江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（PDF版含答案）

南京师大附中 2023－2024 学年度第一学期
高二年级期末考试数学试卷
班级________ 学号________ 姓名_________ 得分_________
注意事项：
1．本试卷共 4 页，包括单选题(第 1 题~第 8 题)、多选题(第 9 题~第 12 题)、填空题(第 13 题~
第 16 题)、解答题(第 17 题~第 22 题)四部分．本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．
纸．上相应题目的答题区域内．考试结束后，交回答题纸．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 直线 x + 3y +1= 0的倾斜角为

A． B． C． D．
6 3 3 6
a
2. 若数列{ n }是等差数列，且 a4 = 2， a8 =12 ，则 a = 12
n
9 5
A．30 B． C． 20 D．
2 2
3. 若函数 f (x) = sin x + 2xf '(0) ，则 f ' (0) =
A． 3 B． 1 C．1 D．3
3a
4. 若等比数列{a }的各项均为正数，且 2
a a + a
n ，
4 ， a3 成等差数列，则
21 20 =
2 4 a18 + a17
A． 1 B．3 C．9 D． 27
5. 若定义在R 上的函数 y = x3 f '(x)的图象如图所示，则函数 y = f (x) 的增区间为
y = x3 f ' (x)
A．[0,1]
B．[0,2]
C． ( ,0]
D． ( , 2]
高二年级数学试卷 第 1 页 （共 12 页）
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x2 y2 3
6. 已知点 M 在椭圆 + =1上，点 A(0, )， B(1,0)，则MA+MB的最大值为
4 3 4
11 21
A． B． 4 C． D．5
4 4
x2 + 3x + 2, x≥ 1
7. 设 a R ，若函数 f (x) = ，关于 x 的方程 f (x) = a(x +1) 有且仅有 1 个实根，
ln ( x) , x 1
则 a 的取值范围为
A． ( , 1] [0,1] B．[ 1,0] [1,+ ) C．[ 1,1] D． ( , 1] [1,+ )
1+ 5 5a + b
8. 若数列{a }，{b 满足 n n n ，且 ，则下列结论成立的是 n n} ( ) = an Z，bn Z
2 2
A． a2 = 3 B． n
*
N ，满足bn+2 = bn+1 + 2bn
C． n *N ，满足 (a 2 a a )2 =1 D． n
*
N ，使得 a b 成立
n+1 n n+2 n n
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 设 k R ，若函数 f (x) = x3 kx2 k2x +5有且仅有一个零点，则 k 的值可以为
A． 3 B． 1 C．1 D． 2
10. 在等差数列{a }中，已知a1 = ，公差为 ，bn = cosan ，n cn = anbn ，则下列说法正确的是
n+1 1 ( 1)
n+1
A．bn = ( 1) B．b1 + b2 + b3 + + bn =
2
(2n +1) ( 1)n 1
C． c1 + c2 + c3 + + cn = D． c1 + c2 + c3 + + c2n = n
4
2 '
11. 若函数 f (x) = ，其导函数为 f (x)，则下列说法正确的是
x
1+ e
'
A．函数 f (x)没有极值点 B． f (x)是奇函数
C．点 (0,1)是函数 f (x)的对称中心 D． x R ， x[ f (x) 1]≥0
12. 过点M (4,0) 的直线与圆 (x + 2)2 + (y +5)2 = 25交于 A，B两点，在线段 AB上取一点 Q，使得
1 1 2
+ = ，则线段 MQ的长可以为
MA MB MQ
9 16 11 35
A． B． C． D．
2 3 2 6
高二年级数学试卷 第 2 页 （共 12 页）
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三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 设 S 为数列{an}的前 n项和，若 an = 3n 23，则 S 的最小值为_________ n n
14. 已知点 P 在直线 x y = 0 上，点 A(1,3) ， B(3,4) ，则当△ABP的周长取得最小值时，点P 的坐
标为___________.
2 115. 设函数 f (x) = ln(x +1) ，则满足 f (x) f (2x +1)的 x的取值范围为__________.
x
16. 设 a R ，关于 x的不等式5e4x≥4(x + a)5 恒成立，则 a的最大值为__________.
