2023学年第一学期期末学业水平测试
高三数学试题卷
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟：
2。.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、座位号及准考证号并填涂相应数字：
3。所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效：
4。考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
已知集合A=1x-2x-3≤0，B=≤，则An
A.[1,3]
B.1,3]
C.[-1,]
D.[-1,1)
2.已知复数z满足z=-zi（i为虚数单位)，且1z=√5，则z2=
A.2i
B.-2i
C.√2+2i
D.√2-√2i
3.已知随机变量X,X,分别满足二项分布X~4宁，X,~孕，则“%>%”是
“D(X)>D(X2)”的
A.充分不必要条件
B。必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若0
2
x1-2x
A.3+2W5
B.6
C.4w2
D.9
5.冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单
的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次(1个变为2个)需要23分钟，
那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：1g2≈0.3）
A.3小时
B.4小时
C.5小时
D.6小时
6.已知定义在R上的函数f(x)满足sinx f(x)+cosxf'(x)>0,则
A.孕<5f②
B.f②c.f孕>5rg
D.f②>5f9
7.
己知数列{a},他}满足41==1，a1=an+b。，b1=a。-b.，则a。=
A.2-1
B.2分
C.2
D.2业
8.己知四面体ABCD,△ABC是边长为6的正三角形，DA=DB=23,二面角D-AB-C
的大小为号，则四面体ABCD的外接球的表面积为
A.40x
B.52π
C.72π
D.84π
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知平面向量a=(5,),b=(:,-3),则下列命题正确的是
A.若a∥b,则x=-3√5
B.若aLb,则x=√5
C.若1a+b归√万，则x=0
D.若各，则x=-5
10.已知四棱柱BCD-4CA的底面ABCD为菱形且∠DMB=号，44=94B,
∠AAB=∠AAD,O为AC的中点，P为线段AB上的动点，则下列命题正确的是
A。{可A,BD,AB}可作为一组空间向量的基底
B.{OA,OD,AB}可作为一组空间向量的基底
C.直线OP∥平面C,BD
D.向量CP在平面ABD上的投彩向量为OP
1.已知函数f心)=cos2r,8)=sin(2x+孕，则
A。将函数)y=)的图象右移号个单位可得到函数y=8)的图象
B.将函数y=了x)的图象右移”个单位可得到函数y=g()的图象
C.函数y=∫)与y=g)的图象关于直线x=死对称
24
D.函数y=)与y=8的图象关于点（牙0对称
12.己知数据名<2<5均数大，记x,x2,,x的平均数与方差为元，2，记x,,x6,x,的平均数与方差为，s子，
则
A.+2>2x
B.+x2<2x
c.听->2--含川D矿-擅--2门2023学年第一学期期末学业水平测试
高三数学参考答案
选择题部分 (共 60分)
一、选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．D 2．B 3．C 4．A
5．C 6．B 7．D 8．B
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．ABD 10．BCD 11．ACD 12．AC
非选择题部分 (共 90分)
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．0 14．7 15．310 16 6．
2
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分 10分）
1
（Ⅰ）由 absinC 4 7 得 sinC 7 ， …………2分
2 4
由角C为锐角得 cosC 3 ，故 c2 a2 b2 2ab cosC 32，解得 c 4 2 ． …………6分
4
（Ⅱ）由 2(CD2 AD2 ) a2 b2 解得CD 4 2 ． …………8分
BD2 DC 2 a2
故 cos 3 BDC ． …………10分
2BD DC 4
18．（本题满分 12分）
S S S 2a 2 3a 6
（Ⅰ）由 2 2 1 3 得 2 1 1 1 ，解得 a1 2． …………4分a2 a1 a3 a1 2 a1 4
故 an 2n． …………6分
（Ⅱ）由（1）得 Sn n
2 n， …………8分
故 S 4n 2nn ， …………10分2
4n 1 10
