高中数学人教新课标A版 选修2-2 3.2复数代数形式的四则运算
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅲ·理）复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·新课标Ⅱ·文）（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4 C．–4i D．4i
3．（2020·新课标Ⅰ·文）若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
4．（2020·新课标Ⅰ·理）若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
5．（2020·新高考Ⅰ） （ ）
A．1 B． 1 C．i D． i
6．（2020高二下·哈尔滨期末）已知复数 （i为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2020高二下·广州期末）复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二下·上饶期末）复数 （其中i为虚数单位）的虚部为（ ）
A．-1 B．4 C．2 D．
9．（2020高二下·呼和浩特期末）若复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2020高二下·新余期末）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
11．（2020高二下·洛阳期末）已知a是实数， 是实数，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．
12．（2020·芜湖模拟）设复数z满足 ，则 最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
二、多选题
13．（2020高一下·胶州期中）已知复数 满足 ， ，则实数 的值可能是（ ）
A．1 B．-4 C．0 D．5
14．（2020高一下·邹城期中）已知集合 ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
15．（2020高二下·北京期末）已知复数 ，则 .
16．（2020高一下·和平期中）计算 .
17．（2020·奉贤模拟）设 （ 为虚数单位），若 ，则实数
18．（2020高二下·通州期末）欧拉公式 （其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，当 时， ，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，根据欧拉公式，若将 所表示的复数记为 ，那么 .
四、解答题
19．（2020高二下·郑州期末）已知复数 满足 （ 是虚数单位）.
求：
（1）
（2） .
20．（2020高一下·淄博期中）计算:
（1） ;
（2） .
21．（2020高一下·深圳月考）若复数 满足 （ 为虚数单位），复数 的虚部为2，且 是实数，求 ．
22．（2020高二下·通州期末）已知复数 是虚数单位）.
（1）求 ；
（2）如图，复数 ， 在复平面上的对应点分别是A，B，求 .
23．（2019高二下·宁德期末）设复数 ，复数 ．
（Ⅰ）若 ，求实数 的值.
（Ⅱ）若 ，求实数 的值.
24．（2019高二下·福州期中）已知复数 （ 为虚数单位）
（1）若 ，求复数 的共轭复数；
（2）若 是关于 的方程 一个虚根，求实数 的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，
所以复数 的虚部为 .
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：A.
【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
3．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
故答案为：C．
【分析】先根据 将 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
4．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意可得： ，则 .
故 .
故答案为：D.
【分析】由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
5．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据复数除法法则进行计算.
6．【答案】D
【知识点】复数的模
【解析】【解答】 , 所以 .
故答案为：D
【分析】利用复数的求模运算、共轭复数的定义得出答案.
7．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ,
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z的代数表达式。
8．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为 ，
所以复数 的虚部为2.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算法则化简复数z，再求得复数z的虚部即可.
9．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解： 复数 满足
，
.
故答案为：C.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.
10．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：B
【分析】先利用复数的除法，将 化简为 ，再利用模的公式求解.
11．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： 是实数，
，即 ．
．
故答案为：A．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得 值，代入 得答案．
12．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】设 ， ，
， 即 ，
点 在圆 上，
又该圆的圆心为 ，半径为 ，
该圆上所有点到原点的距离最大值为 ，即 ，
.
故答案为：C.
【分析】设 ， ，由题意可得 ，即点 在圆 上，找到圆上的点到原点的距离最大值即可得解.
13．【答案】A,B,C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴实数 的值可能是 .
故答案为：ABC.
【分析】设 ，从而有 ，利用消元法得到关于 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案.
14．【答案】B,C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】根据题意， 中，
时， ；
时，
； 时， ；
时， ，
.
A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：BC.
【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
15．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 ， .
故答案为： .
【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可求得 .
16．【答案】1+3i
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，
故答案为：
【分析】由复数的除法和乘法化简 ， ，再求 即可.
17．【答案】±180
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由 和 得
，
所以 ，
，解得 ，
故答案为：
【分析】直接代入化简求解.
18．【答案】1
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：由题意， ，
.
故答案为：1.
【分析】由已知可得 ，再由复数模的计算公式求解.
19．【答案】（1）解：由题 .即
（2）解：由(1) ，故 ，故 .
即
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】(1)易得 ，再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得 再计算 求模长即可.
20．【答案】（1）解：
（2）解：
.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算 ，再计算 得到答案.（2）化简得到 ，再计算得到答案.
21．【答案】解：由已知， ，
设 ，则 ，
因 是实数，所以 ，即 ，所以 .
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】先利用复数的除法运算得到 ，再设 ，利用 是实数得到a.
22．【答案】（1）解： ，
（2）解： ， ，
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）把 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得 ， ，代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
23．【答案】解：（Ⅰ） = = =
因为 ，所以， ， ；
（Ⅱ）解法1： ，所以 ，因此， ；
解法2： ，则 ，
所以 。
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据复数的加法和乘法运算，求出，结合实数的虚部为0，解方程，即可求出实数a的值；
（2）根据复数的除法，求出，结合两复数相等则实部与实部相等，虚部与虚部相等，解方程组，即可求出a和b的值.
24．【答案】（1）解：因为复数 ，
所以 ，即
所以
（2）解：因为复数 是关于 的方程 一个虚根，
所以
整理得
解
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据复数的四则运算，求出 ，即可得到共轭复数；
（2）根据复数z是方程的一个虚根，代入即可求出实数m的值.