四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
设 R ，Sn是数列{an}的前 n项和.已知a1 =1，an 0
*
，当 n N 时，满足 a a = S .
n n+1 n
（1）若 = ，求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在 ，使得数列{an}为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
18．（12 分）
3
x a +1 2
设 a为正实数，已知函数 f (x) = x + ax .
3 2
（1）若函数 f (x)有且仅有 2 个零点，求 a的值；
（2）当 x [0,3]时，函数 f (x) 的最小值为 0，求 a的取值范围.
19．（12 分）
x2 y2
设 k R ，在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 =1的左焦点为 F，直线 y = k(x 2)与
2 2
双曲线的右支交于 A，B两点，与双曲线的渐近线交于 C，D两点.
（1）求 k的取值范围；
S
（2）记△AOB的面积为 S1，△CFD的面积为 S2，求 2 的取值范围.
S1
高二年级数学试卷 第 3 页 （共 12 页）
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20．（12 分）
n, n为奇数

设 S 是数列{a }的前 n项和，已知数列{a }的通项公式为an =n n n n 2
2
2 , n为偶数.
（1）是否存在正整数 n，使得an = an+1 + an+2 成立？若存在，求出 n；若不存在，请说明理由；
（2）设 R ，若存在正整数 n，使得 S2n a 成立，求 的取值范围. 2n
21．（12 分）
设抛物线 x2 = 4y的焦点为 F，点 P 在抛物线的准线上. 过点 P 作抛物线的两条切线，切点分
别为 A，B. 已知抛物线上有一动点 C，位于点 A，B之间. 若抛物线在点 C处的切线与切线 PA，PB
相交于点M，N. 求证：
（1）直线 AB经过点 F；
（2）△PMN的外接圆过定点.
22．（12 分）
a
设 a ，已知函数 x 2R f (x) = e (x 1) x .
2
（1）讨论函数 f (x) 的单调性；
a
（2）设 k Z，若 f (x)…ln x x2 + k 恒成立，求 k的最大值．
2
高二年级数学试卷 第 4 页 （共 12 页）
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南京师大附中 2023－2024 学年度第一学期
高二年级期末考试数学试卷答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C
7．A
【解答】 y = f (x) 与 y = a(x +1）两个函数的图象有且仅有一个交点 ( 1, 0) .
此时 y = f (x) 在点 ( 1, 0) 的切线为两个临界情况.
2
当 x≥ 1时， f (x) = x +3x + 2
' '
f (x) = 2x +3，则 f ( 1) =1
当 x＜ 1时， f (x) = ln( x)
' 1 '
f (x) = ，则 f ( 1) = 1
x
所以在直线绕着 ( 1, 0) 旋转的过程中，a的取值范围为 ( , 1] [0,1] .
8．C
5a + b 5 +1 5a + b 5(a + b ) + (5a + b ) 5a + b
【解答】 由题意 n n = n+1 n+1 ，则 n n n n = n+1 n+1 ，
2 2 2 4 2
则 a + b = 2a ①，5a + b = 2b ②. 将①变化为b = 2a a ③，
n n n+1 n n n+1 n n+1 n
由③可得b = 2a a ，b = 2a a 分别代入②则 a = a + a .
n n+1 n n+1 n+2 n+1 n+2 n+1 n
同理可得b = b + b .
n+2 n+1 n
令 n =1,n = 2得到 a = b =1， a =1,b = 3则 A、B错误.
1 1 2 2
对于 D选项，因为 a ，n+2 = an+1 + an b = b + b 且 a = b =1， a = 3,b =1所以当n≥2时，n+2 n+1 n 1 1 2 2
a ＜b 恒成立，D错误.
n n
2 a a = 2a a (a a )a = 2 2 2a a +a a = a +a a ,且 2n+1 n n+2 n+1 n+2 n+1 n+2 n+1 n+2 n+1 n+2 n+2 n+1 n a2 a1a3 = 1
所以 2{an+1 a a }为首项为-1.公比为-1 的等比数列，所以 C正确. n n+2
高二年级数学试卷 第 5 页 （共 12 页）
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二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求. 全部选对的得 4 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．BC 10．BCD
11．ACD
x
2 ' 2e
【解答】因为 f (x) = ， f (x) = ＞0恒成立，所以 f (x) 在R 上单调递增，即 f (x) 不
x x 2
1+ e (1+ e )
存在极值点.
