M的轨迹方程；
设M(x，y)，P(x0，y0)，则D(x0，0)，
若直线l的斜率存在，设为k，如图，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
得3k4－k2－2＝0，解得k＝±1.
易错提醒
(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等.
(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立.
已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的实轴
长为6，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C
上，AF2⊥x轴，且|AF1|＝7.
(1)求双曲线C及其渐近线的方程；
跟踪演练1
由题意知，2a＝6，即a＝3，
由AF2⊥x轴，可知xA＝c，
(2)如图，若过点F1且斜率为k(k>0)的直线l与双曲线C及其两条渐近线从左至右依次交于M，P，Q，N四点，且|MN|＝2|PQ|，求k.
由(1)可知，c2＝a2＋b2＝12，
M(x1，y1)，P(x2，y2)，Q(x3，y3)，N(x4，y4)，
即36k4＝(12k2－1)(3k2－1)，
考点二
面积问题
(2023·合肥模拟)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C的右支上一点，点A关于原点O的对称点为B，
满足∠F1AF2＝60°，且|BF2|＝2|AF2|.
(1)求双曲线C的离心率；
例2
由对称性可知|BF2|＝|AF1|，故|AF1|＝2|AF2|，
由双曲线定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，
即2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝2a，所以|AF1|＝4a，
又因为|F1F2|＝2c，在△AF1F2中，
当直线l的斜率不存在时，则PQ⊥F1F2，
所以直线l的斜率不存在时不成立.
当直线l的斜率存在时，如图，设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
规律方法
圆锥曲线中求解三角形面积的方法
跟踪演练2
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为60°的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积.
如图，因为直线AB的倾斜角为60°，
消去x并整理得11y2－12y－36＝0，
Δ＝144＋4×11×36>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
考点三
中点弦问题
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
核心提炼
(2023·呼和浩特模拟)已知抛物线T：y2＝2px(p>0)和椭圆C：
过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，
线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点.
(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
例3
(2)若p∈N*，且MN恰好被AB平分，求△OAB的面积.
消去x得y2－2mpy－p2＝0，
Δ＝4m2p2＋4p2>0，
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
因为p∈N*，所以p的值是1，
规律方法
处理中点弦问题常用的求解方法
(1)求C的标准方程；
跟踪演练3
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
假设存在符合条件的直线l，易知直线l的斜率存在，
设直线l的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为AB的中点为P(2,1)，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
直线l的方程为y－1＝x－2，即y＝x－1，
可得Δ＝(－4)2－4×6<0，该方程没有实根，所以假设不成立，
即不存在过点P(2,1)的直线l与C交于A，B两点，使得线段AB的中点为P.
专题强化练
一、单项选择题
1.若直线y＝x－1与椭圆x2＋3y2＝a有且只有一公共点，那么a的值为
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14
因为方程x2＋3y2＝a表示的曲线为椭圆，则a>0，
将直线y＝x－1的方程与椭圆的方程联立，得
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√
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又线段AB的中点坐标为(－1，－4)，
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√
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线的方程为y＝x＋m，
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△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，
所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，
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14
解得a＝4，即2a＝8，故双曲线C的实轴长为8.
6.(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－ ＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是
A.(1,1) B.(－1,2) C.(1,3) D.(－1，－4)
√
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设O为坐标原点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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14
对于A，可得kOM＝1，kAB＝9，则AB：y＝9x－8，
消去y得72x2－144x＋73＝0，
此时Δ＝(－144)2－4×72×73＝－288<0，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
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消去y得45x2＋90x＋61＝0，
此时Δ＝902－4×45×61＝－2 880<0，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于C，可得kOM＝3，kAB＝3，则AB：y＝3x，
由双曲线方程可得a＝1，b＝3，
则AB：y＝3x为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
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消去y得63x2＋126x－193＝0，
此时Δ＝1262＋4×63×193>0，
所以直线AB与双曲线有两个交点，故D正确.
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所以△ABF2的周长|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝|AF2|＋|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝20，A正确；
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√
√
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对于D，若直线l的斜率不存在，则直线l过双曲线的顶点，所以P(±a，0)，
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三、填空题
9.已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4没有公共点，则k的取值范围为
____________________________.
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可得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，
当1－k2＝0时，即k＝±1时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去；
当1－k2≠0时，Δ＝4k2＋20(1－k2)＝20－16k2<0，
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10.(2023·天津)过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为____.
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易知圆(x＋2)2＋y2＝3和曲线y2＝2px(p>0)均关于x轴对称，不妨设切线方程为y＝kx，k>0，
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12.(2023·佛山模拟)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴交于点P，F到l的距离为2，过P的直线与抛物线依次交于A，B两点(点A在P，B两点之间)，则kFA＋kFB＝____；设直线FA交y轴于点M，直线FB交准线l
于点N，则 ＝____.
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0
∵F到准线l的距离为2，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x，准线l：x＝－1，P(－1,0)，F(1,0)，
由题意可设直线AB：x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴Δ＝16m2－16>0，解得m<－1或m>1，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4，
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设kFA＝k，则kFB＝－k，
∴直线FA：y＝k(x－1)，直线FB：y＝－k(x－1)，
∴M(0，－k)，N(－1,2k)，
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四、解答题
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由题意，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
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(2)记A(－1,0)，探究：是否存在直线l，使得|AP|＝|AQ|，若存在，写出满足条件的直线l的一个方程；若不存在，请说明理由.
