高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间向量 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：D.
【分析】由空间向量的运算性质结合数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则 （ ）
A．0 B．-2 C．2 D．-3
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如图所示，
棱长为2的正四面体 中，
因为 分别是 的中点，
所以
，故答案为：B．
【分析】根据题意由正四面体的几何性质结合中点以及向量数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。
3．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知向量 ， ， 是一组单位向量，且两两垂直．若 ， ，则 的值为（ ）．
A．7 B．-20 C．28 D．11
【答案】C
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】向量 ， ， 是一组单位向量，且两两垂直，
所以 且 ．
因为 ， ，
所以 ．
故答案为：C．
【分析】由数量积与向量垂直之间的关系结合数量积的运算公式整理即可得出答案。
4．（2020高二上·大连月考）已知棱长为1的正方体 的上底面 的中心为 ，则 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ， ，
则
.
故答案为：C．
【分析】根据空间向量的线性运算，将和用表示，再根据空间向量的数量积的运算可求得解。
5．（2018高二上·黑龙江月考）如图，空间四边形 的每条边和对角线长都等于1，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意可得， ，
∴ 。
故答案为：B.
【分析】由题意结合中点作中位线可得 ，再利用数量积的公式求出数量积 的值。
6．（2020高二上·尚义期中）已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角是（ ）
A．60° B．120° C．30° D．90°
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意得：
，
，
.
设 夹角为 ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则，再结合数量积求向量的模的公式，从而求出向量 的模，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出两向量 与 的夹角 。
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知a、b是异面直线，且 ， ， 分别为直线 ， 上的单位向量，且 ， ， ，则实数 的值为（ ）
A．-6 B．6 C．3 D．-3
【答案】B
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】由题意知 ，
由 得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B
【分析】由向量垂直于数量积之间的关系代入数值计算出结果即可。
8．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知在平行六面体 中， ， ， ， ， ， ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在平行六面体 中，因为 ，所以 ．
所以 ．
故答案为：D.
【分析】根据题意结合平行六边形的几何性质，由向量的运算性质以及数量积的运算性质结合向量模的定义计算出结果即可。
9．（2020高二上·临沂期中）如图，正方体 的棱长为 ，对角线 和 相交于点 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】以 为一组基底，
则A. ，故错误；
B. ，故错误；
C. ，故正确；
D. ，故错误；
故答案为：C
【分析】以 为一组基底，利用空间向量的数量积运算逐项验证即可。
10．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）设 ， 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A,D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
而 运算后是实数， 没有这种运算，B不正确；
，C不正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意由数量积的运算性质以及向量的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
11．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）设 ， ， 是任意的非零空间向量，且两两不共线，则下列结论中正确的有（ ）．
A．
B．
C． 不与 垂直
D．
【答案】B,D
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】根据空间向量数量积的定义及性质，可知 和 是实数，而 与 不共线，故 与 一定不相等，A不符合题意；
因为 ，所以当 ，且 或 时， ，即 与 垂直，C不符合题意；
由向量两两不共线，可得B符合题意；
由运算律可得D符合题意.
故答案为：BD．
【分析】由数量积的定义以及运算性质即可判断出选项A 错误；由向量垂直于数量积之间的关系即可判断出选项C错误；再由已知条件两个向量两两不共线 即可得出选项B正确；结合向量的运算性质即可判断出选项D正确；由此得出答案。
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的值为 ．
【答案】-13
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：-13
【分析】结合向量以及数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
13．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间向量 ， ， ， ， ，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】∵ ，∴ ．
故答案为： .
【分析】由数量积的运算公式代入数值计算出夹角的余弦值，由此求出角的大小。
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间向量 ， ， ， ， ，则使向量 与 的夹角为钝角的实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】因为向量 与 的夹角为钝角，
所以 ，
即 ，
则 ，
解得 ．
故答案为：
【分析】由题意夹角为钝角，结合数量积的运算公式即可得出关于的不等式求解出取值范围即可。
15．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间向量 ， ，设 ， ， 与 垂直， ， ，则 ．
【答案】0°
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】∵ ，∴ ，化简得 ，
又∵ ，
，
，
∴ ，∴ ．
故答案为：0°.