x x
' 2e 2e ' '
f (x) = = = f ( x)，即 f (x)是偶函数.
x 2 x 2
(1+ e ) (1+ e )
x
2 2 2e 2
f (x) + f ( x) = + = + = 2 ，即 f (x) 关于点 (0,1)中心对称.
x x x x
1+ e 1+ e 1+ e 1+ e
因为 f (x)在R 上单调递增且 f (0) =1，所以当 x＞0 时， f (x)＞f (0) =1， x[ f (x) 1]＞0 ，
当 x = 0时， x[ f (x) 1] = 0 ，当 x＜0 时， f (x)＜f (0) =1， x[ f (x) 1]＞0 ，所以对于
x R, x[ f (x) 1]≥0 .
12． BCD
【解答】过点 M 作圆的一条切线，切点为 N. 取点 A，B 的中点为 R，设圆心到过点 M 的直线的
距离为 d (d [0,5)) .
由题意可得点 M 与圆心之间的距离为 61 .
2 2
根据圆的性质，MA MB = MN = 61 25 = 36 ，MA + MB = 2MR = 2 61 d .
1 1 2 2 MA+ MB 2MR 36 36
因为 + = ，所以 = = ，所以MQ = = .
MA MB MQ MQ MA MB 36 MR 261 d
36
当 d [0,5) 时，MQ [ , 6) .
61
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. -77 14. (3,3)
1 1 1
15. ( 1, ) ( , )
2 2 3
2 1
【解答】 f (x) = ln(x +1) ，则 f (x) 时定义域为{x | x 0}的偶函数.
x
2 1 ' 2x 1
当 x＞0 时， f (x) = ln(x +1) ， f (x) = + ＞0恒成立.
2 2
x x +1 x
高二年级数学试卷 第 6 页 （共 12 页）
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所以 f (x)在 ( , 0)上单调递减，在 (0,+ )上单调递增.
x 0
1 1 1
因为 f (x)＞f (2x +1) ，所以 2x +1 0 ，故 x 的取值范围为 ( 1, ) ( , )
2 2 3
x ＞ 2x +1
5 5
16. ln
4 4
4 x 5 5
【解答】方法一：令 g(x) = 5e ， f (x) = 4(x + a) ，其中 f (x) 可以看作 y = 4x 左右平移得到.
因为 g(x)≥f (x)在R 上恒成立，所以当 g(x) ， f (x) 具有公共切线时为临界情况.
' 4 x ' 4
因为 g (x) = 20e ， f (x) = 20(x + a) ，不妨设公共切点为 (x , y )
0 0
' '
所以 g (x ) = f (x )且 g(x ) = f (x ) .
0 0 0 0
' ' 4x 4 x
当 g (x ) = f (x )时， 20e 0 = 20(x + a) ，即 e 0 = x + a；
0 0 0 0
4x 5 x 4 5
当 g(x ) = f (x ) 时，5e 0 = 4(x + a) ，将 e 0 = x + a代入，则5(x + a) = 4(x + a) ，即
0 0 0 0 0 0
5 x 5 5 5 5
x + a = = e 0 ，即 x = ln ，则 a = x = ln .
0 0 0
4 4 4 4 4
5 5
故 a 的最大值为 ln .
4 4
1
4x 5 5 4x
方法二：因为5e ≥4(x + a) 恒成立，所以 a≤( e )5 x .
4
1 4 4x 9 4x
5
( 4x)5 '
4 '' 4
令 f (x) = e x，则 f (x) = ( )5 e 5 1， f (x) = ( )5 e 5＞0恒成立，
4 5 5
4 4x 4 4
' 4 ' 4 ' 5 4
则 f (x) = ( )5 e 5 1在R 上单调递增，且 f (0) = ( )5 1＜0， f ( ) = ( )5 e 1＞0，
5 5 4 5
4 4x0
则 ' '
5 ' 4 5
f (0) f ( )＜0，所以存在唯一一个 x ，使得 f (x ) = ( )5 e 5 1= 0，且 x = ln .