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假设存在满足题意的直线l，由题意知直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l：y＝kx＋m，k≠0，
消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
则Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，
解得2k2＋1>m2， ①
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14
若直线l′过点A，则把点A(－1,0)代入l′的方程得2k2＋1＝mk， ②
联立①②消去m得(2k2＋1)(k2＋1)<0，无解，
故不存在直线l，使得|AP|＝|AQ|.
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解得a＝2，c＝1.
∴a2＝4，b2＝a2－c2＝3.
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由题意知直线l的斜率为0时显然不成立.
设直线l的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图所示.
显然Δ＝144(m2＋1)>0.
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化简得9m4－3m2－20＝0，即(3m2＋4)(3m2－5)＝0，
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14(共53张PPT)
第4讲 圆锥曲线的综合问题
专题一 函数与导数
考情分析
1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值
问题，定点、定直线、定值问题及探索性问题.
2.以解答题的形式压轴出现，难度较大.
母题突破1
范围、最值问题
(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝ .
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ＝0，求△MFN面积的最小值.
母题
思路分析
联立方程利用弦长求p
设直线MN：x＝my＋n和点M，N的坐标
利用 ＝0，得m，n的关系
写出S△MFN的面积
利用函数性质求S△MFN面积的最小值
(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，
即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去).
(2)由(1)知y2＝4x，
所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，
设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，
Δ＝16m2＋16n>0 m2＋n>0，
所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，
即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，
将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，
4m2＝n2－6n＋1，
所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，
所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，
设点F到直线MN的距离为d，
所以△MFN的面积
(2023·武汉模拟)已知椭圆C： ＋y2＝1，椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为 ，求△APQ面积的最大值.
子题1
易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于x轴，
故可设直线PQ：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
Δ＝16(4k2＋1－m2)>0，即4k2＋1>m2，
化简可得20(kx1＋m)(kx2＋m)＝(x1－2)(x2－2)，
即20k2x1x2＋20km(x1＋x2)＋20m2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4，
整理得6k2＋mk－m2＝0，
所以m＝－2k或m＝3k，
所以直线PQ：y＝k(x－2)或y＝k(x＋3)，
因为直线PQ不经过点A(2,0)，
所以直线PQ经过定点(－3,0)，即m＝3k.
所以直线PQ的方程为y＝k(x＋3)，易知k≠0，
因为Δ>0，且m＝3k，
(2023·深圳模拟)已知双曲线C：x2－y2＝1，设点A为C的左顶点，若过点(3,0)的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与圆O：x2＋y2＝1分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求 的取值范围.
子题2
如图所示，设直线lPQ的方程为x＝ty＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
得(t2－1)y2＋6ty＋8＝0，
因为直线l与双曲线C的右支交于两点，
解得－1设AP：x＝m1y－1，AQ：x＝m2y－1，
且|m1|>1，|m2|>1，
即m1·m2＝－2，
所以|m1|·|m2|＝2，
因为f(n)在区间[4,5)上单调递增，
所以f(n)的取值范围为[9，＋∞)，
规律方法
求解范围、最值问题的常见方法
(1)利用判别式来构造不等关系.
(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.
(4)利用基本不等式.
1.(2023·佛山模拟)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， ，
N(1,0)，Q为线段MN上异于M，N的一动点，点P满足
(1)求点P的轨迹E的方程；
跟踪演练
∴|PM|＝2|QM|，|PN|＝2|QN|，
∴|PM|＋|PN|＝2(|QM|＋|QN|)＝2|MN|＝4，
∴点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，
∴b2＝a2－c2＝3，
(2)点A，C是曲线E上两点，且在x轴上方，满足AM∥NC，求四边形AMNC面积的最大值.
如图所示，连接CO，并延长交椭圆E于点B，连接BM，AN，CM，
由椭圆对称性可知|OC|＝|OB|，又|OM|＝|ON|，
∴四边形CMBN为平行四边形，
∴CN∥BM，|CN|＝|BM|，
∴S△BOM＝S△CON且A，M，B三点共线，
∴四边形AMNC的面积S＝S△ACM＋S△COM＋S△CON＝S△ACM＋S△COM＋S△BOM＝S△ABC，
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
又AM∥NC，
∴点C到直线AB的距离即为点N到直线AB的距离，
2.(2023·温州模拟)已知抛物线C1：y2＝4x－4与双曲线C2： ＝1
(1D(不同于A，B点)两点，直线BC，BD分别交x轴于P，Q两点.
(1)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，求证：y1y2是定值；
由A(x1，y1)，C(x2，y2)是直线AF与抛物线C1：y2＝4x－4的两个交点，显然直线AF不垂直于y轴，点F(2,0)，
故设直线AF的方程为x＝my＋2，
所以y1y2＝－4为定值.
