（决胜中考）2024年南京市中考数学精选题练习（二）（含解析）

（决胜中考）2024年南京市中考数学精选题练习（二）
一、单选题
1．-2的倒数是（ ）
A．-2 B． C． D．2
2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．a+2b=3ab
B．3a2﹣2a2=1
C．a2 a4=a8
D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b
4．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是( )
A． B．
C． D．
5．下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．随时打开电视机，正在播天气预报
B．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上
C．从分别写有3，6两个数字的两张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被3整除
D．长度分别是3cm，3cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形
6．根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2018年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：
用水量/吨 15 20 25 30 35
户数 3 6 7 9 5
则这30户家庭该月用水量的众数和中位数分别是(　　)
A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25
7．使有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，P为反比例函数在第一象限内图像上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数的图像于点A，B，若，则k的值是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
二、填空题
9．2022年5月22日，中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物种名录》2022版，共收录物种及种下单元约138000个．数据138000用科学记数法表示为 ．
10．分解因式：a2﹣4b2= ．
11．请写出命题“如果，那么”的逆命题是 ．
12．某学习小组利用直立在地面上标杆测量直立在同一水平地面上的旗杆的高度（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是．已知B、C、E、F在同一直线上，，则 ．
13．方程有两个相等的实数根，则m的值为 .
14．如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形．若，则 ．
15．根据图像，求此直线解析式是 ．
16．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶A离地面的高度为 ．（结果保留两位小数）（参考数据：，，）
17．如图，、是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，，则＝ °．
18．如图，中，，，点是与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为，，则的最小值为 ．
三、解答题
19．（1）计算:
（2）化简:
20．（1）解不等式组∶
（2）解方程∶
21．如图，四边形是菱形，点E，F分别在上，．求证．
22．在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．活动中，为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．
(1)这次调查中，一共调查了多少名学生？
(2)求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
(3)若全校有1200名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？
23．2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖．
(1)从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________．
(2)从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
24．某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多10元．
(1)求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
(2)若该商店A种纪念品每件售价50元，B种纪念品每件售价65元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于2400元，求A种纪念品最多购进多少件？
25．如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
26．如图，一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图像相交于点，，，．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．当面积为时，求点的坐标．
27．定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．
(1)在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是________（填序号）；
(2)如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，求证：四边形是等角线四边形；
(3)如图，已知在中，，，，D为线段的垂直平分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．
28．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C，顶点为D．抛物线对称轴与x轴交于点F，E是对称轴上的一个动点．
(1)若，求的值；
(2)若，求点E的坐标；
(3)当取得最小值时，连接并延长交抛物线于点M，请直接写出的长度．
参考答案：
1．B
【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解．
【详解】解：-2的倒数是-，
故选：B．
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握．
2．A
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．D
【详解】解：A.a与2b不是同类项，不能再计算，故此选项错误；
B.3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；
C.a2·a4=a6，故此选项错误；
D.（-a2b）3÷（a3b）2=-a6b3÷a6b2=-b，故此选项正确.
故选D.
