(共19张PPT)
1.4.1 角平分线的性质和判定
八年级下
北师版
1.理解角平分线的性质定理及判定定理.
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，并理解和掌握定理及其逆定理.
3.能够应用这两个定理解决一些简单的实际问题.
学习目标
难点
重点
还记得用尺规作∠AOB平分线步骤吗？
（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使___________;
（2）分别以________为圆心，以___________长为半径作弧，弧在∠AOB内部交于一点C；
（3）作_________，OC就是∠AOB平分线
OD=OE
点D，E
射线OC
A
B
D
E
C
O
大于 DE
新课引入
还记得角平分线上的点有什么性质吗？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能证明这个结论吗？
想一想
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.
求证：PD=PE.
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO（AAS）.
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
2
1
E
D
C
P
O
B
A
新知学习
归纳
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线的性质的两个必要条件:
（1）点在角平分线上；
（2）这个点到角两边的距离，即点到角两边垂线段的长度.
2
1
E
D
C
P
O
B
A
符号语言：
∵ 点P 在∠AOB的平分线上，PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ PD=PE.
可用来证明线段相等
归纳
上面这个定理的逆命题是什么呢？
它是真命题吗？如何证明呢？
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点
在这个角的角平分线上.
证明
已知：如图，点 P 为∠AOB内一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
2
1
E
D
C
P
O
B
A
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中，
OP=OP，PD=PE，
∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL）．
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）．
∴OP平分∠AOB．
2
1
E
D
C
P
O
B
A
归纳
角平分线的判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
判定定理数学书写符号：
2
1
E
D
C
P
O
B
A
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
角平分线的判定的两个必要条件:
（1）点在角的内部
（2）这个点到角两边的距离(垂线段)相等
例.如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF，求DE的长.
解：∵DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC
又∵∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°.
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，
∴DE = AD= ×10=5.
1.判断下列说法是否正确.
(1)如图1，已知AD平分∠BAC，则BD=CD. （ ）
(2)如图2， 已知AD平分∠BAC，DC⊥AC，DB⊥AB，则BD=CD.
（ ）
×
√
B
A
D
C
图1
B
A
D
C
图2
课堂练习
易错警示
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
点到射线的垂线段
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=3，AB=5，则△ABD的面积是（ ）
A.15 B.7.5
C.5 D.12.5
A
C
B
D
B
3、如图,△ABC的两条外角平分线AP,CP相交于点P,PH⊥AC于H;
如果∠ABC=60°,则下列结论:
①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,
其中正确的结论个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
D
4.已知：如图△ABC中，AB=AC，CD、BE是△ABC的角平分线；
求证：AD=AE．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵CD、BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE= ∠ABC，∠ACD= ∠ACB，
∴∠ABE=∠ACD．
又∵∠A=∠A，
∴△ADC≌△AEB(ASA)． ∴AD=AE．
A
B
C
D
E
5.已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD， DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明：∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB， DF⊥AC，
∴ DE=DF，∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
A
B
C
D
E
F
课堂小结
角平分线的
性质和判定
性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上(共20张PPT)
1.4.2 三角形内角的平分线
八年级下
北师版
1. 会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”
2.会运用三角形内角的平分线的性质和判定解决问题.
学习目标
难点
重点
三条公路两两相交，现计划在公路中间修建一个油库.要求油库到这三条公路的距离相等．请画出油库的位置.
A
B
C
新课引入
作三角形三个内角的平分线，你发现了什么
我们发现：三角形的三个内角的平分线交于一点.
这一点到三角形三边的距离相等.
你能证明这个结论吗？
新知学习
做一做
证明
求证：三角形的三个内角的平分线交于一点.并且这一点到三角形三边的距离相等.
已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
求证：P 点在∠BAC 的角平分线上.
P
D
F
E
M
N
B
A
C
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为 D，E，
∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
同理：PE = PF. ∴PD = PE = PF.
∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），
即∠A 的平分线经过点 P.
P
D
F
E
M
N
B
A
C
归纳
三角形内角的平分线的性质定理：
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
例 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为点E.
（1）已知CD=4 cm，求 AC 的长；
D
A
B
E
C
解：（1）∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C = 90°，DE⊥AB，垂足为 E，
∴DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
∵AC = BC
∴∠B = ∠BAC（等边对等角）
∵∠C=90°，
∴∠B= ×90°=45°.
∴∠BDE=90°-45°=45°.
∴BE=DE（等角对等边）
在等腰直角三角形BDE中，
cm .
∴AC =BC= CD + BD =
D
A
B
E
C
（2）证明：由（1）的求解过程可知
Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.
∴AC=AE.（全等三角形的对应边相等）
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD.
D
A
B
E
C
（2）求证：AB=AC+CD.
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
归纳
课堂练习
1. 已知：如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°， ∠B = 40°， AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点， DE⊥AB 于 E，则∠CAD = ________.
25°
A
C
B
D
E
2.在△ABC中，AD垂直平分线段BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（ ）
A. AB＋DB>DE B. AB＋DBC. AB＋DB＝DE D. 无法判断
C
3.如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC=60°，则∠BOC的度数为 ( )
A.120° B.125° C.130° D.140°
A
4. 已知: 如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.
求证: 点F在∠DAE的平分线上.
A
B
C
F
D
E
证明： ∵ BF是∠CBD的角平分线
∴ F到BC，AD的距离相等
∵ CF是∠BCE的角平分线
∴ F到BC，AE的距离相等
∴ F到AD，AE的距离相等
从而点F在∠DAE的平分线上.
5. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、D.
求证：（1）OC = OD；
O
C
D
B
P
E
A
证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC = PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中，
OP = OP，PC = PD，
∴Rt△OPC≌ Rt△OPD（HL）.
∴OC = OD（全等三角形对应边相等）.
（2）OP 是 CD 的垂直平分线.
O
C
D
B
P
E
A
（2）∵ OP 是∠AOB 的角平分线，
∴OP 是 CD 的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）.
6.如图，在四边形ABCD中，AO，BO，CO，DO分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线．求证：AB＋CD＝AD＋BC.
证明:如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，
OH⊥AD，垂足分别为E，F，G，H，
则∠AEO=∠AHO=90°.
∵AO平分∠BAD， ∴∠OAE=∠OAH.
在△OAE和△OAH中
∵∠OAE=∠OAH，∠AEO=∠AHO，OA=OA，
∴△OAE≌△OAH， ∴AE=AH.
同理，可得BE=BF，CF=CG，DG=DH，
∴AB+CD=AD+BC.
三角形内角的平分线的性质定理：
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
课堂小结