由(1)知B(x1，－y1)，
直线BC的斜率为
令y＝0，得点P的横坐标
消去x得(4m2－m2a2－a2)y2＋4m(4－a2)y＋(4－a2)2＝0，
4m2－m2a2－a2≠0，且Δ＝16m2(4－a2)2－4(4－a2)2·(4m2－m2a2－a2)＝4a2(m2＋1)(4－a2)2>0，
专题强化练
1
2
(1)求椭圆C的标准方程；
1
2
设椭圆C的半焦距为c>0，
1
2
(2)过点M(0,1)的直线l交椭圆C于P，Q两点，求|PQ|的取值范围.
1
2
当直线l的斜率不存在时，则l：x＝0，
当直线l的斜率存在时，
设l：y＝kx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
消去y得(2k2＋1)x2＋4kx－4＝0，
1
2
则Δ＝(4k)2－4(2k2＋1)×(－4)＝16(3k2＋1)>0，
1
2
1
2
2.(2023·郑州模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线E： ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，离心率为2，且过点P(2,3).
(1)求双曲线E的标准方程；
1
2
①
②
又c2＝a2＋b2，
③
1
2
(2)设过原点O的直线l1在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线l2在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值.
1
2
由双曲线的对称性，知OA＝OC，OB＝OD，
所以四边形ABCD为平行四边形，
所以S四边形ABCD＝4S△OAD.
由题意知直线AD的斜率不为零，
1
2
得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0.
Δ＝36(m2＋1)>0，
设A(x1，y1)，D(x2，y2)，
因为A，D均在双曲线右支，
1
2
1
2
所以当t＝1时，(S△OAD)min＝6.
所以四边形ABCD面积的最小值为24.(共86张PPT)
专题一 函数与导数
第2讲 圆锥曲线的方程与性质
专题一 函数与导数
高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题.
考情分析
内容索引
考点一
考点二
考点三
圆锥曲线的定义与标准方程
椭圆、双曲线的几何性质
抛物线的几何性质及应用
专题强化练
考点一
圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
核心提炼
例1
(1)(2023·全国乙卷)已知点A(1， )在抛物线C：y2＝2px上，则A到
C的准线的距离为___.
则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，
√
方法一 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ①
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，
联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，
由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，
方法三 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ①
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，
易错提醒
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置.
(1)(2023·资阳模拟)已知双曲线C：x2－ ＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与C的右支相交于A，B两点，若|AB|＝2，
则△ABF1的周长为
A.6 B.8 C.10 D.12
跟踪演练1
√
由双曲线的定义，可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，
|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
所以|AF1|＝2＋|AF2|，|BF1|＝2＋|BF2|，又|AB|＝2，
则△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋6＝|AB|＋6＝8.
√
圆M：x2＋(y－3)2＝1的圆心为M(0,3)，r＝1，
设椭圆的左焦点为F1，如图，
由椭圆的定义知，|PF|＋|PF1|＝2a＝4，
所以|PF|＝4－|PF1|，
所以|PQ|＋|PF|≤|PM|＋r＋|PF|
＝|PM|＋1＋4－|PF1|＝5＋|PM|－|PF1|≤5＋|MF1|，
当且仅当M，P，F1三点在同一条直线上时取等号，
考点二
椭圆、双曲线的几何性质
1.求离心率通常有两种方法
核心提炼
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
(1)(多选)已知椭圆C： ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是
A.F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)
B.椭圆的短轴长为10
C.|PF1|的最小值为1
D.当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值
例2
√
√
√
∴c2＝a2－b2＝4，
对于A，c＝2，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，故A正确；
对于C，a－c≤|PF1|≤a＋c，
∴|PF1|的最小值为1，故C正确；
对于D，当P在椭圆的长轴端点时，∠F1PF2＝0；
当P不在长轴端点时，0<∠F1PF2<π，利用余弦定理可知
当|PF1|＝|PF2|，即P在椭圆的短轴端点时，cos∠F1PF2最小，此时∠F1PF2最大，故D正确.
(2)(2023·东三省四市教研体模拟)已知双曲线C： ＝1(a>0)过点(－2,
1)，则其渐近线方程为________.
x±y＝0
则C的离心率为________.
考向2 离心率问题
例3
方法一 依题意，设|AF2|＝2m，
则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，
在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，
则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，
所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，
方法二 依题意，以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，得F1(－c，0)，F2(c，0)，
令A(x0，y0)，B(0，t)，
所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，
即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，
整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，
则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，
解得5c2＝9a2或5c2＝a2，
又e>1，
规律方法
(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求 的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.
跟踪演练2
√
√
√
√
如图所示，设|F1F2|＝2c，
∵4|F2N|＝3|F2M|，
设|F2N|＝3t，则|F2M|＝4t，
由椭圆定义可知|F1N|＝2a－3t，|F1M|＝2a－4t，
|F1N|＋|F1M|＝|MN|＝4a－7t＝5t，解得a＝3t，
∴|F1N|＝2a－3t＝3t＝|F2N|，|F1M|＝2a－4t＝2t，
在△F1MF2中，由余弦定理可得
∵∠NF1F2＋∠MF1F2＝π，
∴cos∠NF1F2＋cos∠MF1F2＝0，
考点三
抛物线的几何性质及应用
抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
核心提炼
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
(1)(多选)(2023·常德模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则
例4
√
√
√
因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2)，
所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；
所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，
消去x整理得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16>0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，
x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；
(2)(2023·南昌模拟)首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧 组成，如图所示.假设圆弧 所在圆的方程为C：(x＋25)2＋(y－2)2＝162，若某运动员在起跳点M以倾斜角为45°且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如图所示，则该抛物线的轨迹方程为
√
由于某运动员在起跳点M以倾斜角为45°且与圆C相切的直线方向起跳，故kCM＝－1，
又圆C的圆心为C(－25,2)，所以直线CM所在的方程为y－2＝－(x＋25)，
代入(x＋25)2＋(y－2)2＝162，
所以点M的坐标为(－16，－7).