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-2 3.2复数代数形式的四则运算
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅲ·理）复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，
所以复数 的虚部为 .
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.
2．（2020·新课标Ⅱ·文）（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4 C．–4i D．4i
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：A.
【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
3．（2020·新课标Ⅰ·文）若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
故答案为：C．
【分析】先根据 将 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
4．（2020·新课标Ⅰ·理）若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意可得： ，则 .
故 .
故答案为：D.
【分析】由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
5．（2020·新高考Ⅰ） （ ）
A．1 B． 1 C．i D． i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据复数除法法则进行计算.
6．（2020高二下·哈尔滨期末）已知复数 （i为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的模
【解析】【解答】 , 所以 .
故答案为：D
【分析】利用复数的求模运算、共轭复数的定义得出答案.
7．（2020高二下·广州期末）复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ,
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z的代数表达式。
8．（2020高二下·上饶期末）复数 （其中i为虚数单位）的虚部为（ ）
A．-1 B．4 C．2 D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为 ，
所以复数 的虚部为2.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算法则化简复数z，再求得复数z的虚部即可.
9．（2020高二下·呼和浩特期末）若复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解： 复数 满足
，
.
故答案为：C.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.
10．（2020高二下·新余期末）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：B
【分析】先利用复数的除法，将 化简为 ，再利用模的公式求解.
11．（2020高二下·洛阳期末）已知a是实数， 是实数，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： 是实数，
，即 ．
．
故答案为：A．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得 值，代入 得答案．
12．（2020·芜湖模拟）设复数z满足 ，则 最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】设 ， ，
， 即 ，
点 在圆 上，
又该圆的圆心为 ，半径为 ，
该圆上所有点到原点的距离最大值为 ，即 ，
.
故答案为：C.
【分析】设 ， ，由题意可得 ，即点 在圆 上，找到圆上的点到原点的距离最大值即可得解.
二、多选题
13．（2020高一下·胶州期中）已知复数 满足 ， ，则实数 的值可能是（ ）
A．1 B．-4 C．0 D．5
【答案】A,B,C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴实数 的值可能是 .
故答案为：ABC.
【分析】设 ，从而有 ，利用消元法得到关于 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案.
14．（2020高一下·邹城期中）已知集合 ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】根据题意， 中，
时， ；
时，
； 时， ；
时， ，
.
A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：BC.
【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
三、填空题
15．（2020高二下·北京期末）已知复数 ，则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 ， .
故答案为： .
【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可求得 .
16．（2020高一下·和平期中）计算 .
【答案】1+3i
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，
故答案为：
【分析】由复数的除法和乘法化简 ， ，再求 即可.
17．（2020·奉贤模拟）设 （ 为虚数单位），若 ，则实数
【答案】±180
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由 和 得
，
所以 ，
，解得 ，
故答案为：
【分析】直接代入化简求解.
18．（2020高二下·通州期末）欧拉公式 （其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，当 时， ，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，根据欧拉公式，若将 所表示的复数记为 ，那么 .
【答案】1
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：由题意， ，
.
故答案为：1.
【分析】由已知可得 ，再由复数模的计算公式求解.
四、解答题
19．（2020高二下·郑州期末）已知复数 满足 （ 是虚数单位）.
求：
（1）
（2） .
【答案】（1）解：由题 .即
（2）解：由(1) ，故 ，故 .
即
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】(1)易得 ，再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得 再计算 求模长即可.
20．（2020高一下·淄博期中）计算:
（1） ;
（2） .
【答案】（1）解：
（2）解：
.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算 ，再计算 得到答案.（2）化简得到 ，再计算得到答案.
21．（2020高一下·深圳月考）若复数 满足 （ 为虚数单位），复数 的虚部为2，且 是实数，求 ．
【答案】解：由已知， ，
设 ，则 ，
因 是实数，所以 ，即 ，所以 .
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】先利用复数的除法运算得到 ，再设 ，利用 是实数得到a.
22．（2020高二下·通州期末）已知复数 是虚数单位）.
（1）求 ；
（2）如图，复数 ， 在复平面上的对应点分别是A，B，求 .
【答案】（1）解： ，
（2）解： ， ，
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）把 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得 ， ，代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
23．（2019高二下·宁德期末）设复数 ，复数 ．
（Ⅰ）若 ，求实数 的值.
（Ⅱ）若 ，求实数 的值.
【答案】解：（Ⅰ） = = =
因为 ，所以， ， ；
（Ⅱ）解法1： ，所以 ，因此， ；
解法2： ，则 ，
所以 。
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据复数的加法和乘法运算，求出，结合实数的虚部为0，解方程，即可求出实数a的值；
（2）根据复数的除法，求出，结合两复数相等则实部与实部相等，虚部与虚部相等，解方程组，即可求出a和b的值.
24．（2019高二下·福州期中）已知复数 （ 为虚数单位）
（1）若 ，求复数 的共轭复数；
（2）若 是关于 的方程 一个虚根，求实数 的值．
【答案】（1）解：因为复数 ，
所以 ，即
所以
（2）解：因为复数 是关于 的方程 一个虚根，
所以
整理得
解
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据复数的四则运算，求出 ，即可得到共轭复数；
（2）根据复数z是方程的一个虚根，代入即可求出实数m的值.
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