2023-2024学年湖南省长沙市浏阳市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市浏阳市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.“”是“，，成等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知等差数列中，，则数列的前项和等于( )
A. B. C. D.
4.如图，在平行六面体中，，，为的中点，则用向量，，可表示向量为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是( )
A. B. C. 与相交但不垂直 D. 或
6.过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
8.直线交椭圆于，两点，为椭圆上异于，的点，，的斜率分别为，，且，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是( )
A. 实轴长为 B. 焦距为
C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为
10.在平面上，动点与两定点，满足且，则的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆已知动点与两定点，满足，记的轨迹为圆则下列结论正确的是( )
A. 圆方程为：
B. 过点作圆的切线，则切线长是
C. 过点作圆的切线，则切线方程为
D. 直线与圆相交于，两点，则的最小值是
11.如图所示，在棱长为的正方体中，，，分别为，，的中点，则( )
A. 直线与所成的角为
B. 直线与平面所成的角为
C. 直线与平面平行
D. 平面截正方体所得的截面面积为
12.关于函数，下列判断正确的是( )
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有个零点
C. 对不等式在上恒成立
D. 对任意两个正实数，，且，若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知空间向量，，则 ______ ．
14.已知直线的倾斜角，直线垂直于，则斜率为______ ．
15.在数列中，，，，则 ______ ．
16.已知实数，满足，则代数式的最大值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．
边所在直线的方程；
矩形外接圆的方程．
18.本小题分
如图，在正四棱柱中，，，点是的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒直径为，长为的反射式望远镜，其光学系统的原理如图中心截口示意图所示其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸单位：，分别求抛物线和双曲线的方程．
20.本小题分
已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列．
Ⅰ求的值及数列的通项公式；
Ⅱ若求数列的前项和
21.本小题分
如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．
求点到平面的距离；
已知点在线段上，且直线与平面所成的角为，求出的值．
22.本小题分
已知函数．
若在定义域内为单调递减函数，求的取值范围；
求证：当且时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由直线的方程为，可得直线的斜率，
设直线的倾斜角为，，
则，可得．
故选：．
由直线的方程可得斜率的大小，进而求出直线的倾斜角的大小．
本题考查直线的倾斜角的求法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：若，，成等比数列，则，解得，
故“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件，
故选：．
根据等比数列的性质以及充分必要条件的定义判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查等比数列的性质，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列中，，
则．
故选：．
根据题意，分析可得，计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在平行六面体中，，，，为的中点，
故．
故选：．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：直线的方向向量是，平面的法向量是，
，
则与的位置关系是或．
故选：．
由，得到与的位置关系是或．
本题考查线面的位置关系、直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：将代入圆方程左边得：，左边右边，即在圆上，
直线的斜率为，
切线的斜率为，即直线方程为，
整理得：，
直线：与直线平行，
，即，
直线方程为，即，
则直线与的距离为．
故选：．
判断在圆上，求出直线的斜率，确定出切线的斜率，求出的方程，根据直线与直线平行，利用平行线的距离公式求出与的距离即可．
此题考查了直线与圆相交的性质，圆的切线方程，两直线平行时斜率满足的关系，点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：已知抛物线方程为，
则抛物线的焦点的坐标为，
又，
即点在抛物线外部，
由抛物线的定义可得：点到点的距离与到该抛物线的准线的距离等于，
又，当且仅当、、三点共线时取等号，
即点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为．
故选：．
设抛物线的焦点为，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离等于，然后结合抛物线的定义求解即可．
本题考查了抛物线的定义，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，
则由在椭圆上可得，
直线与的斜率之积为，
，
把代入化简可得，，离心率．
故选：．
设，由题意可得的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．
本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：已知双曲线，
则，，，
对于选项A，双曲线的实轴长为，
即选项A正确；
对于选项B，双曲线的焦距为，
即选项B错误；
对于选项C，双曲线的离心率为，
即选项C错误；
对于选项D，双曲线的焦点到渐近线的距离为，
即选项D正确．
故选：．
由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法逐一判断即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：设，由题意可得，
整理可得：，即的轨迹为圆心，半径的圆，
所以A正确；
中，因为，所以过的切线长为，所以B正确；
中，因为，即在圆上，，
所以过的切线的斜率为，
所以切线方程为：，即，所以不正确；
中，直线：整理可得：，
则直线过与的交点，
即直线恒过，而此点在圆内，所以直线与圆有两个交点，
当与直线垂直时，弦长最小，
，此时，所以D正确．
故选：．
设的坐标，由题意可得的轨迹方程为圆心，半径的圆，判断出的真假；由切线长及切线的方程的求法，判断，的真假；将直线的方程整理可得恒过定点，且此点在圆内，且当时，弦长最小，并求出的最小值．
本题考查点的轨迹方程的求法及直线与圆的综合应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于：连接，，，
由，分别为，的中点，可得，
在正方体中，可得，
所以为异面直线直线与所成的角，
由为等边三角形，所以可得直线与所成的角为，故A正确；
对于：取的中点为，连接，
因为是的中点，可得四边形为平行四边形，
所以，因为平面，
所以直线与平面所成的角为，
其中，所以，所以不正确；
对于：如图所示，取的中点，连接，，
由，且平面，平面，所以平面，
同理可证：平面，因为，且，平面，
平面平面，又因为平面，所以平面，所以C正确；
对于：因为，为，的中点，所以，
