高中数学人教版（2019）必修二第七章 复数单元测试
一、单选题
1．（2020高二上·宁波期末）若复数z满足 ，则z的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．6
2．（2020高二上·定远期末）复数 （ ）
A． B． C． D．
3．（2020高二上·浙江期末）已知 ，若有 （ 为虚数单位），则 （ ）
A．1 B．-2 C．±2 D．±1
4．（2020高三上·拉孜月考）复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2020高二上·常德期末）若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
6．（2020高二上·湖北期末）已知i为虚数单位，且复数 ，则复数z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高三上·菏泽期末） 是虚数单位，若 ，则 的值是（ ）
A．-15 B．-3 C．3 D．15
8．（2020高三上·景德镇期末）已知复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
二、多选题
9．（2020高一下·滕州月考）已知集合 ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·八省联考）设 为复数， ．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．（2020高三上·福州期中）已知复数 满足 为虚数单位 ，复数 的共轭复数为 ，则（ ）
A．
B．
C．复数 的实部为-1
D．复数 对应复平面上的点在第二象限
12．（2020高三上·郧县月考）已知复数 （其中 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）
A．复数 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B． 可能为实数
C．
D． 的虚部为
三、填空题
13．（2020高三上·河西期末）设 ，若 是实数，则 ．
14．（2020高二上·上海期末）若复数 ， 满足 ， ，则 的值是 .
15．（2020高二上·宁波期末）复数 ，则 ， ．
16．（2020高三上·温州期末）已知复数z满足 ，则z的虚部是 ， ．
四、解答题
17．（2019高二下·玉林期末）设复数 ，求实数 为何值时？
（1） 是实数；
（2） 对应的点位于复平面的第二象限.
18．（2020高二下·通州期末）已知复数 是虚数单位）.
（1）求 ；
（2）如图，复数 ， 在复平面上的对应点分别是A，B，求 .
19．（2020高三上·奉贤期中）已知虚数 满足
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值.
20．（2020高二下·嘉定期末）已知复数 ， ， .
（1）若 ，求实数m的取值范围；
（2）若 是关于 的方程 的一个根，求实数m与n的值.
21．（2020高三上·上海月考）已知复数
（1）若 ，求角 ；
（2）复数 对应的向量分别是 ，其中 为坐标原点，求 的取值范围.
22．（2020高二下·重庆期末）
（1）已知 ，解关于z的方程 ；
（2）已知 是关于x的方程 在复数集内的一个根，求实数a，b的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】 ，则z的虚部是 。
故答案为：D。
【分析】利用向量的加减法运算法则，从而求出复数z，进而求出复数z的虚部。
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】对复数进行化简，运算得到结果。
3．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为
所以 ，
即 ，
解得 ，
故答案为：C
【分析】根据复数模的定义直接计算即可。
4．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
因此，复数 在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数z的几何意义求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标的位置确定复数 在复平面内对应的点位于的象限。
5．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
∴ 。
故答案为：C。
【分析】利用复数的混合运算法则求出复数，再利用复数求模公式，进而求出复数的模。
6．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ，则 ，
因此复数z的共轭复数为 。
故答案为：D.
【分析】利用复数的模求解公式结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。
7．【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
∴ ， 。
故答案为：C．
【分析】利用复数的乘除法运算法则结合复数相等的等价关系，进而求出a,b的值，从而求出ab的值。
8．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】 ，因为 为纯虚数且 为实数，
故 ，故 ，
故答案为：D
【分析】由题意利用纯虚数的定义，求得m的值。
9．【答案】B,C
【知识点】元素与集合的关系；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据题意， 中，
时， ；
时，
； 时， ；
时， ，
.
选项A中， ；
选项B中， ；
选项C中， ；
选项D中， .
故选：BC.
【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
10．【答案】B,C
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】由复数模的概念可知， 不能得到 ，例如 ，A不符合题意；
由 可得 ，因为 ，所以 ，即 ，B符合题意；
因为 ， ，而 ，所以 ，所以 ，C符合题意；
取 ，显然满足 ，但 ，D不符合题意.
故答案为：BC。
【分析】利用已知条件结合复数相等和复数的模相等的判断方法，从而结合复数乘法运算法则，从而结合已知条件找出正确的命题选项。
11．【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为复数 满足 ，
所以
所以 ，故A错误；
，故B正确；
复数 的实部为 ，故C错误；
复数 对应复平面上的点 在第二象限，故D正确.
故答案为：BD
【分析】因为复数 满足 ，利用复数的除法运算化简为 ，再逐项验证判断.
12．【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】对于AB选项，当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第四象限；
当 时， ；
当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第一象限.
A选项错误，B选项正确；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，
所以，复数 的虚部为 ，D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】利用复数的几何意义结合点的坐标在各象限的符号、复数为实数的判断方法、复数的模求解公式、复数的乘除法运算法则结合复数的定义，从而找出说法正确的选项。
13．【答案】2
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】
，
是实数，
，得 ，故答案为2。
【分析】利用复数的混合运算法则结合复数为实数的判断方法，从而求出a的值。
14．【答案】
【知识点】向量的模；复数的模
【解析】【解答】设复数所对应的向量分别为 ，
因为复数 ， 满足 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
解得
所以 的值是 .