由于起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，
故设抛物线方程为y＝ax2＋c，则y′＝2ax，
规律方法
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
(1)苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图1所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形.图2是“东方之门”的示意图，已知|CD|＝30 m，|AB|＝60 m，点D到直线AB的距离为150 m，则此抛物线顶端O到AB的距离为
A.180 m B.200 m
C.220 m D.240 m
跟踪演练3
√
以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意设D(15，h)，h<0，B(30，h－150)，
所以此抛物线顶端O到AB的距离为50＋150＝200(m).
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x上过焦点的两个不同的点，O为坐标原点，焦点为F，则
√
√
由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2,0)，故A错误；
由焦半径公式可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正确；
设直线l的方程为x＝my＋2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，
则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，故C错误；
专题强化练
一、单项选择题
1
2
3
4
5
6
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√
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16
3.(2023·宁德质检)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上一个动点，A(－1,3)，则|PF|＋|PA|的最小值为
A.3 B.4 C.5 D.6
√
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由题意可知抛物线x2＝4y的焦点坐标为F(0,1)，准线l的方程为y＝－1，过P作PQ⊥l于Q，如图所示，
由抛物线定义可知|PF|＝|PQ|，
所以|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|，
则当A，P，Q三点共线时，|PQ|＋|PA|取得最小值，
所以|PF|＋|PA|的最小值为3－(－1)＝4.
4.(2023·泉州模拟)已知双曲线C的焦点分别为F1，F2，虚轴为B1B2.若四边形F1B1F2B2的一个内角为120°，则C的离心率等于
√
因为|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，c>b，
由对称性可得四边形F1B1F2B2为菱形，且∠F1B1F2＝120°，
1
2
3
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5
6
7
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9
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11
12
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14
15
16
5.(2023·厦门模拟)比利时数学家旦德林发现：两个不相切的
球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都
相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆.如图所
示，这个结论在圆柱中也适用.用平行光源照射一个放在桌面
上的球，球在桌面上留下的投影区域内(含边界)有一点A，若
平行光与桌面夹角为30°，球的半径为R，则点A到球与桌面切点距离的最大值为
√
1
2
3
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16
由题意，如图所示，
则∠BAC＝30°，∠BAO＝15°，∠AOB＝75°，
所以A到球与桌面切点距离的最大值为
|AB|＝tan 75°·R＝tan(30°＋45°)·R
1
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16
6.(2023·沧州模拟)焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上有一点P(2,2p)，O为坐标原点，则满足|MP|＝|MO|＝|MF|的点M的坐标为
√
1
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15
16
将点P的坐标代入抛物线中得(2p)2＝2p×2，解得p＝1，
则P(2,2)，所以OP的斜率为1，且OP的中点为(1,1)，
则OP的垂直平分线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，
|MP|＝|MO|＝|MF|，则点M为OP的垂直平分线和OF的垂直平分线的交点，
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√
由圆P：x2＋(y－3)2＝2x，
可得(x－1)2＋(y－3)2＝1，
可得圆P的圆心坐标为P(1,3)，半径r＝1，
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设椭圆的右焦点为F1，根据椭圆的定义可得|MF|＝2a－|MF1|，
所以|MF|－|MN|＝2a－(|MF1|＋|MN|)，
又由|MN|min＝|MP|－r，
如图所示，当点P，M，N，F1四点共线时，
即P，N′，M′，F1时，|MF1|＋|MN|取得最小值，
(|MF1|＋|MN|)min＝(|MF1|＋|MP|－r)
＝|PF1|－r＝3－1＝2，
所以(|MF|－|MN|)max＝2×2－2＝2.
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设M(x1，y1)，由M在渐近线上，
又由题可得A1(－a，0)，
将其与双曲线方程联立，消去y得
由题可知，其判别式大于0，设P(x2，y2)，
由根与系数的关系，得
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由A2I⊥x轴，则 ＝0，又A2(a，0)，
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二、多项选择题
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10.(2023·汕头模拟)已知曲线C：x2＋y2cos α＝1，α∈[0，π]，则下列结论正确的是
A.曲线C可能是圆，也可能是直线
B.曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆
C.当曲线C表示椭圆时，则α越大，椭圆越圆
D.当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
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设m＝cos α∈[－1,1]，故曲线C的方程可表示为x2＋my2＝1(－1≤m≤1).