0 0 0
4 5 4
5 5 5 5 5
所以 f (x)在 ( , ln )上单调递减，在 (ln ,+ ) 上单调递增，则 f = f (ln ) = ln ,
min
4 4 4 4 4
5 5
故 a≤ ln .
4 4
高二年级数学试卷 第 7 页 （共 12 页）
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四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
（1）由 = 4，可得anan+1 = 4Sn ①，从而an+1an+2 = 4Sn+1②. ························· 2 分
②-①，可得an+1(an+2 an ) = 4an+1 . 因为an 0 ，所以an+2 an = 4 . ··············· 4 分
当n =1时，由a1 =1且anan+1 = 4Sn ，求得a2 =1.
2n 1, n为奇数；
所以，an = ··································································· 6 分
2n, n为偶数.
（2）由题设可知，a1 =1，a2 = ， a3 =1+ .
若数列{an}为等差数列，则有2a2 = a1 + a3，解得 = 2. ································· 8 分
故有，anan+1 = 2Sn ，即an+2 an = 2.
又因为a1 =1，a2 = 2 ，所以an = n ，即数列{an}为等差数列. ······················· 10 分
18．（12 分）
3
x a +1 2 ' 2
（1） f (x) = x + ax ， f (x) = x (a +1)x + a = (x 1)(x a)
3 2
' 2
①当 a = 1时， f (x) = (x 1) ≥0， f (x) 在R 上单调递增， f (x) 只有一个零点，则 a = 1不成立.
＞ '②当 a 1时，令 f (x) = 0 ，则 x =1或 x = a，且 a＞1 .
'
当 x ( ,1) 时， f (x) 0 ， f (x) 在 ( ,1) 上单调递增；
'
当 x (1, a) 时， f (x) 0， f (x)在 (1, a) 上单调递减；
'
当 x (a,+ )时， f (x) 0 ， f (x)在 (a,+ ) 上单调递增.
函数 f (x)有且仅有两个零点，且 f (0) = 0 ，所以 f (a) = 0 ，即 a = 3 .
'
③当0＜a＜1时，令 f (x) = 0 ，则 x =1或 x = a，且 a＜1 .
'
当 x ( , a)时， f (x) 0 ， f (x)在 ( , a) 上单调递增；
'
当 x (a,1) 时， f (x) 0， f (x)在 (a,1) 上单调递减；
'
当 x (1,+ ) 时， f (x) 0 ， f (x) 在 (1,+ ) 上单调递增.
1
函数 f (x)有且仅有两个零点，且 f (0) = 0 ，所以 f (1) = 0 ，即 a = .
3
1
综上所述：a的取值为 或3 .
3
高二年级数学试卷 第 8 页 （共 12 页）
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（2）由（1）可知：
①当 a = 1时， f (x)在[0,3]上单调递增，则 f = f (0) = 0 ，故 a = 1成立.
min
②当 a＞1时，
当 a≥3时， f (x)在[0,3]上单调递减，则 f = f (3)≥0，则 a≥3，故 a = 3；
min
当1＜a＜3时， f (x) 在[1, a) 上单调递减，在[a, 3]上单调递增，则 f = f (a)≥0，则1＜a＜3；
min
故1＜a≤3.
1
③当0＜a＜1时， f (x)在[0,1]上单调递减，在[0,1]上单调递增，则 f = f (1)≥0 ，则 ≤a＜1；
min
3
1
综上所述： ≤a≤3 .
3
19.（12 分）
x2 y2
=1
（1）由题设，联立方程组，可得 2 2 ，消去 y可得 (1 k
2 )x2 + 4k 2 x 4k 2 2 = 0 .

y = k(x 2)

0

2
4k
因为直线与双曲线的右支交于 A(x1,y1)，B(x1,y1)两点，所以满足 x1 + x2 = 0 ，
k
2 1
4k 2 + 2
x1x2 = 0
k
2 1
··········································································································· 4 分
解得 k 1或 k 1 . ················································································· 5 分
S 2S
（2）由题设可知，△CFD面积为△COD面积的两倍，记△COD的面积为 S3，所以 2 = 3 .