【分析】首先由向量垂直与数量积之间的关系即可得出，再由向量和数量积的运算性质整理即可求出夹角的余弦值，由此得出角的大小。
16．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间中四点 ， ， ， ，若 ，则 ．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】⊥
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】∵ ，∴ ．∴ ．
故答案为：⊥.
【分析】结合数量积的运算性质以及向量垂直与数量积之间的关系即可得出答案。
17．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间向量 ， ， 中两两夹角都是 ，且 ， ， ，则 ．
【答案】10
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ， ， ，且 ，
∴
，
∴ ．
故答案为：10.
【分析】利用向量以及数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
18．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）如图，在 和 中， 是 的中点， ， ， ，若 ，则 与 的夹角的余弦值等于 ．
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】由题意可得 ，
∴ .
由 ，可得
.
∴ ，即 ，
∴ ，故答案为 .
【分析】根据题意由向量和数量积的运算性质计算出，再由数量积的公式代入数值计算出夹角的余弦值由此得出角的大小。
19．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知 ， ， ， ， ，则以 ， 为邻边的平行四边形 的对角线 的长为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，∴ ．
∴ ，即 ．
故答案为：
【分析】由向量和数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
20．（2019高二上·寿光月考）如图，已知平行六面体 中，底面ABCD是边长为1的正方形， ， ．
（1）求线段 的长；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值；
【答案】（1）解：设 ，则 ， ， ，
，
，
线段 的长为 .
（2）解：设异面直线 与 所成的角为 ，则
，
.
.
故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】(1) 设 ，得到 展开得到答案.(2)计算 ， ，利用夹角公式得到答案.
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间向量 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则 （ ）
A．0 B．-2 C．2 D．-3
3．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知向量 ， ， 是一组单位向量，且两两垂直．若 ， ，则 的值为（ ）．
A．7 B．-20 C．28 D．11
4．（2020高二上·大连月考）已知棱长为1的正方体 的上底面 的中心为 ，则 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．（2018高二上·黑龙江月考）如图，空间四边形 的每条边和对角线长都等于1，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，则 （ ）.
A． B． C． D．
6．（2020高二上·尚义期中）已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角是（ ）
A．60° B．120° C．30° D．90°
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知a、b是异面直线，且 ， ， 分别为直线 ， 上的单位向量，且 ， ， ，则实数 的值为（ ）
A．-6 B．6 C．3 D．-3
8．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知在平行六面体 中， ， ， ， ， ， ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2020高二上·临沂期中）如图，正方体 的棱长为 ，对角线 和 相交于点 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
10．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）设 ， 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
11．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）设 ， ， 是任意的非零空间向量，且两两不共线，则下列结论中正确的有（ ）．
A．
B．
C． 不与 垂直
D．
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的值为 ．
13．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间向量 ， ， ， ， ，则 ．
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间向量 ， ， ， ， ，则使向量 与 的夹角为钝角的实数 的取值范围是 ．
15．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间向量 ， ，设 ， ， 与 垂直， ， ，则 ．
16．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间中四点 ， ， ， ，若 ，则 ．（填“ ”“ ”或“ ”）
17．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知空间向量 ， ， 中两两夹角都是 ，且 ， ， ，则 ．
18．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）如图，在 和 中， 是 的中点， ， ， ，若 ，则 与 的夹角的余弦值等于 ．
19．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算）已知 ， ， ， ， ，则以 ， 为邻边的平行四边形 的对角线 的长为 ．
20．（2019高二上·寿光月考）如图，已知平行六面体 中，底面ABCD是边长为1的正方形， ， ．
（1）求线段 的长；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值；
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：D.