对于A，当m＝0时，曲线C的方程为x2＝1，可得x＝±1，此时曲线C为两条直线；
当m＝1时，曲线C的方程为x2＋y2＝1，此时曲线C是一个圆，故A正确；
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设|F2Q|＝m，|F1Q|＝4－m，在△PF1Q中，
|F1P|2＋|PQ|2－2|F1P||PQ|cos∠F1PF2＝|F1Q|2，
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12.(2023·益阳模拟)已知直线l过抛物线C：x2＝－4y的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，G(xG，yG)，则下列选项正确的是
A.yAyB＝1
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√
√
抛物线C：x2＝－4y的焦点F(0，－1)，准线方程为y＝1，
设直线l的方程为y＝kx－1，
以线段AB为直径的圆的圆心为(x0，y0)，
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所以△GAB面积的取值范围为[4，＋∞)，D不正确.
三、填空题
13.双曲线经过一点A(1,0)，渐近线方程为y＝± x，则该双曲线的标准方
程为___________.
可设双曲线方程为2x2－y2＝λ(λ≠0)，
将A(1,0)代入方程得λ＝2，
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由题意可知A(b，0)，B(0,2)，
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15.(2023·滨州模拟)圆锥曲线的光学性质被人们广泛
地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发
出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反
向延长线经过另一个焦点.如图，从双曲线C的右焦
点F2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知入射光线F2P的斜率为－2，且F2P和反射光线PE互相垂直(其中P为入射点)，则双曲线C的渐近线方程为____________________.
2x＋y＝0和2x－y＝0
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所以渐近线方程为2x＋y＝0和2x－y＝0.
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>x2，
由y2＝4x得p＝2，F(1,0)，
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消去y得3x2－10x＋3＝0，
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16(共46张PPT)
第4讲 圆锥曲线的综合问题
母题突破4
探究性问题
(2023·廊坊质检)已知椭圆C： ＝1(a>b>0)经过点A(－2,0)，且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设P，Q为椭圆C上两个不同的点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，且P，O，Q三点共线.其中O为坐标原点.问：在x轴上是否存在点M，使得∠AME＝∠EFM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
母题
思路分析
代入点，结合面积求方程和离心率
设点P，Q，表示出直线AP，AQ的方程
求出E，F的坐标,
由∠AME＝∠EFM得 ＝0,
利用向量运算求点M的坐标
(2)因为P，O，Q三点共线，根据椭圆的对称性可知P，Q关于O点对称，如图，
设点P(x1，y1)，则Q(－x1，－y1)(x1≠±2)，
所以直线AP的方程为
假设存在M使∠AME＝∠EFM，
因为∠MOE＝∠FOM＝90°，
所以∠OMF＝∠OEM，
又∠OEM＋∠OME＝90°，
所以∠OME＋∠OMF＝90°，
即ME⊥MF，
(2023·西安模拟)已知椭圆C： ＝1，过点T 的直线交该椭圆于P，Q两点，若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在定点S(s,0)，使得∠PST＝∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，请说明理由.
子题1
假设在x轴上存在定点S(s,0)，使得∠PST＝∠QST恒成立，
因为∠PST＝∠QST，所以kPS＋kQS＝0，
整理得(x2－s)y1＋(x1－s)y2＝0，
已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4).
(1)求C的方程；
子题2
点A的坐标为(6,4)，得c＝4，
不妨设焦点F1(0,4)，F2(0，－4)，
所以a＝2，b2＝c2－a2＝12，
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q两点，与线段AB交于点N(N，D不重合)， 均成立？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
如图，设l的方程为y＝2m(m>1)，
则D(0,2m)，故M(0，m)，
由已知得直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
直线PQ的方程与双曲线方程联立得(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，
由已知得3k2≠1，Δ>0，
规律方法
探索性问题的求解策略
(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律.
(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论.
跟踪演练
1.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，点P(2,8)在抛物线上，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.
(1)求点P到抛物线焦点的距离；
将点P(2,8)代入抛物线方程，
点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，
把y＝kx＋2代入y＝2x2得2x2－kx－2＝0，Δ＝k2＋16>0，
又∵M是AB的中点，
∵MN⊥x轴，
两边同时平方得k2＋16＝4(k2＋1)，
解得k＝±2，即存在k＝±2，
2.(2023·池州模拟)如图，点A为椭圆E： ＋y2＝1的上顶点，圆C：x2＋y2＝1，过坐标原点O的直线l交椭圆E于M，N两点.
(1)求直线AM，AN的斜率之积；
设M(x0，y0)，则N(－x0，－y0)，
(2)设直线AM：y＝kx＋1(k≠0)，AN与圆C分别交于点P，Q，记直线MN，PQ的斜率分别为k1，k2，探究是否存在实数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
消去y可得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，
因为A，M均在椭圆E上，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
消去y可得(1＋k2)x2＋2kx＝0，
因为A，P均在圆C上，
专题强化练
1
2
1.(2023·郑州模拟)过点M(t,0)(t<0)，斜率为 的直线l与抛物线C：y2＝2px(p>0)相切于点N，且|MN|＝
(1)求抛物线C的方程；
1
2
整理得3p＋2t＝0，
1
2
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
1
2
(2)斜率为 的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线l′，使得点Q关于l′的对称点Q′恒与P，N共线，若存在，求出l′的方程，若不存在，说明理由.