因为，所以，所以，，，四点共面，
所以截面即为等腰梯形，因为正方体的棱长为，
可得，，在直角中，可得，
则高为，
所以梯形的面积为，所以D错误．
故选：．
连接，，，可得为异面直线直线与所成的角，求解判断；取的中点为，连接，可得直线与平面所成的角为，求解可判断；取的中点，连接，，证得平面平面，可判定；由，得到截面为等腰梯形，求得梯形的面积，可判定．
本题考查空间几何体的性质，考查线面角的求法，考查线线角的求法，考查截面面积的求法，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项：因为，，所以，
令，得，
所以，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，当时，取得极小值，故A选项错误；
对于选项：设，则，
所以在上单调递减，又，
所以函数有且只有个零点，故B选项正确；
对于选项：若在上恒成立，所以在上恒成立，
则，设，，
设，设，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以，
所以，在上单调递减，
所以函数的最大值为，所以，故C选项正确；
对于选项：方法一：令，
设，
所以，
所以在上单调递减，
则，即，，
因为，，结合选项可得，，，，
所以，，函数在上单调递增，
则，所以，
即对任意两个正实数，，且，若，则，故D选项错误；
方法二：由，，所以，
设，，则，
所以在上单调递减，所以，
所以，
由，则，因此，
所以，
即对任意两个正实数，，且，若，则，故D选项错误；
故选：．
对于选项：求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得当时，取得极小值，故A选项错误；
对于选项：构造函数，求导，根据函数的单调性，即可函数有且只有个零点，故B选项正确；
对于选项：分离参数，构造函数，利用导数与函数的单调性，即可求得的取值范围，即可判断选项正确；
对于选项：方法一：构造一元差函数，求导，根据函数的单调性，结合，可得，因此选项错误；
方法二：构造，，求导，根据导数与函数单调性的关系，可得，结合，即可得到，因此选项错误．
本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值最值的关系，考查极值点偏移问题，函数零点问题，考查函数思想，计算能力，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：由于空间向量，，则．
故答案为：．
直接利用向量的坐标运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由直线的倾斜角，可得，
又直线垂直于，则斜率．
故答案为：．
由直线的倾斜角，可得它的斜率，再由直线垂直于，可得斜率的值．
本题考查两条直线垂直的性质的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：在数列中，，，，
可得是首项为，公差为的等差数列，
则，即，
所以，
所以．
故答案为：．
由等差数列的性质推得是首项为，公差为的等差数列，由等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
本题考查等差数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为实数，满足，
即点到点与到点的距离之和为，
又因为，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
所以，，，，
所以椭圆的方程为，
而表示椭圆上的点到直线的距离的倍，
设为椭圆上的任意一点，且点到直线的距离为，
则，
所以当时，取最大值为，
所以此时最大值为．
故答案为：．
由题意可得点在椭圆上，表示椭圆上的点到直线的距离的倍，设为椭圆上的任意一点，利用点到线的距离公式求出的最大值即可得答案．
本题考查了函数最值几何意义、转化思想，难点是得出点的轨迹，属于中档题．
17.【答案】解：边所在直线的方程为，且与垂直，
直线的斜率为又因为点在直线上，
边所在直线的方程为，．
由，解得点的坐标为，
矩形两条对角线的交点为．
为矩形外接圆的圆心，又，．
从而矩形外接圆的方程为 ．
【解析】由已知中边所在直线的方程为，且与垂直，我们可以求出直线的斜率，结合点在直线上，可得到边所在直线的点斜式方程，进而再化为一般式方程．
根据矩形的性质可得矩形外接圆圆心即为两条对角线交点，根据中直线，的直线方程求出点坐标，进而根据长即为圆的半径，得到矩形外接圆的方程．
本题考查的知识点是直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中的关键是根据已知中边所在直线的方程及与垂直，求出直线的斜率，的关键是求出点坐标，进而求出圆的半径长．
18.【答案】解：在正四棱柱中，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为，，，
，
，，
设异面直线与所成角为，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
，设平面的一个法向量为．
则，得，取，得，，
故平面的一个法向量为．
于是，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
先求出，平面的法向量，由此利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程想，是中档题
19.【答案】解：对于双曲线，有，，，
，
双曲线的方程为；
抛物线的顶点的横坐标是，
抛物线的方程为．
【解析】根据题意，对于双曲线，有，求出，，可得双曲线的方程；求出抛物线的顶点的横坐标，可得抛物线的方程．
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查双曲线、抛物线的性质，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ，，成等差数列，
，即，
当时，，即，
当时，，
是等比数列，
，则，得，
数列的通项公式为，；
Ⅱ由得 ，
则前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得．
【解析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题．
Ⅰ由等差数列的中项性质和数列的递推式，等比数列的通项公式，可得所求；
Ⅱ求得，运用数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
21.【答案】解：解：连接，，是的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，，
平面，平面，
，菱形中，，是正三角形，
、、两两垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，则，，
则有，令，得，
设点到平面的距离为，则，
点到平面的距离为；
由题意可知，平面的一个法向量为，
，，
设，
则，
直线与平面所成的角为，
则，
即，整理可得，解得，满足，
所以直线与平面所成的角为时，．
【解析】连接，证明出、、两两垂直，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离；
设，，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可求出的值，即可求出的值．
本题考查利用空间向量求点到平面的距离，考查线面角的求法，属中档题．
22.【答案】解：定义域为，
因为在定义域内为单调递减函数，
所以，
所以，
令，
所以，
令得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
所以，
所以的取值范围是．
证明：因为当且时，
所以，
令，，
所以，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，
即在上单调递增，
因为，，
所以存在，有，
即，所以，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
所以．
【解析】在定义域内单调递减转化为恒成立，分参，求函数最值，进而求参数的取值范围．
利用且，放缩，可知，利用隐零点的性质证明即可．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
第1页，共1页