2024届江西省南昌市江西师范大学附属中学高考数学冲刺试卷（二）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知函数的图象上一点P，，，则的最小值为( )
A.2 B. C.3 D.
2．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A. B. C.1 D.
3．过抛物线的焦点F，作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与抛物线E的准线交于点C，若，则( )
A.2 B. C.3 D.
4．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则( )
A.2 B. C.3 D.
5．抛物线的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，则的面积是( )
A.4 B. C. D.8
6．设抛物线的焦点为F，过点的直线在第一象限内交抛物线于点A，B，且满足，则直线AB的斜率( )
A. B. C. D.
7．已知抛物线的焦点为F，经过点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，且，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．已知抛物线的焦点为F，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
9．抛物线的准线l与双曲线交于A、B两点，，分别为双曲线C的左、右焦点，在l左边，为等边三角形，与双曲线的一条渐近线交于点E,，则的面积为( )
A. B. C. D.
10．以椭圆的右焦点F为圆心、c为半径作圆，O为坐标原点，若圆F与椭圆C交于A，B两点，点D是OF的中点，且，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案
1．答案：C
解析：函数转化为，，又，，如图所示，
为抛物线的焦点坐标，过B作准线，交准线于点C，交抛物线于点P，
此时由抛物线的定义可得，
当点P不在此位置时，由三角形两边之和大于第三边可得，即，
所以的最小值为3.
故选：C.
2．答案：B
解析：抛物线的焦点为，到双曲线的一条渐近线的距离为，故选B.
3．答案：A
解析：由得，.
过B作垂直于准线，垂足为，
则.
由得，.
因此直线l的斜率为，从而直线l的方程为.
由
得，
解得，，
，故选A.
4．答案：B
解析：由题意得，，则，
即点A到准线的距离为2，所以点A的横坐标为，
不妨设点A在x轴上方，代入得，，
所以.
故选：B.
5．答案：C
解析：，焦点，准线，过焦点F且斜率为的直线，将其与联立消去y，解得或（舍去），故，，.故选C.
6．答案：B
解析：依题意，设直线AB的方程为，代入抛物线方程，整理得.因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以，得，设，，则.又，所以，即，即.将，代入，整理得.又，所以，故选B.
7．答案：B
解析：抛物线C的准线方程为，直线l的方程为.如图，过点A，B分别作于点M，于点N，则.由得，点B为AP的中点.又因为O为PF的中点，连接OB，则，所以，故点B的横坐标为，将代入抛物线得，故点B的坐标为，由，解得，故选B.
8．答案：D
解析：如图，由题意可知抛物线的焦点为，准线方程为，
，，又点A在直线上，
，，
双曲线的离心率.故选D.
9．答案：D
解析：不妨令点A在第二象限，示意图如图，由，可得E为的中点，又O为的中点，.为等边三角形，，由对称性知，，，①，②.抛物线的准线l的方程为，的边长为，，在中，由余弦定理可得，即③，由①②③得，，，.则的面积.故选D.
10．答案：C
解析：由椭圆与圆的对称性不妨令点A在第一象限，由D是OF的中点，且，可知是正三角形，则，将点A坐标代入椭圆C方程可得，即，即，整理得，即，得或.因为，所以，则.故选C.2024届江西省南昌市江西师范大学附属中学高考数学冲刺试卷（三）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若直线过点，点，则此直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为( )
A. B.2 C. D.
3．点到直线的距离为( )
A.2 B. C.1 D.
4．已知两定点，，如果动点P满足，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A.π B. C. D.
5．设两圆，都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆圆心的距离( )
A.4 B. C.8 D.
6．台风中心从A地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险区，城市B在A地正东处，则城市B处于危险区内的时间为( )
A. B. C. D.
7．若圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
8．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是( )
A. B. C. D.
9．动圆M与圆，圆都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
10．直线与直线(，)在同一平面直角坐标系内的图像只可能是( )
A. B.
C. D.
参考答案
1．答案：A
解析：由，得此直线的倾斜角为.故选A.
2．答案：D
解析：由题意得直线方程为，圆的方程为，则圆心到直线的距离为，所以弦长为.故选D.