故数列{S }的前 n项和为 2n 1 ． …………12分
2n 3 3
19．（本题满分 12分）
（Ⅰ）证明：由 BA AC， BA AA1得 BA 平面ACC1A1，故 BA A1C ， …………2分
由CD 1,AC 2,AA1 4且四边形 ACC1A1为矩形得 AD A1C ，故 A1C 平面BDA，…………4分
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所以平面BDA 平面ECA1． …………5分
（Ⅱ）以 A为原点， AB, AC, AA1为 x, y, z轴建立空间直角坐标系， …………6分
点 A1(0,0,4) ， B(2,0,0)， B(2,0,4)，C(0,2,0)， D(0,2,1)，设点 E(2,0,t)，
由 A1C (0,2, 4)， A1E (2,0,t 4)得平面 ECA1的法向量 n
(4 t, 4,2) ， …………8分
由 A1B1 (2,0,0)得点 B ECA d
| A1B1 n | | 8 2t | 4
1到平面 1的距离 ，| n | (4 t)2 20 7
8
解得 t ， …………10分
3
由 BD ( 2,2,1) n 4， ( ,4,2)得，直线 BD与平面 ECA1所成的角的正弦值为3
| cos BD,n | | B D n | 11 ． …………12分| BD | | n | 21
20．（本题满分 12分）．
（Ⅰ）设直线 PF1与椭圆的另一个交点为Q ，由椭圆的对称性得Q,Q 关于原点对称．
设点 P(x1, y1)，Q (x2 , y2 )．
联立直线 y x 1与椭圆 x2 2y2 2 0 的方程得 3x2 4x 0， …………2分
所以 | PF1 | |QF2 | | PF1 | |Q F1 | 2 | x1 x2 |
4
2 ． …………4分
3
y 1 2 y
（Ⅱ）联立直线 x 1与椭圆 x2 2y2 2 0 得 ( 2 2) y
2 1 0 ， …………6分
k k k
S S S 2 21 2 △F1F S y2P △F1F2Q 1 y2 ≤1 ， …………10分
2k 2
k
2 2
所以当 k 时， S S
2 1 2
取到最大值 ． …………12分
2
21．（本题满分 12分）
（Ⅰ）零假设为 H0 ：元宵节的降水与中秋节的降水无关． …………2分
2 200（ 19 90 41 50）
2 200 3402
0.3 1， …………4分
69 131 60 140 69 131 60 140
因为 2 x0.05 ，所以没有充分证据推断 H0 不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关．
…………6分
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P(A) 140 60（Ⅱ）
C 2
， …………8分
200
P(AB) 19 90 41 50 2 ， …………10分C200
故 P(B | A) P(AB) 47 ． …………12分
P(A) 105
22．（本题满分 12分）
1
（Ⅰ） f (x) ( ln x a)e x，由 f (x) f (x)得 ln x 1 a 0． …………2分
x 2x
令 h(x) ln x 1 a，
2x
因为 h(x)在 (0, )上单调递增，故 h(x)至多一个零点，
1 2 1
又因为 h(e a ) 2 a 2 a 0， h(e ) 2 a a 1 a
2 a 0 ，
2e 2e2 a
2
2
所以 x a0 (e ,e
a 2)使 h(x0 ) 0，故对于 a R ，函数 y f (x)有唯一然点 x0 ． …………4分
a 1 1（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ln x ， g (x) ( ln x a)e x …………6分
2x 00 x
1 1
令G(x) ln x a，因为G(x)在 (0, )上单调递减，且G(x
x 0
) 0，
2x0
a2G(e 2 ) 1 2 2 a
2 2
a2
a 2 a a a 1 0 ，故 t (x0 ,e )使G(t) 0，
e 2
g(x)在 (0, t]上单调递增，在 [t, )上单调递减．因为 g(x0 ) 0，故 g(t) g(x0) 0，………8分
a 1 1 e
x0
将 ln x0 代入，得 g(x) (ln x ln x0 )e
x
2x0 2x0 2x0
ln(1 x 10 )
1 x 1 1
2 1 (e 2)x 2x 1
0 (e 2)x 2x
g(x 10 x )
0 0 e x0 e x0 ( 0 0 )e x00 e 2 x2 10 2 x e (x2 1e e 2 0 )
2 x0
0 e 2
x e0 2(e 2)x 1
( 0 )e x0 0 ， …………10分
2x (ex 0 e0 )
2x0
2 2(e 2)x0
所以 g(x)有 2个零点． …………12分
（注：用极限判断端点正负亦可，不扣分）
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