(共20张PPT)
1.3.1 线段垂直平分线
八年级下
北师版
1. 掌握线段垂直平分线的性质和判定定理.
2.会运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决几何问题.
学习目标
难点
重点
A
B
某地准备建一所小学，要求小学的位置到村庄A，B的距离相等．
小学的位置.学校应建在什么位置
新课引入
新知学习
拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′ ， FB和FB′的关系.
E
F
B
(B′)
折痕EB=EB′ ， FB=FB′
你能总结归纳这一结论吗？
B
B′
E
F
做一做
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
我们曾经利用了折纸法得到了这个性质，请你尝试证明这个结论吗？
回顾
已知：如图,直线MN⊥AB垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA＝PB.
证明：∵MN⊥AB，
∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°.
∵ AC＝BC，PC＝PC,
∴△PCA ≌△PCB ( SAS ).
∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等）
P
A
B
M
C
N
证明
归纳
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
还记得我们学过的互逆命题吗？上面这个命题的逆命题是什么呢？
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？
如何证明呢？
证明
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB.
求证：P点在AB的垂直平分线上.
点P的位置可能在线段AB上，也可能在线段AB外,即P是否与C重合
证明：（1）当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，
∴点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
A
B
P
B
P
A
C
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上
证明：过点P作线段AB的垂线PC，
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.
B
P
A
C
我们还可以用角平分线来证明
证明：过P点作∠APB的平分线交AB于点C，
∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，
∴△APC≌△BPC（SAS）.
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB.
又∵∠PCA+∠PCB=180°
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∴点P在AB的垂直平分线上.
还有其他的方法来证明吗？
B
P
A
C
证明：取AB的中点C，过点P，C作直线.
∵AP=BP，PC=PC，AC=BC，
∴△APC≌△BPC（SSS）.
∴∠PCA=∠PCB
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB.
∴点P在AB的垂直平分线上.
归纳
线段垂直平分线的判定定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
符号语言：
如图，∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
归纳
性质定理数学书写符号：
B
P
A
∵ PA =PB
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
判定定理数学书写符号：
∵ 点P 在AB 的垂直平分线上．
∴ PA =PB
C
例 如图，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为( )
A．8 B．11 C．16 D．17
B
课堂练习
2.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．以上都不正确
A
A
B
C
D
E
3.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于，连接BE，AB+BC=16cm，则△BCE的周长是 cm.
16
4.已知：如图，AB是CD的垂直平分线， E， F是AB上两点.
求证：∠ECF=∠EDF.
证明：∵AB是CD的垂直平分线，
∴EC=ED，FC=FD.
又∵EF=EF，
∴△ECF≌△EDF.
∴∠ECF=∠EDF.
5.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,EF垂直平分BD.
求证:AB∥DF.
证明:∵EF垂直平分BD,
∴FB=FD,∴∠FBD=∠BDF,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠FBD,
∴∠ABD=∠BDF,
∴AB∥DF.
课堂小结
线段垂直平分线
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上(共20张PPT)
1.3.2 三角形三边的
垂直平分线
八年级下
北师版
1. 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质.
2. 能够运用三角形三边的垂直平分线的性质解决实际问题.
3. 能够利用尺规作已知底边及底边上的高的等腰三角形.
学习目标
难点
重点
某地准备建一所小学，要求小学的位置到村庄A，B，C的距离相等．
请画出小学的位置.
新课引入
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么
我们发现：三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等.
你能证明这个发现吗？
新知学习
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
P
A
B
C
已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P.
求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P，且 PA = PC.
证明
证明：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.
同理，PB = PC.
∴PA = PB = PC.
∴ 点 P 在线段 AC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
即边 AC 的垂直平分线经过点 P.
P
A
B
C
归纳
三角形三边的垂直平分线的性质定理：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
符号语言:
∵P 为△ABC三边垂直平分线的交点
∴PA=PC=PB
A
B
C
P
做一做
分别作下列三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形：三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形：三边的垂直平分线交点在斜边上；
钝角三角形：三边的垂直平分线交点在三角形外.
探究
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出这个三角形吗 如果能，能画几个 所画出的三角形都全等吗
已知：三角形的一条边a和这边上的高h
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h
可以画出无数多个符合条件的三角形，且这些三角形不都全等.
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
（D）
a
h
a
a
h
h
探究
（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
已知：线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
a
h
作法：
1.作线段BC=a，如图；
2.作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3.在 l 上作线段 DA，使 DA = h.
4.连接AB，AC，BE，CE，
△ABC和△BEC就是所求作的三角形.
C
B
A
D
E
a
M
N
h
h
这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧.
（1）已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.
A
B
m
你明白这个作法吗？
A
B
P
m
l
P
l
做一做
（2）如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.
A
B
m
P
l
1.求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段．
如图，已知线段a．
求作：等腰直角三角形ABC，使斜边BC=a.
课堂练习
作法：1.作线段BC=a.
2.作线段BC的垂直平分线 l ，交BC于点D.
3.在 l 上作线段DA，使DA=DB.
4.连接AB，AC.
△ABC为所求作的等腰直角三角形.
B
A
D
C
a
2.如图所示，有A、B、C三个村庄的位置，现决定在三个村庄之间修建一个幼儿园，使幼儿园到三个小区的距离相等，则幼儿园应建在（ ）
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
C
A
B
C
3.到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的 ( )
A.三条高所在直线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
D
4.如图，P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，
求∠PAB的度数.
解:∵P为△ABC三边垂直平分线的交点
∴PA=PC=PB
∴∠PAC=∠PCA=20°,∠PBC=∠PCB=30°
∠PAB=∠PBA
∴∠PAB= (180°-2×20°-2×30°)=40°.
5.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，
且DE⊥DF.
求证：BE＋CF＞EF.
证明：如图，延长ED至点M，使DM＝ED，
连接MC，MF，则EF＝FM.
∵BD＝CD，DE＝DM，∠BDE＝∠CDM，
∴△BDE≌△CDM(SAS)． ∴BE＝CM.
∵CF＋CM＞MF，
∴BE＋CF＞EF.
M
课堂小结
线段的垂直平分线
三角形三边的垂直平分线的性质
尺规作图
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等