3．答案：B
解析：由点到直线的距离公式，得.故选B.
4．答案：B
解析：设，则，化简得，
所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，则其面积为.
故选：B.
5．答案：C
解析：依题意，可设圆心坐标为，半径为r，其中，因此圆的方程是.由圆过点，得，即，则该方程的两根分别是圆心，的横坐标.由一元二次方程根与系数的关系，得，，所以.故选C.
6．答案：B
解析：如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，易求得，所以城市B处于危险区内的时间为.故选B.
7．答案：C
解析：由题意知，圆心，半径.因为圆C关于直线对称，所以圆心C在该直线上，则，即.所以点在直线上，所以点与圆心的距离的最小值即为圆心到直线的距离d.又，所以切线长的最小值为.故选C.
8．答案：A
解析：点在直线上，.由此可知点在直线上.点在直线上，.由此可知点也在直线上.过点和点的直线方程是.故选A.
9．答案：D
解析：圆，圆心，半径.
圆可整理为，圆心，半径.
设圆M的圆心为，半径为r，因为动圆M与圆，都外切，
所以即，所以圆心M的轨迹是以，为焦点，的双曲线的左支，所以，，解得，即圆心M的轨迹方程为.故选D.
10．答案：D
解析：对于A，由图像知，，由图像知，，二者矛盾，故A不可能；对于B，由图像知，，由图像知，，二者矛盾，故B不可能；对于C，由图像知，，由图像知，，二者矛盾，故C不可能；对于D，由图像知，，由图像知，，二者相符，故D可能.选D.2024届江西省南昌市江西师范大学附属中学高考数学冲刺试卷（四）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、多项选择题
1．下列结论正确的是( )
A.方程与方程可表示同一直线
B.直线l过点，倾斜角为，则其方程是
C.直线l过点，斜率为0，则其方程是
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
2．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
3．在平面直角坐标系Oxy中，圆C的方程为.若直线上存在一点P，使过点P所作的圆C的两条切线相互垂直，则实数k的值可以是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4．设有一组圆，下列命题正确的是( )
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆均不经过点
C.经过点的圆有且只有一个
D.所有圆的面积均为
5．已知双曲线(，)的两个顶点分别为，，P，Q的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线C的方程可以为( )
A. B. C. D.
6．设，为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线l与C在第一象限的交点为P，则下列说法正确的是( )
A.直线l的倾斜角的余弦值为
B.若，则双曲线C的离心率
C.若，则双曲线C的离心率
D.不可能是正三角形
7．已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则( )
A.直线AB的斜率为 B.
C. D.
8．如图所示，下列四条直线，，，的斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
9．已知圆，圆，直线，点M，N分别在圆，上，则下列结论正确的有( )
A.圆，没有公共点
B.MN的取值范围是
C.过N作圆的切线，则切线长的最大值是
D.直线l与圆，都有公共点时，
10．已知双曲线(，)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有( )
A.渐近线方程为 B.渐近线方程为
C. D.
参考答案
1．答案：BC
解析：A不正确，方程不含点；B，C正确；D只有斜率存在时成立.故选BC.
2．答案：ABD
解析：由题意知，圆C的圆心为，半径为.对于A，若点A在圆C上，则，所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相切，因此A正确；对于B，若点A在圆C内，则，所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相离，因此B正确；对于C，若点A在圆C外，则，所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交，因此C不正确；对于D，因为点A在直线l上，所以，所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相切，因此D正确.故选ABD.
3．答案：AB
解析：由圆C的方程，易知.过点P所作的圆C的两条切线相互垂直，.又点P在直线上，圆心C到直线的距离，解得.故选AB.
4．答案：ABD
解析：由题意得圆心坐标为，在直线上，A正确.令，化简得.，无实数根，B正确.化简，得.，方程有两个不等实根，经过点的圆有两个，C错误.由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确.故选ABD.
5．答案：AB
解析：四边形的面积为，，得.记四边形内切圆半径为r，则，得.又，.又，结合，可得或双曲线C的方程为或.故选AB.