1
2
假设存在直线l′，使得点Q关于l′的对称点Q′恒与P，N共线，则直线NP，NQ关于l′对称，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
1
2
所以直线PN的斜率
所以直线NQ的斜率
1
2
所以存在直线l′，使得点Q关于l′的对称点Q′恒与P，N共线，
1
2
(1)求双曲线C的方程；
1
2
又直线l：y＝x＋m，与双曲线方程联立得
2x2－2mx－m2－3a2＝0， ①
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
②
1
2
所以(－x1，m－y1)＝3(x2，y2－m).
故x1＝－3x2.
结合x1＋x2＝m，
＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－3a2＝3a2＝3，
从而a2＝1.
1
2
显然，该方程有两个不相等的实根.
因此，a2＝1符合要求.
1
2
(2)设Q为双曲线C右支上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴负半轴上是否存在定点M，使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
1
2
假设满足条件的点M(t,0)(t<0)存在.
由(1)知双曲线右焦点为F(2,0).
由双曲线的对称性，不妨设点Q(x0，y0)在第一象限，
因为∠QFM＝2∠QMF，
1
2
当x0＝2时，∠QFM＝90°，而当t＝－1时，∠QMF＝45°，符合∠QFM＝2∠QMF.
所以满足条件的点M(－1,0)存在.(共45张PPT)
第4讲 圆锥曲线的综合问题
母题突破2
定点(定直线)问题
母题
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P的动直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若点M在线段
AB上，满足 ，证明：点M在定直线上.
思路分析
设直线方程y－1＝k(x－3)并联立
将根与系数的关系代入化简
消去参数得点在定直线上
(1)设|F1F2|＝2c(c>0)，
所以F1(－2t,0)，F2(2t,0)，
解得t＝1或t＝－1(舍去)，
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线斜率不存在时不成立，
设l：y－1＝k(x－3)，
可得(1－3k2)x2－6k(1－3k)x－3(2－6k＋9k2)＝0，
由于点P在双曲线C内部，易得Δ>0，
设M(x0，y0)，根据题意x1整理得6x0＋2x1x2＝(x0＋3)(x1＋x2)，
化简得x0－2＝kx0－3k，
又y0＝kx0＋1－3k，消去k，得x0－y0－1＝0，
所以点M在定直线x－y－1＝0上.
(2023·信阳模拟)已知椭圆C： ＝1的左、右顶点分别为A1，A2，过点D(1,0)的直线l与椭圆C交于异于A1，A2的M，N两点.若直线A1M与直线A2N交于点P，证明：点P在定直线上，并求出该定直线的方程.
子题1
如图所示，由题知直线A1M与直线A2N的斜率存在，
设 ：y＝k1(x＋2)，
：y＝k2(x－2)，
又M，N是异于A1，A2的两点，
又D(1,0)，且M，D，N三点共线，
化简得(3k1－k2)(1＋2k1k2)＝0，
由题知k1，k2同号，所以3k1＝k2，
将3k1＝k2代入点P的横坐标，
所以点P在定直线x＝4上.
(2023·岳阳模拟)已知双曲线C：x2－ ＝1，P为双曲线的右顶点，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为－1.证明：直线l恒过定点.
子题2
设直线PA与直线PB的斜率分别为k1，k2，
如果直线l的斜率不存在，
则k1＋k2＝0，不符合题意.
设直线l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
整理得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
整理得(2k＋1)x1x2＋(m－k－1)(x1＋x2)＋1－2m＝0，
化简得k2＋(2m＋6)k＋m2＋6m＝0，
解得k＝－m－6或k＝－m，
当k＝－m时，直线l的方程为y＝－mx＋m＝－m(x－1)，
当x＝1时，y＝0，所以直线l过定点(1,0)，
又直线l不经过点P(1,0)，所以不符合题意；
当k＝－m－6时，直线l的方程为y＝kx－k－6＝k(x－1)－6，
当x＝1时，y＝－6，所以直线l过定点(1，－6)，
综上所述，直线l恒过定点(1，－6).
规律方法
动线过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0).
(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
1.(2023·襄阳模拟)过抛物线x2＝2py(p>0)内部一点P(m，n)作任意两条直线AB，CD，如图所示，连接AC，BD并延长交于点Q，当P为焦点并且AB⊥CD时，四边形ACBD面积的最小值为32.
(1)求抛物线的方程；
跟踪演练
整理得x2－2pkx－p2＝0，
可得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－p2，
所以p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.
(2)若点P(1,1)，证明：点Q在定直线上运动，并求出定直线方程.
当P(1,1)时，设Q(x0，y0)，
可得x1x2＋4＝x1＋x2， ①
同理由C，P，D三点共线，可得x3x4＋4＝x3＋x4， ②
所以x1x3＋4y0＝x0(x1＋x3)， ③
同理由B，D，Q三点共线，
可得x2x4＋4y0＝x0(x2＋x4)， ④
即(x0－1)x2x3＋(4－x0)x3＋(x0－4y0)x2＋4y0－4x0＝0， ⑤
即(x0－1)x2x3＋(4－x0)x2＋(x0－4y0)x3＋4y0－4x0＝0， ⑥
由⑤⑥得(4－x0)(x3－x2)＋(x0－4y0)(x2－x3)＝0，
即4－x0＝x0－4y0，即x0－2y0－2＝0，
所以点Q在定直线x－2y－2＝0上.