故答案为：
【分析】根据题意把复数和向量结合起来，进而得到，，再由向量的数量积运算公式即可得出，然后由向量模的运算性质整理即可得到即的值。
15．【答案】；
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 ， ，
。
故答案为： ； 。
【分析】利用已知条件结合复数求模公式，进而求出复数的模；再利用复数的乘除法运算法则，进而求出复数。
16．【答案】-2；
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】 ，
，
z的虚部是 ， .
故答案为：-2； .
【分析】首先由复数的运算性质整理化简得出复数z再由复数的定义即可得出答案。
17．【答案】（1）解： （舍去 ）.
（2）解：
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）由已知利用对数的真数大于零且虚部等于零列式，即可得结果；
（2）由已知 对应的点位于复平面的第二象限，满足实部小于零即“真数大于零且小于 ”，同时虚部大于零，列出不等式组即可求得实数 的取值范围.
18．【答案】（1）解： ，
（2）解： ， ，
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）把 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得 ， ，代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
19．【答案】（1）解：依题意
，
所以 ，所以 .
（2）解：依题意 ，
即
，
所以 .
由 得 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用 求得 ，由此求得 .（2）结合 求得 ，由此求得 .
20．【答案】（1）解：由题意，复数 ， ， .
则
又由
因为 ，所以 ，即
解得 .
所以实数m的取值范围为 .
（2）解：因为 是方程 的一个根，
则 也是此方程的一个根，
可得 ，解得 或 ，且满足 ，
所以 或 .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）根据题意，结合复数的运算和模的计算公式，得到 ，即可求解实数m的取值范围；（2）由 是方程 的一个根，得到 也是此方程的一个根，结合根据与系数的关系，即可求解.
21．【答案】（1）解：由 ，
可得
，
由 ，可得： ，
所以 ，所以 或 ；
（2）解：由题意可得 ，
由 ，所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数乘法运算法则，进而求出复数，再利用复数为实数的判断方法结合 ， 从而结合二倍角的正弦公式求出角的值。
（2）利用复数的几何意义求出复数 分别对应的向量 的坐标，再利用复数的乘法运算法则结合辅助角公式，将 转化为正弦型函数，再利用 ， 结合换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的值域，进而求出 的取值范围。
22．【答案】（1）解：设 ，则 ，即
∴ ，解得 ，或 ∴ 或 ；
（2）解：由题知方程在复数集内另一根为 ，故 ，
即 .
【知识点】相等向量与相反向量；复数的基本概念
【解析】【分析】（1）设 ，代入 ，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得 的值，由此求得 .（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得 的值.
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一、单选题
1．（2020高二上·宁波期末）若复数z满足 ，则z的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．6
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】 ，则z的虚部是 。
故答案为：D。
【分析】利用向量的加减法运算法则，从而求出复数z，进而求出复数z的虚部。
2．（2020高二上·定远期末）复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】对复数进行化简，运算得到结果。
3．（2020高二上·浙江期末）已知 ，若有 （ 为虚数单位），则 （ ）
A．1 B．-2 C．±2 D．±1
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为
所以 ，
即 ，
解得 ，
故答案为：C
【分析】根据复数模的定义直接计算即可。
4．（2020高三上·拉孜月考）复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
因此，复数 在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数z的几何意义求出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标的位置确定复数 在复平面内对应的点位于的象限。
5．（2020高二上·常德期末）若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
∴ 。
故答案为：C。
【分析】利用复数的混合运算法则求出复数，再利用复数求模公式，进而求出复数的模。
6．（2020高二上·湖北期末）已知i为虚数单位，且复数 ，则复数z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ，则 ，
因此复数z的共轭复数为 。
故答案为：D.
【分析】利用复数的模求解公式结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。
7．（2020高三上·菏泽期末） 是虚数单位，若 ，则 的值是（ ）
A．-15 B．-3 C．3 D．15
【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
∴ ， 。
故答案为：C．
【分析】利用复数的乘除法运算法则结合复数相等的等价关系，进而求出a,b的值，从而求出ab的值。
8．（2020高三上·景德镇期末）已知复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】 ，因为 为纯虚数且 为实数，
故 ，故 ，
故答案为：D
【分析】由题意利用纯虚数的定义，求得m的值。
二、多选题
9．（2020高一下·滕州月考）已知集合 ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】元素与集合的关系；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据题意， 中，
时， ；
时，
； 时， ；
时， ，
.
选项A中， ；
选项B中， ；
选项C中， ；
选项D中， .
故选：BC.
【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
10．（2021·八省联考）设 为复数， ．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B,C
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】由复数模的概念可知， 不能得到 ，例如 ，A不符合题意；
由 可得 ，因为 ，所以 ，即 ，B符合题意；
因为 ， ，而 ，所以 ，所以 ，C符合题意；
取 ，显然满足 ，但 ，D不符合题意.
