2023-2024学年安徽省合肥重点学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥重点学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.函数的图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.函数的图象中，在每个象限内随增大而增大，则可能为( )
A. B. C. D.
4.如图，为了测量河岸，两点的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么等于( )
A. B. C. D.
5.已知，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点为轴上的一点，连接，若的面积为，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知关于的二次函数的图象上有两点，，，且，则与的大小关系是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，，为上任一点，为中点，连接，在上，且满足，连接，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ______ 结果保留根号．
12.如图，已知，是的中线，是的中点，则： ______ ．
13.已知：如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为______．
14.如图，在等腰三角形中，，延长到点，菱形的边在边上，过点作交于点，点是的中点，如果，则线段和的数量关系为______，如果，，则的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
画出关于轴的轴对称图形；
以点为位似中心，在第一象限中出画出，使得与位似，且相似比为：．
17.本小题分
如图，一次函数的图象交轴于点，与反比例函数的图象交于，两点，且点坐标为．
确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
直接写出不等式的解集．
18.本小题分
如图，在中，为上一点，为上一点，如果，．
求证：∽．
若，，，求的长．
19.本小题分
如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为：．
求小明从点到点的过程中，他上升的高度；
大树的高度约为多少米？
参考数据：，，
20.本小题分
如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．
求证：为的切线；
若且，求的半径．
21.本小题分
某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表：
时间天
售价
日销售量
已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元．
求与的函数关系式；
第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
22.本小题分
如图，的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，、两点的坐标分别为、，抛物线经过点，且顶点在直线上．
求抛物线对应的函数关系式；
若是由沿轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由．
在的条件下，若点是所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点作平行于轴交于点设点的横坐标为，的长度为，求与之间的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求取大值时，点的坐标．
23.本小题分
如图，矩形中，，点是对角线上的一个动点不包含、两点，过点作分别交射线、射线于点、．
求证：∽；
连接，若，且为中点，求的值；
若，移动点，使与相似，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
2.【答案】
【解析】解：，
函数图象顶点坐标为，
故选：．
由函数解析式即可求得答案．
本题主要考查二次函数的图象和性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象中，在每个象限内随增大而增大，
，
解得：．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
根据已知角的正切值表示即可．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
【解答】
解：，，在直角中，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
根据，可得，所以，即可得出答案．
本题考查了比例的性质，关键是熟练掌握比例的性质．
6.【答案】
【解析】解：连接，如图，
轴，
，
，
而，
，
，
．
故选：．
连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
7.【答案】
【解析】解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：．
连接，根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，再根据圆周角定理求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和圆周角定理等知识点，能求出的度数是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【解答】解：，
，，
，A正确；
，
，B错误；
，
，C错误；
，
，D错误，
故选A．
9.【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，且，
，
，
，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
．
故选：．
求出二次函数的对称轴为直线，然后判断出、距离对称轴的大小，即可判断与的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：在和中，
，
，
，
∽，
，
，
如图，取中点，则，
为中点，
，
当且仅当、、三点共线时，可以取到，
最小值为．
故选：．
先证明通过∽说明，取中点，则，，再由、、三点共线时，可以取到，即可得到答案，
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明，取中点，构造直角三角形的斜边中线等于斜边一半．
11.【答案】
【解析】解：为线段的黄金分割点，，且，
．
故答案为：．
根据黄金分割点的定义，知是较长线段，则，代入数据即可得出的长．
本题考查黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较长的线段原线段的．
12.【答案】：
【解析】解：过点作，交于，
则，，
是的中线，是的中点，
，，
，，
：：，
故答案为：：．
过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，，得到，，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：
过作于，连接，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，过圆心，
，
，
故答案为：．
过作于，连接，求出，根据垂直定义得出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，再求出答案即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
14.【答案】
【解析】解：如图，延长交于点，
四边形为菱形，
，
，
，，
≌，
，
设菱形的边长为，则，
在等腰三角形中，，如果，则为等边三角形，
，
，
，，
为等边三角形，
，
，
，
在等腰三角形中，，如果，则为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：，．
延长交于点，利用证明≌，当时，证明和为等边三角形，再利用菱形的性质，即可得到和的数量关系；当，时，先证明和为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的边角关系即可得到菱形的边长．
本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
15.【答案】解：
．
【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：如图所示，即为所求．
如图所示，即为所求．

【解析】分别得出点、、关于轴的对称点，然后连线即可；
由及位似的性质进行作图即可．
本题主要考查轴对称及位似，熟练掌握轴对称及位似的性质是解题的关键．
17.【答案】解：在反比例函数的图象上，
，
，
，在上，
，
解得，
；
联立，
解得：，，
，
根据图象可知的解集为：或．
【解析】根据待定系数法即可求得一次函数的解析式，由题意可知，代入求得的值，即可求得反比例函数的解析式；
先求得的坐标，根据图象找出在的下方的图象对应的的范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，数形结合是解题的关键．
18.【答案】证明：，
，
，，
，
，
∽，
解：在中已证明∽，
，，
，，，
，
．
【解析】根据，可得，即有，结合，可得∽；
根据∽，可得，即，问题随之得解．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：作于，如图所示：
在中，，
，
，
，
．
答：小明从点到点的过程中，他上升的高度为米；
如图所示：延长交于点，设，
由题意得，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
，
，
解得：．
答：大树的高度约为：米．
【解析】作于，解，即可求出；
延长交于点，解、，求出、，得到；设米，根据正切的概念用表示出、，根据列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
20.【答案】解：证明：如图，连接，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
是半径，
为的切线；
解：设的半径，则，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，或舍去，
的半径为．
【解析】连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．
本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：当时，
，
当时，
，
．
当时，
，
当时，，
当时，
，
随的增大而减小，
当时，，
在第天时，最大日销售利润为元．
【解析】依据题意，利用“利润每千克的利润销售量”列出函数关系式；
依据题意，可配方求出的函数最大值和的函数最大值，比较得出结果．
本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是弄清数量关系，列出函数表达式．
22.【答案】解：的顶点在直线上，
可设所求抛物线对应的函数关系式为，
点在此抛物线上，
，
，
所求函数关系式为：；
在中，，，
．
四边形是菱形，
，
、两点的坐标分别为、，
、两点的坐标分别是、；
当时，，
当时，，
点和点在所求抛物线上；
设直线对应的函数关系式为，
则，
解得：；
．
轴，点的横坐标为，
点的横坐标也为；
则，，
，
，
当时，，此时．
此时点的坐标为
【解析】已知抛物线上、点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
首先求出的长，将、的坐标向右平移个单位，即可得出、的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可；
根据、的坐标，易求得直线的解析式；那么线段的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可将代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为的表达式，由此可求出、的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出取最大值时，点的坐标．
此题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数最值的求法等知识，难度适中．应用方程思想与数形结合是解题的关键．
23.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，且，
∽；
解：，
，
，
，
，
设交与点，
矩形，
，，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
；
解：矩形，
，，，
当∽时，则：，
点为的中点，
，
，
，即：，
设，则：，
，
，
，
；
当∽时，则：，
，
设，，则：，，
，
，
解得：，
由知：，
，
，
，
或；
综上：或或．
【解析】矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证；
根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交与点，证明∽，得到，证明∽，列出比例式求解即可；
分∽，∽两种情况进行讨论求解．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
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