(1)求C的方程；
(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
由题意可知，直线PQ的斜率存在，如图，
设B(－2,3)，直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，
则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，
因为A(－2,0)，
所以线段MN的中点是定点(0,3).
专题强化练
1
2
(1)求双曲线C的方程；
由题知2a＝2，得a＝1，
1
2
(2)当a1
2
由(1)知，当a设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立直线l与双曲线C得
3m2－1≠0，Δ＝36(m2＋1)>0，
1
2
因为A1(－1,0)，A2(1,0)，
因为直线A1M，A2N相交于点T(x0，y0)，
1
2
1
2
1
2
2.(2023·嘉兴模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝|AF||BF|.
(1)求抛物线C的方程；
1
2
1
2
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，由|AB|＝|AF||BF|得
化简得(m2＋1)p(p－2)＝0，又p>0，
所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.
1
2
(2)若点P(4,4)，直线PA，PB分别交准线l于M，N两点，证明：以线段MN为直径的圆过定点.
1
2
由(1)知直线AB：x＝my＋1(m∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
易得x1＋x2＝4m2＋2，x1x2＝1，
1
2
1
2
设Q(x，y)是以线段MN为直径的圆上的任意一点，
1
2
即0＝(x＋1)2＋(y－yM)(y－yN)，
由对称性令y＝0得0＝(x＋1)2＋yMyN＝(x＋1)2－4，
所以x＝1或x＝－3，
所以以线段MN为直径的圆经过定点，定点坐标为(－3,0)与(1,0).(共8张PPT)
规范答题6 解析几何
(1)求W的方程； [切入点：直接法求轨迹方程]
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于
[关键点：对周长放缩]
(1)设P(x,y)，直接法求轨迹方程
(2)设点A，B，C的坐标，利用AB⊥BC建立关系
(3)利用弦长公式表示出周长
(4)对周长进行放缩
(5)建立函数，利用导数求最值.
思路分析
答题模板 规范答题不丢分
(2分)
①处直接法求轨迹方程
且a易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
则kAB·kBC＝－1，a＋b＝a＋b＝m<0，
(4分)
同理令kBC＝b＋c＝n>0，且mn＝－1，
②处得到m，n之间的关系
设矩形周长为C，由对称性不妨设|m|≥|n|，
(6分)
(8分)
③处用弦长公式表示周长
④处进行周长放缩
(10分)
⑤处建立函数
⑥处利用导数求最值
即m＝n时等号成立，矛盾，
⑦处排除边界值
(12分)
南态
关
y米
D
C
A
B
O
X(共48张PPT)
培优点8 圆锥曲线中非对称韦达定理的应用
专题一 函数与导数
内容索引
考点一
考点二
分式型
比值型
专题强化练
考点一
分式型
例1
(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.
由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
显然直线MN的斜率不为0，
联立直线MA1与直线NA2的方程可得
方法一 (和积转化)
方法二 (配凑)
据此可得点P在定直线x＝－1上运动.
规律方法
非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求根公式(暴力法)、曲线方程代换、第三定义等方法，将其转化为对称结构计算.
已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，M，N分别为左、右顶点，直线l：x＝ty＋1与椭圆C交于A，B两点，当t＝
时，A是椭圆的上顶点，且△AF1F2的周长为6.
(1)求椭圆C的方程；
跟踪演练1
又△AF1F2的周长为6，
即2a＋2c＝6，即a＋c＝3，
又a2－c2＝b2＝3，解得a＝2，c＝1，
(2)设直线AM，BN交于点Q，证明：点Q在定直线上.
由(1)知，M(－2,0)，N(2,0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依题意，点A，B不在x轴上，
消去x并整理得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，Δ>0，
于是得x＝4，
所以直线AM，BN的交点Q在定直线x＝4上.
考点二
比值型
(1)求C的方程；
例2
可得b2＝3a2，
解得a2＝1，b2＝3，
由(1)可知，上焦点F(0,2)，
设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线l的方程为y＝kx＋2，
整理得(3k2－1)x2＋12kx＋9＝0，
即(－x1,2－y1)＝7(－x2,2－y2)，可得x1＝7x2，
方法二
规律方法
比值型问题适用于x1＝λx2型，可以采用倒数相加，但有时得到的可能不是这种形式，而是x1＝λx2＋k的形式，此时采用待定系数法，例如x1＝－3x2＋4，可以转化x1－1＝－3(x2－1)，得到 ＝－3，继续采用倒数相加解决.
(1)求E的方程；
跟踪演练2
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由题意可设直线l的方程为y＝kx－2，
消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
专题强化练
1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
1
2
由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
∵点P(1,2)在抛物线上，
∴22＝2p×1，解得p＝2.
故抛物线的方程是y2＝4x，其准线方程是x＝－1.
1
2
1
2
方法一 由(1)可知F(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线AB的方程可设为x＝ty＋1，
整理得y2－4ty－4＝0，
所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
1
2
方法二 A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)，
1
2
∵A，B在抛物线上，
由③－④得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
①
②
③
④
2.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0).点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为
(1)求E的方程；
1
2
1
2
(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点 的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则________.(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答)
①求直线AC和BD交点的轨迹方程；
②是否存在实常数λ，使得k1＝λk2恒成立；
③过点C作关于x轴的对称点C′，连接C′D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点.