4．D
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：从左面看第一层是三个正方形，第二层是左边一个正方形．
故选D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，解题的关键是了解左视图是由左视方向看到的平面图形，属于基础题，难度不大．
5．C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【详解】A、随时打开电视机，正在播天气预报是随机事件；
B、抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上是随机事件；
C、从分别写有3，6两个数字的两张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被3整除是必然事件；
D、长度分别是3cm，3cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形是不可能事件；
故选C．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．D
【分析】根据众数、中位数的定义即可解决问题．众数是指在一组数据中，出现次数最多的数据；中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数．
【详解】解：因为30出现了9次，所以30是这组数据的众数，将这30个数据从小到大排列，第15、16个数据的平均数就是中位数，所以中位数是25．
故选：D．
【点睛】此题考查了众数、中位数的定义，解题的关键是记住众数、中位数的定义．
7．C
【详解】分析：根据被开方数是非负数，可得答案．
详解：由题意，得
x-3≥0，
解得x≥3，
故选C．
点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键．
8．B
【分析】过作轴于，过作轴于，易得、和都是等腰直角三角形，进而得到，，再根据，可得，设，则，，依据，即可得到．
【详解】解：如图所示，过作轴于，过作轴于，
一次函数中，令，则；令，则，
∴，
，
、和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
又，
，
同理可得，
，
，
∴，
设，则，，
，
即，
∵点P为反比例函数上的点，
，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形等知识，综合性强，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．
9．1.38×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数数．
【详解】解：由题意可知：
138000=1.38×105，
故答案为：1.38×105
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（a+2b）（a﹣2b）
【详解】首先把4b2写成（2b）2，再直接利用平方差公式进行分解即可．
解：a2－4b2=a2-（2b）2=（a+2b）（a－2b），
故答案为（a+2b）（a－2b）．
11．如果，那么
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而求出答案．
【详解】解：命题“如果|，那么”的逆命题是：如果，那么．
故答案为：如果，那么．
【点睛】本题考查的是命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义．
12．//
【分析】由题意可得出，即得出，再根据，即可证，得出，代入数据，即可求出，即旗杆的高度为．
【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴旗杆的高度为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．
13．1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=4-4m=0，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=（-2）2-4m=4-4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
14．
【分析】设与相交于点，先证明四边形是菱形，再根据，可判断是等边三角形，可得，再利用勾股定理求得，根据菱形的性质，即可求得．
【详解】解：如图，设与相交于点，
原来四边形为正方形，
四条边相等，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
15．
【分析】待定系数法求一次函数解析式即可．
【详解】解：设直线解析式为，
把代入，得，
解得，
直线解析式为；
故答案为：．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，解题的关键是用待定系数法求一次函数解析式，在图像中找到两个已知的点，代入到一次函数解析式中求系数的值．
16．
【分析】过点A作于点D，根据轴对称图形的性质得出，，再利用正切函数求解即可．
【详解】解：过点A作于点D，如图：
∵它是一个轴对称图形，
∴，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴．
∴房顶A离地面的高度．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查解三角形及轴对称图形的性质，熟练掌握解三角形的方法是解题关键．
17．109
【分析】首先连接，，由是⊙O的切线，即可得，又由，即可求得的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．
【详解】解：连接，，作所对的圆周角，
是⊙O的两条切线，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：109．
【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，掌握辅助线的作法，以及四边形内角和是、圆内接四边形对角互补是解题的关键．
18．
【分析】连接，，证明，可得，当当、、、在同一直线上时，可得最小值为，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，，，
在中，，
四边形是正方形，
，，
，
即，
在与中，
，
，
，
，
当、、、在同一直线上时，最小即为，
中，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，将转化为是解题的关键．
19．（1）4；（2）
【分析】（1）先计算零指数幂、锐角三角函数值、绝对值和开方，再进行加减计算即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，再合并同类项进行化简即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算、整式的化简，熟练掌握实数的运算法则和完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
20．（1），（2），
【分析】（1）分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，，大小小大中间找，大大小小找不到”写出解集；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为：；
（2）解：，
，
或，
，．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组和解一元二次方程的方法和步骤．
21．证明见解析
【分析】由菱形的性质得到AB＝AD＝BC＝DC，∠B＝∠D，进而推出BE＝DF，根据全等三角形判定的“SAS”定理证得，由全等三角形的性质即可证出．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝DC，∠B＝∠D，
∵AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AD﹣AF，
∴BE＝DF，
在△BCE和△DCF中，，
∴，
∴CE＝CF．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题．