S1 S1
················································································································· 7 分
S 2S 2CD
又因为△COD和△AOB的高相同，所以 2 = 3 = . ······························· 8 分
S1 S1 AB
x2 y2
= 0
由直线与双曲线的渐近线交于 C(x3,y3)，D(x4,y4)两点，联立方程组，可得 2 2 ，消去 y

y = k(x 2)
4k 2 4k 2
可得 (1 k 2 )x2 + 4k 2x 4k 2 = 0 ，从而有 x3 + x4 = ， x x = . ······················· 10 分
k 2
3 4
1 k 2 1
2
S 2CD 2 1+ k
2 | x 2 (x + x ) 4x x
2 3
x4 | 3 4 3 4 2 2从而有， = = = = .
S1 AB 1+ k
2 | x1 x2 | (x1 + x2 )
2 4x1x 12 1+
k 2
高二年级数学试卷 第 9 页 （共 12 页）
{#{QQABAQSEggggAAJAAQhCQwlaCECQkACAAAoGQEAEoAAAyRNABAA=}#}
S
由（1）问可知， k 2 1，所以 2 (2, 2 2) . ··············································· 12 分
S1
20．（12 分）
（1）假设存在正整数 n，使得an = an+1 + an+2 .
当 n为偶数时，
n+2 2 n 2 n 2
因为 an+2=an+1+a ，所以 2 2n = 2 2 + n+1，即 2 2 = n +1.
若 n = 2 ，则左边=1，右边= 3，等式不成立；
若 n 2 ，则左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.
当 n为奇数时，
n+1 2 n 1
因为 an+2=an+1+an，所以 n+ 2 = n+ 2 2 ，即 2 = 2 2 ，所以n = 3.
综上所述：存在正整数 n，使得an = an+1 + an+2 .正整数n = 3
（2）假设存在正整数 n，使得 S a . 2n 2n
2n 2
由题意可得 a 2 n 1； 2n = 2 = 2
S2n = a1 + a2 + + a2n = (a1 + a3 + + a 2n 1) + (a2 + a4 + + a2n )
= (1+3+ + 2n 1)+ (20 + 21 + + 2n 1) = n2 + 2n 1 .
2 n
当 时， n2 + 2n n 1
n + 2 1
S 1 2 ，即 . 2n a2n
2n 1
n2 + 2n 1 (n +1)2 + 2n+1 1 n2 + 2n 1 (n 1)2 + 3
令 bn = ，则bn 1 n+1 bn = = . 2 2n+1 1 2n 1 2n
当 n≥3时，bn+1 bn 0；当1≤n≤2时，bn+1 bn 0 .
则当 n = 3时，b 取得最大值，b . n 3 = 4
所以 4 .
21．（12 分）
1 1
（1）由题意，设 f (x) = x2 ，点 P(t, 1) ， A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，则 kPA = f '(x1) = x1 ，直线 PA
4 2
1
的方程为 y y1 = (x x1) ，且 x
2
1 = 4y1，化简得 x1x = 2y1 + 2y ①.
2
同理可得，切线 PB的方程为 x2 x = 2y2 + 2y ②. ··············································· 2 分
又因为切线 PA过点 P，所以有 x1t = 2y1 2；同理可得 x2t = 2y2 2 .
所以，直线 AB的方程为 tx = 2y 2，又点 F的坐标为(0,1)，故直线 AB经过点 F.
··········································································································· 4 分
（2）设点C(x0 , y0 ) ，由（1）问可知在点 C处的切线方程为 x0 x = 2y0 + 2y .
高二年级数学试卷 第 10 页 （共 12 页）
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x1x = 2y1 + 2y联立方程组，得 且 x 2
x + x x x
1 = 4y ，解得点M的坐标为 (
1 0 , 1 0 ) ，同理解得点 N的
1
x0 x = 2y0 + 2y 2 4
x + x x x
坐标为 ( 2 0 , 2 0 ) . ····················································································· 6 分
2 4
由（1）问可知，直线 AB 经过点 F，所以 PA⊥ PB，故线段 MN 即为△PMN 的外接圆的直径.