6．答案：AD
解析：A项，设直线l的倾斜角为，则为锐角且，所以，故A项正确；
B项，若，又，所以，在中，由余弦定理，得，
整理，得，即，解得或(舍去)，故B项错误；
C项，若，又，所以，在中，由余弦定理，，
整理，得，即，解得或-1(舍去)，故C项错误；
D项，不是正三角形，故D项正确.
7．答案：ACD
解析：对于A，如图，由题意，得，所以.又，所以，将其代入抛物线方程，得，所以直线AF的斜率等于，即知直线AB的斜率为，故A正确；
对于B，由对选项A的分析，知直线AB的方程为，代入，得，解得或，所以，所以，即点B坐标为，故，故B不正确；
对于C，由抛物线的定义及对选项A，B的分析，得，故C正确；
对于D，易知，，，，则.所以，同理可得，于是，故D正确.
综上所述，选ACD.
8．答案：BC
解析：由倾斜角的概念及题图可得，，，
所以，且，，，
所以，故选BC.
9．答案：AC
解析：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径.
对于A，圆心距，所以圆与圆外离，没有公共点，A中结论正确；
对于B，的最小值为，最大值为，故MN的取值范围是，B中结论错误；
对于C，连接，与圆交于点N(外侧交点)，过N作圆的切线，切点为P，此时NP最长，在中，，C中结论正确；
对于D，直线l的方程化为，圆心到直线l的距离为，解得，圆心到直线l的距离为，解得，所以直线l与圆，都有公共点时，，D中结论错误.故选AC.
10．答案：BC
解析：双曲线的渐近线方程为，离心率为，
则，则，，
故渐近线方程为，
取MN的中点P，连接AP，利用点到直线的距离公式可得，
则，
所以，则，
故选BC.2024届江西省南昌市江西师范大学附属中学高考数学冲刺试卷（五）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若在定义域R上为减函数，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
2．设函数为奇函数，则实数( )
A.-1 B.1 C.0 D.-2
3．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是( )
A. B. C. D.
4．已知.设,则( )
A. B. C. D.
5．若函数则函数的零点个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6．一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为(，，)，，该函数也可以简化为(，，)的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1m，经过一年，该果树的高为2.5m，则该果树的高度超过8m，至少需要( )
A.4年 B.3年 C.5年 D.2年
7．生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来做出判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y（单位：mg）与时间t（单位：年）近似满足数学函数关系式，其中为抗生素的残留系数.经测试发现，当时，，则抗生素的残留系数的值约为（）( )
A.10 B. C.100 D.
二、多项选择题
8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.下列命题正确的是( )
A.当时，
B.函数有5个零点
C.若关于x的方程有解，则实数m的范围是
D.对，，恒成立
9．已知，下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10．函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定( )
A.有最小值 B.没有最大值 C.单调递减 D.单调递增
三、填空题
11．已知函数，若，则___________.
12．已知函数其中.若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则m的取值范围是____________.
四、双空题
13．已知函数则___________；若，则实数a的取值范围是___________.
五、解答题
14．已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）判断在上的单调性并用定义证明.
15．已知定义域为R的单调函数是奇函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为在R上为减函数，
所以时，单调递减，即①；
时，单调递减，即②；
且③.联立①②③，得.
2．答案：A
解析：根据题意，函数为奇函数，则有，即，变形可得，则有.
3．答案：D
解析：因为是偶函数,所以的图象关于y轴对称,所以的图象关于直线对称.又在上单调递减,所以在上单调递增,因为,所以,所以由可得,或,解得.故选D.
4．答案：A
解析：因为,所以,所以,即.因为,所以,所以,即.又,所以,所以,所以,所以,而,所以,所以,所以,所以.
5．答案：B
解析：首先画出函数的图像，如图所示.
令，设，则，由图像可知或，解得，.结合图像可知，和共4个解，故选B.
6．答案：A
解析：由题可得则解得，，所以，由函数解析式可知，在上单调递增，且，，故该果树的高度超过8m，至少需要4年.故选A.
7．答案：B
解析：本题考查指数函数模型的应用.当时，，则，则，则，即，故.故选B.