22．(1)这次调查中，一共调查了200名学生
(2)“D”所在扇形的圆心角的度数是54°，补全条形统计图见解析
(3)估计该校喜欢B（科技类）的学生为420人
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
（2）用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数以及B所占的百分比；用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形；
（3）总人数乘以样本中B所占百分比即可得．
【详解】（1）解：这次调查的总学生人数是
答：这次调查中，一共调查了200名学生
（2）D所占百分比为，
扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：360°×15%=54°；
B所占的百分比是1-15%-20%-30%=35%，
C的人数是：200×30%=60（名），
补图如下：
（3）估计全校喜欢B（科技类）的学生是
答：估计该校喜欢B（科技类）的学生为420人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，利用样本估计总体，正确利用条形统计图得出正确信息是解题关键．
23．(1)；
(2)作图见解析，．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是，
故答案为：；
（2）树状图如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，
所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
24．(1)A、B两种纪念品每件的进价分别为40元，50元
(2)A种纪念品最多购进120件
【分析】(1)设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为(x+10)元，根据用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同列出方程，再解即可；
(2)设A种纪念品购进a件，则B种纪念品购进 (200-a)件，由题意得不等关系：A种纪念品的总利润+B种纪念品的总利润 2400元，根据不等关系列出不等式，再解即可求得．
【详解】（1）解：设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价(x+10)元
根据题意得：
解得x=40
经检验：x=40是原方程的解，且符合题意
故x+10=40+10=50
答：A、B两种纪念品每件的进价分别为40元，50元
（2）解：设A种纪念品购进a件，则B种纪念品购进 (200-a)件
根据题意得：(50-40)a+(65-50)(200-a) 2400
解得
为整数
最大为120
答：A种纪念品最多购进120件．
【点睛】此题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等关系，再列出方程和不等式．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，设，，根据已知条件以及直径所对的圆周角相等，证明，进而求得，即可证明是的切线；
（2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形是正方形，进而求得的长，根据，，即可求解．
【详解】（1）如图，连接，
，
则，
设，，
，
，
为的直径，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
是的切线，则，又，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，，
，
，
由（1）可得，
，
，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，正弦的定义，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
26．(1)
(2)
【分析】（1）过点作轴，垂足为，证明，根据对应边成比例得，结合已知条件推出，，，可得，代入反比例函数解析式求出m值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，用含的代数式表示出，进而利用三角形面积公式列出方程，解出，即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：过点作轴，垂足为，

∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵将点代入，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：∵，
∴，
∵将，代入，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为，
∵点是线段上任意一点，轴，
设：，，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、相似三角形的判定和性质及锐角三角函数的概念，正确求出反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键．
27．(1)②④；
(2)见解析；
(3)或．
【分析】（1）由矩形和正方形的性质可直接求解；
（2）由“”可证，可得，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：矩形、正方形的对角线相等，
矩形和正方形是“等角线四边形”，
故答案为②④；
（2）证明：连接，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
四边形是等角线四边形；
（3）当点在的上方时，如图，
是的中垂线，
，
，，，
，
四边形为等角线四边形，
，
，
；
当点在的下方时，如图，过点作，交的延长线于，
四边形为等角线四边形，
，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
综上所述：这个等角线四边形的面积为或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，理解等角线四边形的定义并运用是解题的关键．
28．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先分别求出，，根据勾股定理得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，即可求解；
（2）找出的外心P，计算，得出点D、C、F、B四点共圆，要使，且点E在直线上，则点F为直线于的交点，即当点E和点F重合，分两种情况：点E在上方，点E在下方，即可得出结论；
（3）过点E作于点H，得出，当点H，E，A三点共线时，，此时取得最小值，证明，得出则，求出，再得出所在直线的表达式为，即可得出，根据两点之间的距离公式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，则，
把代入得：，
解得：，
∴，则，
在中，根据勾股定理可得，
当时，，
∴．
（2）解：把代入得：，
∴，
令中点为P，
∵，
∴，
∵是直角三角形，
∴的外心为中点P，
∴的外接圆半径，
∵，，
∴，
∴点D、C、F、B四点共圆，
∵，点E在直线上，
∴点F为直线与的交点，即当点E和点F重合，
∵，
∴，
∴当点E在下方时，；
当点E在上方时，如图所示：
此时，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴此时点E的坐标为，
综上分析可知，点E的坐标为或；
（3）解：过点E作于点H，
∵，
∴，则，
∴，
如图：当点H，E，A三点共线时，，此时取得最小值，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则
∴，即，
解得：，
∴，
设所在直线的表达式为，
把，代入得：
，解得：，
∴所在直线的表达式为，
联立得：，
解得：，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，平行线的性质，解直角三角形的方法和步骤，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，以及掌握“胡不归”问题的解题方法．