四川省攀枝花市普通高中2023-2024学年高二上学期1月教学质量监测（期末）数学试题（含答案）

攀枝花市2023-2024学年度（上）普通高中教学质量监测
高二数学试题卷
2024.1
本试题卷共4页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.设，是一个随机试验中的两个事件，则（ ）
A. B.
C. D.若，则
3.已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
4.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（ ）
A.32 B.16 C.4 D.2
5.如图，在四面体中，，，.点在上，且，为中点，则（ ）
A. B.
C. D.
6.若直线与直线平行，则的值为（ ）
A.3 B. C.3或 D.或6
7.随机抛掷两枚均匀骰子，则得到的两个骰子的点数之和是4的倍数的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.已知直线与抛物线相交于，两点，若，则的最小值为（ ）
A.4 B. C.8 D.16
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某人打靶时连续射击两次，记事件为“第一次中靶”，事件为“至少一次中靶”，事件为“至多一次中靶”，事件为“两次都没中靶”.下列说法正确的是（ ）
A. B.与是互斥事件
C. D.与是互斥事件，且是对立事件
10.已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A.若点在圆的内部，则
B.若圆，外切，则
C.圆上的点到直线的最短距离为1
D.过点作圆的切线，则的方程是或
11.如图，正方体的棱长为2，为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ）
A.存在点，使 B.存在点，使
C.四面体的体积为定值 D.点到直线的距离为
12.已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.直线与曲线交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.曲线的方程为 B.曲线的离心率为
C.直线的方程为 D.的周长为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知抛物线上的点到抛物线的焦点的距离为3，则______.
14.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知个人能破译的概率分别是和，则恰好有一人成功破译的概率为______.
15.数列满足，，则数列的通项公式为______.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，椭圆的上顶点为，且.双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则______，______.（第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
设等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.（12分）
已知圆心在直线上的圆经过，两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
19.（12分）
如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，且，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）
已知数列的前项和为.数列的首项，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）设，求数列的前项和.
21.（12分）
如图所示，在梯形中，，，.四边形为矩形，且平面.
（1）求证：平面；
（2）若直线与所成角的正切值为，点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
22.（12分）
已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值.
攀枝花市2023-2024学年度（上）调研检测2024.01
高二数学（参考答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 A D C D C A C B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
选项 AD BCD BC ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.2 14. 15. 16.，（第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
解：（1）设等差数列的公差为，依题意得
解得
数列的通项公式是
（2）由（1）知，.
所以
18.（12分）
解：（1），，的中点为.
的垂直平分线为，即
由解得，故圆心为.
半径.
圆的标准方程为.
（2）当直线斜率不存在时，此时，满足条件，直线方程为
当直线斜率存在时，设直线方程为，即.
，圆心到直线的距离为.
解得，故直线方程为，即.
综上所述：直线的方程为或.
19.（12分）
解：（1）由，得，.
取的中点，连接，.
由为中点知，.
又，故，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（2）取的中点，连结，由得，从而.
且.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
由题意知，，，，，，
则，，
设为平面的法向量，
则，可取
故直线与平面所成角的正弦值为
20.（12分）
解：（1）当时，因为.
当时，因为
并且当时，依然成立，所以的通项公式是.
（2）由，得，.
又.
故是以3为首项，3为公比的等比数列，所以.
（3）由（1）（2）知，
则
令①
②
①－②得，，
21.（12分）
（1）证明：因为四边形为梯形，，，，
所以，.
则，即
又因为平面，，则.
因为、都在平面内，，所以面.
（2）取中点，连结，，由，知
由（1）知，所以，故直线与所成角为
在中，，，所以
在，解得
如图所示，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
则，，，
，，
设为平面的法向量，则有
可得，取，则
由题可知，是平面的一个法向量，
所以.
因为，解得或（舍去）.
当点为线段的靠近的三等分点时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
22.（12分）
解：（1）法一：设双曲线的标准方程为
由题知：，故其左右焦点分别为，.
由，所以.
从而，双曲线的标准方程为.
法二：设双曲线方程为，
由题知：得到.
又，得到。
得到，所以（舍）或，
双曲线的标准方程为.
（2）显然直线与轴不垂直，设，，
联立
故，.
由于，均在双曲线右支上，
故
解得.
由双曲线的对称性知的中点为，故
，
代入韦达定理得
令，则
易知随的增大而减小，则当时，.