湖南省常德市汉寿县2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题（含解析）

湖南省常德市汉寿县2023-2024学年
高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．集合A={x} B={} C={}又则（ ）
A．（a+b）A B．(a+b)B
C．(a+b)C D．(a+b)A、B、C任一个
2．设a，b∈R，集合{1，a}＝{0，a＋b}，则b－a＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
3．函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则
A． B． C．3 D．9
4．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数解析式是
A． B．
C． D．
5．定义在上的函数满足，，且当时，，则方程所有的根之和为（ ）
A．44 B．40 C．36 D．32
6．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．不等式的解集是，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有成立则（ ）
A．不等式的解集为
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
10．设集合，，下列说法正确的有（ ）
A．当，若中恰有一个整数，则
B．若，则
C．若，则
D．若，有
11．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
12．已知函数满足，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知幂函数的图像经过点，则 ．
14．已知，若对一切实数，均有，则 .
15．函数 在 上的最大值和最小值的乘积为
16．已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为 ．
四、解答题
17．已知,不等式的解集为，不等式的解集为A.
(1)求实数k的值；
(2)设集合，若,求实数a的取值范围.
18．已知函数是，上的奇函数，当时，.
（1）判断并证明在，上的单调性；
（2）求的值域.
19．已知角满足.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
20．中国政府在第七十五届联合国大会上提出.“中国将努力争取在2060年前实现碳中和.”随后，国务院印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意见》.某企业去年消耗电费50万元，预计今年若不作任何改变，则今年消耗电费与去年相同.为了响应号召，节能减排，该企业决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为0.6.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装太阳能供电设备后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（，k为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）.
(1)求常数，并写出关于的函数关系式；
(2)当太阳能电池板的面积为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？
21．地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐.某城市新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量（单位：人）与发车时间间隔（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过8分钟时，列车均为满载状态，载客量为935人；当发车时间间隔不超过8分钟时，地铁载客量与成正比，假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）.
(1)求关于的函数表达式；
(2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值.
22．定义在上的奇函数，已知当时，．
(1)求的值；
(2)若使不等式成立，求实数m的取值范围；
(3)设，若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
参考答案：
1．B
【详解】
所以(a+b) C
2．A
【详解】　∵{1，a}＝{0，a＋b}，
∴a=0,b=1∴b－a＝1，故选A.
点睛：注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
3．A
【分析】由对数函数的几何性质求出点的坐标，代入求函数解柝式，再将代入即可.
【详解】由题意，令，
即，则，
即点，
由在幂函数的图象上可得，，
则，则，
则，故选A.
【点睛】本题考查了对数函数与幂函数的性质应用，属于基础题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.
4．A
【解析】利用正弦型函数的平移变换以及伸缩变换求解即可.
【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象
故选A.
【点睛】本题主要考查了求图象变化后的解析式，属于基础题.
5．A
【分析】根据题中所给的函数性质可得的周期为且关于中心对称，再画函数分析与的交点对数，进而根据对称性可得根之和即可.
【详解】由可得函数为奇函数，且关于对称，
又由题意，故，
所以函数关于中心对称，且，故函数的周期为.又当时，，此时，
故函数在上单调递增，综上可画出的部分图象，
又方程的根，即与的交点，
由图可知：函数的最大值为，
当时，，此时直线与曲线交于最高点，
所以与在上有个交点，根据函数的对称性可知：在也有个交点，并且两两关于中心对称，加上共11个，
故其根之和为，
故选：.
6．D
【分析】根据函数单调性的定义知，在上单调递减，在上单调递增，且，分与两种情况进行求解，得到答案.
【详解】因为对任意的，有，
所以在上单调递减，又为定义在R上的偶函数，
所以在上单调递增，且，
当时，由得，故，
当时，由得，故，
综上：不等式的解集是.
故选：D.
7．B
【分析】由一元二次不等式解集求参数，代入目标不等式，应用一元二次不等式的解法求解集.
【详解】由题设是的两个根，则，
所以，即，
故不等式解集为.
故选：B
8．D
【分析】根据函数的奇偶性推得，然后采用赋值法可得到，进而求得，说明D正确，再举一例，求值可说明A,B,C错误.
【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，
所以 ，
即，
故令 ，则，
所以，
令，则，故D正确；
取函数，则，
故满足是定义域为的偶函数，且为奇函数，
而， ，
说明A,B,C错误，
故选：D.
9．AC
【分析】AB选项，令，得到在上单调递增，结合的单调性和奇偶性，分类讨论解不等式，求出解集；CD选项，令，推出的单调性和奇偶性，结合，解不等式，求出解集.
【详解】AB选项，当时，，
即，故在上单调递增，
偶函数的定义域为，故在上单调递减，
又，故，
当时，，所以，解得，
当时，，此时，即，
当时，，由于在上单调递增，
故，故，解得，故；
当时，，由于在上单调递减，
故，故，解得，故；
综上，或或，
故不等式的解集为，A正确，B错误；
CD选项，中，
令得，
设，则，
所以在上单调递增，
因为为上的偶函数，
故定义域为，且，
所以为偶函数，
因为，所以，
则等价于，
故，解得或，C正确，D错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：利用函数奇偶性和单调性解不等式，
若已知单调递增，，则，
若已知单调递减，，则，
若已知为偶函数，，通常将变形为，
将自变量均加上绝对值，结合函数在上的单调性得到不等式，求出解集，
也可画出函数图象，数形结合进行解答，无论哪种方法，均要优先考虑定义域.
