宁夏固原市第一中学2015届高三第二次月考数学（文）试题

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固原一中2015届高三第二学期第二次月考
数学试题（文）
命题：陈永文 审题：孙荣
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的21世纪教育网版权所有
1．设集合，则等于（ ）21世纪教育网
A． B． C． D．
2．若复数Z，是虚数单位）是纯虚数，则Z的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．一个单位有职工800人，其中具有高级 ( http: / / www.21cnjy.com )职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（　　）
A. 12，24，15，9 B. 9，12，12，7 C. 8，15，12，5 D. 8，16，10，6
4．下列说法正确的是（ ）
A．命题“使得 ”的否定是：“”
B．“”是“在上为增函数”的充要条件
C．“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件
D．命题p：“”，则p是真命题
5．已知数列的前项和为，且满足，，则＝(　　)
A．7 B． 12 C．14 D．21
6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A．3
B．11
C．38
D．123
7．直线：与圆M：相切，则的值为 (　　)
A．1或－6 B．1或－7 C．－1或7 D．1或
8．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D.
9. 已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
11．若均为单位向量，， ，则的最大值是（ ）
A． B. C． D.
12．函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。2·1·c·n·j·y
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,满分20分．[来源:21世纪教育网]
13.抛物线的准线方程是 .
14.已知函数（>0, ）的图象
如右图所示，则= .
15. 设，满足约束条件 则的最大值是 .
16.方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在R上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是R；④若函数和的图像关于原点对称，则函数的图像就是方程确定的曲线. 其中所有正确的命题序号是 .
三、解答题：本大题共五小题 ,满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.[来
17.（本小题满分12分）在等比数列中，.
（1）求等比数列的通项公式；
（2）若等差数列中，，求等差数列的前项的和，并求的最大值.
18.（本小题满分12分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：
（1）求频率分布直方图中的值；
(2) 分别求出成绩落在中的学生人数；
（3）从成绩在的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在中的概率．

19．（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点．
（1）若，求证：平面平面；
（2）点在线段上，，试确定的值，使平面；
20. （本小题满分12分）已知函数.
（1）当时，求函数图象在点处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的单调性；
（3）是否存在实数，对任意的恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
21. （本题满分12分）已知抛物线（）的准线与轴交于点．[来源:21世纪教育网]
（1）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；
（2）是否存在过焦点的直线（直线与抛物线交于点，），使得三角形的面积等于？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
四、选考题：从22-24三题中选一题，多做则按所做第一题给分，满分10分
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形是⊙的内接四边形，延长和相交于点，， .
（1）求的值；
（2）若为⊙的直径，且，求的长．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.
（1）判断直线与曲线的位置关系；
（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若存在实数，使得，求实数的取值范围．
参考答案
ACDBC BBADB DA
11.【答案】【解析】A解析：因为均为单位向量，所以，整理可得，即，所以的最大值是2，故选择D.21世纪教育网
12.【答案】【解析】Ａ解析：若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，等价为有四个不相等的实数根，即函数和，有四个不相同的交点，∵，∴函数的周期是2，
当时， ，此时， ∵是定义在R上的偶函数，∴，即，，
作出函数和的图象，如下图：【来源：21·世纪·教育·网】
当经过时，两个图象有3个交点，此时，解得；
当经过时，两个图象有5个交点，此时，解得，
要使在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则，故选择Ａ．21·世纪*教育网
【思路点拨】由得到函数的周期是2，利用函数的周期性和奇偶性作出函数的图象，由等价为有四个不相等的实数根，利用数形结合，即可得到结论．2-1-c-n-j-y
13. 14. 15. 2 16. ①②③
16.【答案】【解析】D解析：根据题意画出方程的曲线即为函数的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形
从图形中可以看出，关于函数的有下列说法：
①在R上单调递减；正确．
②由于即，从而图形上看，函数的图象与直线没有交点，故函数不存在零点；正确．③函数的值域是R；正确．　　21*cnjy*com
③函数的值域是R；正确.
④根据曲线关于原点对称的曲线方程的公式，可得若函数和的图象关于原点对称，则用分别代替，可得就是表达式，可得，则的图象对应的方程是，说明④错误
17.（本小题满分12分）
解：（1）在等比数列中，设公比为，
因为 ,
所以 得
所以 数列的通项公式是 . ……………4分
（2）在等差数列中，设公差为.[来源:21世纪教育网]
因为 ,
所以 ……………8分
方法一
，
当时，最大值为72. ……………12分
方法二
由,当,解得,即
所以当时，最大值为72. ……………12分
18.（本小题满分12分）
解：（I）由题意，. ………3分
（II）成绩落在中的学生人数为，
成绩落在中的学生人数
成绩落在中的学生人数. ……………6分
（III）设落在中的学生为，落在中的学生为，
则，基本事件个数为 ，
设A＝“此2人的成绩都在”，则事件A包含的基本事件数，
所以事件A发生概率. ……………12分 21教育网
19.【答案】（1）证明详见解析;（2）.[来源:21世纪教育网]
【解析】解析：(1)连四边形菱形, ，
正三角形, 为中点,
的中点,
又平面平面
∴平面平面
(2)当时,平面
下面证明,若平面,连交于
由可得,,
平面,平面,平面平面,
即: ; www-2-1-cnjy-com
【思路点拨】（1）由已知条件可证根据平面与平面垂直的判定定理即可求证平面平面
（2）连结交于，由可证,即得,由直线与平面平行的性质，可证,即得，所以即.
20. 解　f′(x)＝x－＋a－1＝……1分
(1)当a＝1时，f′(x)＝，f′(1)＝0，
∴所求的切线方程为y－f(1)＝－2(x－1)，又f(1)＝ 即y＝. ……4分
(2)①当－a＝1，即a＝－1时， f′(x)＝，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当－a<1，即－11时，f′(x)>0；－af(x)在(0，－a)，(1，＋∞)上单调递增，在(－a,1)上单调递减；
③当－a>1，即a<－1时，∵0－a时，f′(x)>0；
1(3)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1f(x1)－ax1成立，21·cn·jy·com
令g(x)＝f(x)－ax＝x2－aln x－x，则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴g′(x)＝x－－1≥0，
即a≤x2－x＝(x－)2－在(0，＋∞)上恒成立．
∴a≤－，故存在这样的实数a满足题意，
其范围为. …………12分
21. 【答案】解：
( http: / / www.21cnjy.com )9分
又，∴ ………………………………10分
解得， ………………………………………………………11分21世纪教育网
故直线的方程为：．即或．……………12分
解法二：（Ⅰ）（同解法一）
（Ⅱ）当轴时，，，
不符合题意． ……………………………………………………5分
故设（），并与联立，
得到方程：， …………………………6分
设，，则，． ………………7分
，
点到直线的距离为， …………9分
∴,…10分
解得， …………………………………………11分
故直线的方程为：．即或………12分
22. (Ⅰ)由，，得与相似，
设则有，[来源:21世纪教育网]
所以 ………………………………5分
(2)，………………………………10分
23.解：(Ⅰ)直线 的普通方程为
曲线的直角坐标系下的方程为
圆心到直线的距离为
所以直线与曲线的位置关系为相离. ……………5分
(Ⅱ)设，
则.……………10分21世纪教育网
24. (Ⅰ)① 当时，，所以21世纪教育网
② 当时，，所以为
③ 当时，，所以
综合①②③不等式的解集为……………5分
(Ⅱ)即
由绝对值的几何意义，只需…………………10分
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