1
2
1
2
化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，
1
2
1
2
1
2
所以直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x＝6.
化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，
假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
1
2
1
2
选择③.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，C′(x1，－y1)，
化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，
1
2
设直线C′D与x轴交于点M(m,0)，由对称性可知kCM＋kDM＝0，
则y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝0，
所以y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝x1y2＋x2y1－m(y1＋y2)
1
2
即－9t＋(3－2m)·(－t)＝0，解得m＝6，
所以直线C′D恒过定点M(6,0).(共45张PPT)
第4讲 圆锥曲线的综合问题
母题突破3
定值问题
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，过点B(0,4)作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C，D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点.证明：|OH||OG|为定值，并求出该定值.
母题
思路分析
结合点的坐标和AM的斜率列方程组
设直线BC的方程并与椭圆的方程联立
得到x1＋x2，x1x2
写出直线AD，AC的方程并求出H，G的横坐标
化简运算|OH||OG|
(2)由题意知，直线BC的斜率存在，
设直线BC：y＝kx＋4，
设D(x1，y1)，C(x2，y2)，
得(1＋4k2)x2＋32kx＋60＝0，
Δ＝(32k)2－4(1＋4k2)×60＝16(4k2－15)＞0，
因为A(0，－1)，
(2023·西安模拟)如图，在平面直角坐标系中，椭圆E： ＝1，A，B分别为椭圆E的左、右顶点.已知图中四边形ABCD是矩形，且|BC|＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P.若点P在椭圆E上，证明： 为定值，并求出该定值.
子题1
设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，
(2023·衡水质检)已知E(2,2)是抛物线C：y2＝2x上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点(不同于点E)，直线EA，EB分别交直线x＝－2于点M，N.已知O为原点，求证：∠MON为定值.
子题2
设直线l的方程为x＝my＋2，
消去x，整理得y2－2my－4＝0，Δ＝4m2＋16>0恒成立.
则y1y2＝－4，y1＋y2＝2m，
规律方法
求解定值问题的两大途径
(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关.
(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值.
1.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，F为其焦点，若圆E：(x－1)2＋y2＝16与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝
(1)求抛物线C的方程；
跟踪演练
由题意可知E(1,0)，半径r＝4，
由圆的圆心以及抛物线的焦点均在x轴上以及对称性可知AB⊥x轴于点C，如图所示，在Rt△ACE中，
因此|OC|＝|OE|＋|CE|＝3，
12＝6p p＝2，
故抛物线方程为y2＝4x.
(2)若点P为圆E上任意一点，且过点P可以作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N.求证：|MF|·|NF|恒为定值.
如图所示，令P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
抛物线在点M处的切线方程为x－x1＝m(y－y1)，
与y2＝4x联立得y2－4my＋4my1－4x1＝0， ①
由相切得Δ＝16m2－4(4my1－4x1)＝0，
得4my1－4x1＝4m2，
代入①得y1＝2m，
即为yy1＝2x＋2x1，
同理在点N处的切线方程为yy2＝2x＋2x2，
而两切线交于点P(x0，y0)，
所以有y0y1＝2x0＋2x1，y0y2＝2x0＋2x2，
则直线MN的方程为2x－y0y＋2x0＝0，
得y2－2y0y＋4x0＝0，
所以y1＋y2＝2y0，y1y2＝4x0，
于是|MF|·|NF|＝(x1＋1)(x2＋1)
又点P(x0，y0)在圆E：(x－1)2＋y2＝16上，
即|MF|·|NF|＝16.
(1)求C的方程；
因为c2，a2，b2成等差数列，
所以2a2＝c2＋b2，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝2b2.
(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点(P在Q的上方)，PQ的中点为M，M在直线l：x＝2上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为k1，k2，证明： 是定值.
依题意可设PQ：x＝my＋3，
得(m2－2)y2＋6my＋3＝0，
如图，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1>y2，
则k1－k2＝kPN－kQN
专题强化练
1
2
(1)求C的方程；
1
2
所以C的方程为x2－y2＝1.
1
2
(2)过点P作直线l交C于M，N两点，过点N作x轴的垂线交直线AM于点G，H为NG的中点，证明：直线AH的斜率为定值.
1
2
当直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线只有一个交点，不符合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
消去y得(1－k2)x2－2k(1－k)x－k2＋2k－2＝0，
则1－k2≠0，
且Δ＝4k2(1－k)2－4(1－k2)(－k2＋2k－2)＝8－8k>0，
解得k<1且k≠－1，
1
2
因为H为NG的中点，
1
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所以kAH＝1，
所以直线AH的斜率为定值.
＝2k＋2－2k＝2，
1
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(1)求椭圆C的方程；
1
2
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2
1
2
与椭圆方程联立解得x2＝2，y2＝2，
当直线l的斜率存在时，如图所示，设直线l：y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
1
2
消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－6＝0，
显然点P在椭圆C内，即直线l与C必交于两点，
又直线l与圆x2＋y2＝2相切，
即m2＝2k2＋2，
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