宁夏固原市第一中学2015届高三第二次月考数学（理）试题

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固原一中2014-2015年度第二学期第二次月考
高三数学（理科）试卷
命题：赵志禄 审题：徐志君
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合,则集合的所有真子集的个数为（ ）
512 256 255 254
（2）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）
的共轭复数为 的虚部为
（3）已知为等比数列，，，则（ ）
（4）已知图象不间断函数是区间上的单调函数，且在区间上存在零点.上图是用二分法求方程近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择：21·世纪*教育网
①；②；
③；④ .
其中能够正确求出近似解的是（ ）
①④ ②③ ①③ ②④ 21世纪教育网
（5）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）www-2-1-cnjy-com
（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.95 ( http: / / www.21cnjy.com )，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
（A）50 （B）100 （C）150 （D）200
（7）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）402-1-c-n-j-y
（8）设、是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）　　21*cnjy*com
（9）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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（10）已知，函数在上单调递减。则取值范围是（ ）
（11）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为的线段，则的最大值为（ ）【出处：21教育名师】
（12）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）已知向量夹角为 ，且；则
（14）设满足约束条件：；则的取值范围为
（15）若，是第三象限的角，则
（16）函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则 的解集为
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三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知分别为三个内角的对边，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，的面积为；求.
（18）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是正方形,,,且,,.
（Ⅰ）若与交于点,求证:；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.
（19）（本小题满分12分）某班同学利用节假日进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
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（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；
（Ⅱ）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望.21教育网
（20）（本小题满分12分）
已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；
（Ⅲ）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21cnjy.com
（21） （本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当，且时，证明：.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.www.21-cn-jy.com
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形是⊙的内接四边形，延长和相交于点，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若为⊙的直径，且，求的长．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程[21世纪教育网]21世纪教育网
已知圆锥曲线 (是参数)和定点，、是圆锥曲线的左、右焦点。
（Ⅰ）求经过点垂直于直线的直线的参数方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
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固原一中2014-2015年度第二学期第二次月考
高三数学（理科）试卷答案
命题：赵志禄 审题：徐志君
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
17（1）由正弦定理得：
（2）
解得：
（18）（本题满分12分）
证明：（Ⅰ）如图，取中点，连，，在中，因为分别是的中点，所以，且， 又由已知得，，且， 所以，所以四边形是平行四边形，所以
又，所以 ………3分
（Ⅱ）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系
则，，
，，………2分
所以，
，
所以，
且 所以， ；
又，所以 ………4分
（Ⅲ） 设平面的法向量为
由（Ⅱ）知，
所以，令，得 ………2分
又平面的法向量为 ………3分
设二面角的大小为，是锐角
则
所以二面角的余弦值为 ………5分
19.解：（Ⅰ）第二组的频率为，所以高为.频率直方图如下：
( http: / / www.21cnjy.com ) ------------2分
第一组的人数为，频率为，所以.
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以.
第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以.-------------------------------5分[来源:21世纪教育网]21世纪教育网版权所有
（Ⅱ）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，所以采用分层抽样法抽取18人，岁中有12人，岁中有6人.- ------------------------------6分21·cn·jy·com
随机变量服从超几何分布.，，
，. -------------------------------10分
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3
∴数学期望.-------------12分
20.解:（1）由， ，得，，
所以椭圆方程是：……………………3分
（2）设EF：（）代入，得，
设，，由，得.
由，……………………5分
得，，（舍去），（没舍去扣1分）
直线的方程为：即……………………6分21世纪教育网
（3）将代入，得（*）
记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得.………………10分
解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件.…………12分
21（I），∴2分对，，故不存在实数m，使对恒成立，4分
由对恒成立得，≥对恒成立
而＜0，故m≥0；经检验，当m≥0时，对恒成立
∴当m≥0时，f（x）为定义域上的单调递增函数． ---------- 6分
（II）当m = 1时，令，，
在[0，1]上总有≥0，即在[0，1]上递增；∴当时，，
即 ① ------------------9分
令，
,知h(x)在[0，1]上递减，∴
即②-----------------------------11分
由①②知,当时，.---------------12分
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：22. (Ⅰ)由，，得与相似，
设则有，
所以
(Ⅱ)，
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）圆锥曲线化为普通方程，
所以F1（-1，0），F2（1，0），则直线AF2的斜率，于是经过点F1垂直于直线AF2的直线l的斜率，直线l的倾斜角是30°，所以直线l的参数方程是（t为参数），即（t为参数），2·1·c·n·j·y
（2）直线AF2的斜率，倾斜角是120°，设是直线AF2上任一点，
则，，则
（24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲
（Ⅰ）原不等式等价于
或----------3分
解，得
即不等式的解集为 -------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ） -------------------------------8分
-----------------------------------------------10分
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