8．答案：AD
解析：本题考查函数的基本性质、函数的解析式、函数的零点，由于函数是定义在R上的奇函数，则当时，，，故A正确；由于函数是定义在R上的奇函数，则；当时，由，可得；结合奇函数的图象性质可知还有一个零点为，则函数有3个零点，故B错误；当时，由，得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，此时；由的图象知若方程有解，则，故C错误；由C项可知，当时，；而当时，，则，则对，，恒成立，故D正确，故选AD.
9．答案：AC
解析：本题考查对数的运算、指数函数、对数函数的单调性.因为，，所以，故A正确；因为，所以，故B错误；因为，，所以，故C正确；因为，，所以，故D错误，故选AC.
10．答案：BD
解析：因为函数在区间上有最小值，所以对称轴.，若，则在上单调递增，无最值；若在上单调递增，则在上单调递增，没有最值.综上，在上单调递增.故选BD.
11．答案：6
解析：因为当时，，，所以，所以，所以.
12．答案：
解析：的大致图像如图所示，
若存在，使得关于x的方程有三个不同的根，则，又，所以.
13．答案：-2，
解析：.
当时，，当时，，
综上所述，实数a的取值范围是.
14．答案：（1）
（2）在上是增函数，证明见解析
解析：（1），，.
（2）在上是增函数，证明如下：
任取，且，
则
，
，，，
，即，
在上是增函数.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)定义域为R的函数是奇函数，.
当时，，.
又函数是奇函数，，
.
综上所述
(2)，且为R上的单调函数，
在R上单调递减.
由得.
又是奇函数，.
又是减函数，，
即对任意恒成立，
，解得，即实数k的取值范围为.2024届江西省南昌市江西师范大学附属中学高考数学冲刺试卷（一）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于P，Q两点，，且，则与面积的比值为( )
A. B. C. D.
2．已知F是椭圆的右焦点，P为椭圆C上一点，为椭圆外一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
3．已知椭圆上有一点P，，是椭圆的左、右焦点.若为直角三角形，则这样的点P有( )
A.3个 B.4个 C.6个 D.8个
4．如图，圆O与椭圆相切，已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，线段与圆O相切于点Q，且点Q为线段的中点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M，N.若直线是圆的切线，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6．椭圆与椭圆的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
7．已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．已知F是双曲线(，)的右焦点，点，连接AF与渐近线交于点M，，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
9．双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为( )
A.3 B. C. D.5
10．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接，，在中，，，则双曲线C的离心率为( )
A.3 B. C. D.2
参考答案
1．答案：D
解析：设；则，由椭圆的定义可得，，则.由，得，即，解得.由，得，则与面积的比值为，故选D.
2．答案：D
解析：点F为椭圆的右焦点，，点P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为，点A在椭圆外，设椭圆C的左焦点为，，，当点P为射线与椭圆的交点时等号成立，，则的最大值为.故选D.
3．答案：C
解析：当为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当为直角时，这样的点P有2个；当点P为椭圆的短轴端点时，最大，且为直角，此时这样的点P有2个.故符合要求的点P有6个.
4．答案：A
解析：由题可令a为椭圆的长半轴长，b为短半轴长，如图，连接，.因为线段与圆相切于点Q，所以.又因为O为线段的中点，点Q为线段的中点，所以，且，所以，所以，整理得，所以，所以离心率，故选A.
5．答案：A
解析：因为过点的直线是圆的切线，，，所以.由椭圆定义可得，可得椭圆离心率.
6．答案：D
解析：由椭圆可得.
由椭圆可得，显然D正确；
又，均不一定成立，故A，B错误；
由可得C错误.故选D.
7．答案：C
解析：，，点M在以为直径的圆上.又点M在椭圆的内部，，，即，，即.又椭圆的离心率，.
8．答案：A
解析：由已知得，，，，，，（舍负），故选A.
9．答案：A
解析：双曲线的一条有近线方程为，可得，
.
故选：A.
10．答案：D
解析：设，则，，
则，，解得，从而.
在中，，
即，解得，故选D.