故答案为：BC。
【分析】利用已知条件结合复数相等和复数的模相等的判断方法，从而结合复数乘法运算法则，从而结合已知条件找出正确的命题选项。
11．（2020高三上·福州期中）已知复数 满足 为虚数单位 ，复数 的共轭复数为 ，则（ ）
A．
B．
C．复数 的实部为-1
D．复数 对应复平面上的点在第二象限
【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为复数 满足 ，
所以
所以 ，故A错误；
，故B正确；
复数 的实部为 ，故C错误；
复数 对应复平面上的点 在第二象限，故D正确.
故答案为：BD
【分析】因为复数 满足 ，利用复数的除法运算化简为 ，再逐项验证判断.
12．（2020高三上·郧县月考）已知复数 （其中 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）
A．复数 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B． 可能为实数
C．
D． 的虚部为
【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】对于AB选项，当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第四象限；
当 时， ；
当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第一象限.
A选项错误，B选项正确；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，
所以，复数 的虚部为 ，D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】利用复数的几何意义结合点的坐标在各象限的符号、复数为实数的判断方法、复数的模求解公式、复数的乘除法运算法则结合复数的定义，从而找出说法正确的选项。
三、填空题
13．（2020高三上·河西期末）设 ，若 是实数，则 ．
【答案】2
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】
，
是实数，
，得 ，故答案为2。
【分析】利用复数的混合运算法则结合复数为实数的判断方法，从而求出a的值。
14．（2020高二上·上海期末）若复数 ， 满足 ， ，则 的值是 .
【答案】
【知识点】向量的模；复数的模
【解析】【解答】设复数所对应的向量分别为 ，
因为复数 ， 满足 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
解得
所以 的值是 .
故答案为：
【分析】根据题意把复数和向量结合起来，进而得到，，再由向量的数量积运算公式即可得出，然后由向量模的运算性质整理即可得到即的值。
15．（2020高二上·宁波期末）复数 ，则 ， ．
【答案】；
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 ， ，
。
故答案为： ； 。
【分析】利用已知条件结合复数求模公式，进而求出复数的模；再利用复数的乘除法运算法则，进而求出复数。
16．（2020高三上·温州期末）已知复数z满足 ，则z的虚部是 ， ．
【答案】-2；
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】 ，
，
z的虚部是 ， .
故答案为：-2； .
【分析】首先由复数的运算性质整理化简得出复数z再由复数的定义即可得出答案。
四、解答题
17．（2019高二下·玉林期末）设复数 ，求实数 为何值时？
（1） 是实数；
（2） 对应的点位于复平面的第二象限.
【答案】（1）解： （舍去 ）.
（2）解：
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）由已知利用对数的真数大于零且虚部等于零列式，即可得结果；
（2）由已知 对应的点位于复平面的第二象限，满足实部小于零即“真数大于零且小于 ”，同时虚部大于零，列出不等式组即可求得实数 的取值范围.
18．（2020高二下·通州期末）已知复数 是虚数单位）.
（1）求 ；
（2）如图，复数 ， 在复平面上的对应点分别是A，B，求 .
【答案】（1）解： ，
（2）解： ， ，
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）把 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得 ， ，代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
19．（2020高三上·奉贤期中）已知虚数 满足
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）解：依题意
，
所以 ，所以 .
（2）解：依题意 ，
即
，
所以 .
由 得 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用 求得 ，由此求得 .（2）结合 求得 ，由此求得 .
20．（2020高二下·嘉定期末）已知复数 ， ， .
（1）若 ，求实数m的取值范围；
（2）若 是关于 的方程 的一个根，求实数m与n的值.
【答案】（1）解：由题意，复数 ， ， .
则
又由
因为 ，所以 ，即
解得 .
所以实数m的取值范围为 .
（2）解：因为 是方程 的一个根，
则 也是此方程的一个根，
可得 ，解得 或 ，且满足 ，
所以 或 .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）根据题意，结合复数的运算和模的计算公式，得到 ，即可求解实数m的取值范围；（2）由 是方程 的一个根，得到 也是此方程的一个根，结合根据与系数的关系，即可求解.
21．（2020高三上·上海月考）已知复数
（1）若 ，求角 ；
（2）复数 对应的向量分别是 ，其中 为坐标原点，求 的取值范围.
【答案】（1）解：由 ，
可得
，
由 ，可得： ，
所以 ，所以 或 ；
（2）解：由题意可得 ，
由 ，所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数乘法运算法则，进而求出复数，再利用复数为实数的判断方法结合 ， 从而结合二倍角的正弦公式求出角的值。
（2）利用复数的几何意义求出复数 分别对应的向量 的坐标，再利用复数的乘法运算法则结合辅助角公式，将 转化为正弦型函数，再利用 ， 结合换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的值域，进而求出 的取值范围。
22．（2020高二下·重庆期末）
（1）已知 ，解关于z的方程 ；
（2）已知 是关于x的方程 在复数集内的一个根，求实数a，b的值.
【答案】（1）解：设 ，则 ，即
∴ ，解得 ，或 ∴ 或 ；
（2）解：由题知方程在复数集内另一根为 ，故 ，
即 .
【知识点】相等向量与相反向量；复数的基本概念
【解析】【分析】（1）设 ，代入 ，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得 的值，由此求得 .（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得 的值.
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