【分析】由空间向量的运算性质结合数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
2．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】如图所示，
棱长为2的正四面体 中，
因为 分别是 的中点，
所以
，故答案为：B．
【分析】根据题意由正四面体的几何性质结合中点以及向量数量积的运算公式，代入数值计算出结果即可。
3．【答案】C
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】向量 ， ， 是一组单位向量，且两两垂直，
所以 且 ．
因为 ， ，
所以 ．
故答案为：C．
【分析】由数量积与向量垂直之间的关系结合数量积的运算公式整理即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ， ，
则
.
故答案为：C．
【分析】根据空间向量的线性运算，将和用表示，再根据空间向量的数量积的运算可求得解。
5．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意可得， ，
∴ 。
故答案为：B.
【分析】由题意结合中点作中位线可得 ，再利用数量积的公式求出数量积 的值。
6．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意得：
，
，
.
设 夹角为 ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则，再结合数量积求向量的模的公式，从而求出向量 的模，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出两向量 与 的夹角 。
7．【答案】B
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】由题意知 ，
由 得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B
【分析】由向量垂直于数量积之间的关系代入数值计算出结果即可。
8．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在平行六面体 中，因为 ，所以 ．
所以 ．
故答案为：D.
【分析】根据题意结合平行六边形的几何性质，由向量的运算性质以及数量积的运算性质结合向量模的定义计算出结果即可。
9．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】以 为一组基底，
则A. ，故错误；
B. ，故错误；
C. ，故正确；
D. ，故错误；
故答案为：C
【分析】以 为一组基底，利用空间向量的数量积运算逐项验证即可。
10．【答案】A,D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
而 运算后是实数， 没有这种运算，B不正确；
，C不正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意由数量积的运算性质以及向量的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】B,D
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】根据空间向量数量积的定义及性质，可知 和 是实数，而 与 不共线，故 与 一定不相等，A不符合题意；
因为 ，所以当 ，且 或 时， ，即 与 垂直，C不符合题意；
由向量两两不共线，可得B符合题意；
由运算律可得D符合题意.
故答案为：BD．
【分析】由数量积的定义以及运算性质即可判断出选项A 错误；由向量垂直于数量积之间的关系即可判断出选项C错误；再由已知条件两个向量两两不共线 即可得出选项B正确；结合向量的运算性质即可判断出选项D正确；由此得出答案。
12．【答案】-13
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：-13
【分析】结合向量以及数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
13．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】∵ ，∴ ．
故答案为： .
【分析】由数量积的运算公式代入数值计算出夹角的余弦值，由此求出角的大小。
14．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】因为向量 与 的夹角为钝角，
所以 ，
即 ，
则 ，
解得 ．
故答案为：
【分析】由题意夹角为钝角，结合数量积的运算公式即可得出关于的不等式求解出取值范围即可。
15．【答案】0°
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】∵ ，∴ ，化简得 ，
又∵ ，
，
，
∴ ，∴ ．
故答案为：0°.
【分析】首先由向量垂直与数量积之间的关系即可得出，再由向量和数量积的运算性质整理即可求出夹角的余弦值，由此得出角的大小。
16．【答案】⊥
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】∵ ，∴ ．∴ ．
故答案为：⊥.
【分析】结合数量积的运算性质以及向量垂直与数量积之间的关系即可得出答案。
17．【答案】10
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ， ， ，且 ，
∴
，
∴ ．
故答案为：10.
【分析】利用向量以及数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
18．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】由题意可得 ，
∴ .
由 ，可得
.
∴ ，即 ，
∴ ，故答案为 .
【分析】根据题意由向量和数量积的运算性质计算出，再由数量积的公式代入数值计算出夹角的余弦值由此得出角的大小。
19．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，∴ ．
∴ ，即 ．
故答案为：
【分析】由向量和数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
20．【答案】（1）解：设 ，则 ， ， ，
，
，
线段 的长为 .
（2）解：设异面直线 与 所成的角为 ，则
，
.
.
故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】(1) 设 ，得到 展开得到答案.(2)计算 ， ，利用夹角公式得到答案.
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