················································································································· 7 分
x2 = 4y
联立方程组 ，消去 y可得 x2 = 4(kx +1)，从而有 x1 + x2 = 4k ， x1x2 = 4 .
y = kx +1
··········································································································· 9 分
x + x x x x + x x x
因为 FM = ( 1 0 , 1 0 1)， FN = ( 2 0 , 2 0 1)，
2 4 2 4
x + x x x x + x x x x 2 2
FM FN = ( 1 0 , 1 0 1) ( 2 0 , 2 0 1) = 1
x2 + x0 (x1 + x2 ) + x0 x1x2x0 x+ 0
(x1 + x2 ) +1
2 4 2 4 4 16 4
将 x + x = 4k ， x x = 4 代入上式，可得 FM FN = 01 2 1 2 ，所以△PMN的外接圆过定点 F.
······················································································································ 12 分
22．（12 分）
' x x
（1） f (x) = e x ax = x(e a)
'
①当 a≤0时，令 f (x) = 0 ，则 x = 0，所以
'
当 x ( , 0) 时， f (x) 0， f (x)在 ( , 0)上单调递增；
'
当 x (0,+ ) 时， f (x) 0 ， f (x)在 (0,+ )上单调递减.
②当0 a 1时， ln a 0 ，所以
'
当 x ( , ln a) 时， f (x) 0 ， f (x) 在 ( , ln a) 上单调递增；
'
当 x (ln a, 0) 时， f (x) 0， f (x)在 (ln a, 0) 上单调递减；
'
当 x (0,+ ) 时， f (x) 0 ， f (x)在 (0,+ )上单调递增.
'
③当 a = 1时， ln a = 0， f (x) 0 ，则 f (x)在 ( ,+ ) 上单调递增.
④当 a 1时， ln a 0，所以
'
当 x ( , 0) 时， f (x) 0 ， f (x)在 ( , 0)上单调递增；
'
当 x (0, ln a) 时， f (x) 0， f (x)在 (0, ln a)上单调递减；
'
当 x (ln a,+ )时， f (x) 0 ， f (x)在 (ln a,+ ) 上单调递增.
综上所述：当 a≤0时， f (x)在 ( , 0)上单调递增， (0,+ )上单调递减；
当 0 a 1时， f (x)在 ( , ln a)上单调递增， (ln a, 0) 上单调递减， (0,+ )上单调递增；
当 a = 1时， f (x)在 ( ,+ ) 上单调递增；
高二年级数学试卷 第 11 页 （共 12 页）
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当 a 1时， f (x)在 ( , 0)上单调递增， (0, ln a)上单调递减， (ln a,+ ) 上单调递增.
x 1
（2） ' xg(x) = e (x 1) ln x定义域为 (0,+ ) ， g (x) = e x .
x
x 1 1 1设 h(x) = e x ，则
x
h(x) = e (x +1) + 0 恒成立，则
x
h(x) = e x 在 (0,+ )上单调递增.
2
x x x
3 3
3 3 5 3 3 4
又 h( ) = e5 0， h( ) = e4 0 .
5 5 3 4 4 3
3 3 3
3 5 25 25
【理由： e5 e5 ，而 e5 e < 2.72 < ；
5 3 9 9
3 3
3 4 16 3 164 4 3 16 4e e4 e ( ) 而 e 16 ( ) 】
4 3 9 9 9
3 3 x 1
所以存在唯一 x ( , ) ，使得 h(x ) = e 0 x = 0，且 g(x) 在 (0, x ) 上单调递减，在 (x ,+ )上
0 0 0 0 0
5 4 x
0
单调递增.
x 1 x 1 1 x 1 x
因为 h(x ) = e 0 x = 0，所以 e 0 = ， x = ln = 2 ln x ，即 e 0 = 且 ln x = 0 .
0 0 2 0 2 0 2 0
x x x x
0 0 0
2
0
x x 1 x
所以 g(x) = g(x ) = e 0 (x 1) ln x = 0 + 0 .
min 0 0 0 2
x 2
0
3 3
x 1 x x + 2x 2 ' x 2x + 2
令 M (x) = + = ，则M (x) = .
2 2 3
x 2 2x 2x
3
3 3 ' x 2x + 2
当 x ( , )，M (x) = 0恒成立，
3
5 4 2x
3 3 3 73 3 5 73 5
所以M (x) 在 ( , )上单调递增，且M ( ) = ，M ( ) = ，所以M (x ) ( , )
0
5 4 5 90 4 72 90 72
所以整数 k的最大值为 1．
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