10．ABD
【分析】由或，，利用集合的交集和并集运算求解.
【详解】解：或，；
当，若中恰有一个整数，则 ，解得，故A正确；
若，则 ，解得 ，故B正确；
若，则 ，即无解，故C 错误；
由或知，，，故D正确，
故选：ABD
11．AC
【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D.
【详解】关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为、4，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
12．BC
【分析】利用特值法判断A；代入验证可判断B；由条件结合指数函数的性质可得0，展开进而可判断C；由的解析式判断单调性，及由条件得出的单调性，从而可判断D.
【详解】若，令，则，此时，A错误.
若，因为，所以，B正确.
若，因为当时，，
所以0，则，即，
所以，C正确.
若，
因为函数在上单调递减，函数是增函数，
所以在上单调递减，且.
若函数满足，下证为增函数.
令，
则，
即，
所以在上单调递增，与的单调性矛盾，D错误.
故选：BC．
13．
【分析】设幂函数的解析式利用待定系数法求出函数解析式，最后求出函数值.
【详解】设幂函数的解析式为，将点代入函数解析式得，
即，解得，所以幂函数的解析式为，
所以，
故答案为：.
14．
【分析】列方程组解得参数a、b，得到解析式后，即可求得的值.
【详解】由对一切实数，均有
可知，即解之得
则，满足
故
故答案为：
15．/
【分析】令，化简，令，利用对勾函数的性质求解最值即可.
【详解】令，，∵，∴，
∴，
令，
由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
∵，
∴
∴函数 在 上的最大值和最小值分别为，
∴函数 在 上的最大值和最小值的乘积为．
故答案为：．
16．
【分析】可证为奇函数且为增函数，从而可得恒成立，参变分离后可求m的取值范围.
【详解】因为恒成立，故恒成立，故的定义域为.
令，则，
故，故为上的奇函数.
在上，均为增函数，故在上为增函数，
又在上为奇函数，且在上为增函数，
故为奇函数，且在上增函数，所以在上单调递增，
由可得：，
即也就是，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
故，即m的取值范围为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：函数不等式的恒成立问题，注意利用函数的奇偶性和单调性去掉对应法则，从而把函数不等式转化为指数不等式，后者可参变分离，结合基本不等式可求最值，从而得到参数的取值范围.
17．(1)
(2)
【分析】（1）分三种情况以及根据绝对值不等式的解法分别求解，进而可以求解；
（2）根据分式不等式的解法求出集合A，然后由已知可得不等式在上恒成立，即在上恒成立，只需，根据对勾函数的性质即可求解．
【详解】（1）不等式化为：，即，
因为不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，则，无解，
当时，不等式的解集为，则，解得，
当时，不等式的解集为R，不满足题意，
综上，实数k的值为；
（2）解不等式可得, ,即，
解得，
即集合，又因为，
则不等式在上恒成立，即在上恒成立，
只需，又函数在单调递减，在上单调递增，
所以当时，，当时，，则，
所以实数a的范围为，即．
18．（1）函数为在，为增函数，证明见解析；（2）或或.
【分析】（1）本题首先可设，然后通过计算得出，即可判断出函数在，上单调递增；
（2）本题首先可根据函数在，上是增函数得出当时函数的值域为，然后根据奇函数性质得出函数在上的值域，最后两者结合，即可得出结果.
【详解】解：（1）根据题意，函数为在，为增函数，
证明如下：设，则
，
又由，则，，
则，函数在，上为增函数，
（2）根据题意，由（1）的结论，函数在，上为增函数，
则，当时，，
则在区间，上，有，
又由为，上的奇函数，则，
在区间，上，有，
综合可得：函数的值域为或或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系进行化简，再由即可得到结果.
（2）由及，即可得到结果.
【详解】（1）原式
，
，
原式.
（2），
且，
，
.
20．(1)3000；
(2)94平方米；116.4万元
【分析】（1）根据，即可求得k的值；结合题意即可求得关于的函数关系式；
（2）将关于的函数关系式整理变形为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，解得；
则；
（2）由于，故（万元），
当且仅当，即（）时，取得等号，
即当太阳能电池板的面积为94平方米时，取得最小值，最小值是万元.
21．(1)
(2)当分钟时，最大值为15万元．
【分析】（1）考虑和两种情况，代入临界数据计算，得到解析式．
（2）考虑和两种情况，根据函数的单调性和二次函数性质，分别计算最值，比较得到答案．
【详解】（1）当时，，；
当时，，且当时，，解得，
，，
故；
（2）当时，单调递减，故当时有最大值为；
当时，，当时有最大值为．
综上所述：当时有最大值为15万元．
22．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由该函数在原点有定义，借助奇函数，即可求解;
（2）代入整理，分离参数转化为能成立问题，借助该函数的单调性，找到最值，求出实数m的取值范围即可;
（3）利用函数与方程的知识，借助换元法，通过图象找到满足三个不同的交点的情况，进而求得实数k的取值范围.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，
所以，解得，
所以时，，
经检验，满足题意.
（2）因为时，，
所以可化为，整理得，
令，，易知在单调递减，．
（3）原方程化为，
令，则有两个实数解,
，
作出函数的图象，如图:
原方程有三个不同的实数解，则，
则，k的取值范围是．