四川省成都市第七中学2023-2024学年高三上学期期末测试理科数学试题（含答案）

成都市第七中学2023-2024学年高三上学期期末测试
数学（理科2024.1.20）
第I卷（选择题）
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“为第一象限角”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设，，则（ ）.
A. B. C. D.
4.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下列联表（部分数据缺失）：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合计
注射疫苗 10 50
未注射疫苗 30 50
合计 30 100
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
计算可知，根据小概率值______的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”（ ）
附：，.
A.0.001 B.0.05 C.0.01 D.0.005
5.若方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6.在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图1是函数的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中的部分图象，则（ ）
图1 图2
A.
B.的解集为，
C.
D.方程有4个不相等的实数解
8.已知在等腰中，，，点在线段上，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转得到的，设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则下列结论不正 的是（ ）
A.存在点，使得
B.存在点，使得
C.存在点，使得平面
D.存在点，使得直线与平面的所成角为
10.定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
11.若抛物线的焦点为，点、在抛物线上，且，弦的中点在准线上的射影为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（ ）个.
①；②的取值范围为；
③的取值范围为；
④的最小值为
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13.已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为______.
14.交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等.某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周.若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该四锥的底面半径为；则该圆锥的侧面积为______（交通锥筒的原度忽略不计）.
图 图2
15.双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为______.
图① 图②
16.如图，球的内接八面体中，顶点，分别在平面两侧，四棱锥，均为正四棱锥，设二面角的大小为，则的取值范围是______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.数列的前项和，
（1）求数列的通项公式：
（2）若，求数列的前项和.
18.近期，成都某中学高一、高二年级举行数学思维导图设计大赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数情况如表，其中一等奖代表队比三等奖代表队多10人.为使颁奖仪式有序进行，同时气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中二等奖代表队有5人（同队内高一、高二仍采用分层抽样）
获奖年级 一等奖代表队 二等奖代表队 三等奖代表队
高一 30
高二 30 20 30
（1）完成表格；
（2）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取3人上台领奖，用表示高二上台领奖的人数，求.
（3）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生内的两个均匀随机数，，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的程序.若电脑显示“中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖.求代表队队员获得奖品的概率.
19.边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且.
（1）证明：平面平面；
（2）设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围.
20.已知椭圆过点，点心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，时，在线段上取点，满足，，求线段长的最小值.
21.设函数，.
（1）①当时，证明：；
②当时，求的值域；
（2）若数列满足，，，证明：.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式.现有一个标准的铅球场地如图，若场地边界曲线分别由两段同心圆弧，和两条线段，四部分组成，在极坐标系中，，，，三点共线.，点在半径为1的圆上.
（1）分别写出组成边界曲线的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；
（2）若需设置一个距边界曲线距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域，如图，求警示区域所围的最小面积.（注：，）
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，对任意正实数，恒成立，求实数的取值范围.
数学（理科解析2024.1.20）
CBDBD CBBBA CB
11.【详解】
如图所示，由题意得，
，
当且仅当：时，有最大值.
12.【详解】在中，由正弦定理可将式子化为，
把代入整理得，，
解得或，即或（舍去），所以，故A错误；
选项B：因为为锐角三角形，，所以，
由解得，故B错误；
选项C：，因为，
所以，，
即的取值范围为，故C正确；
选项D：，
当且仅当即时取等，
但因为，所以，，无法取到等号，故D错误.
13.； 14.； 15.； 16.
15.【详解】由题可知，，共线，，，共线，
设，，则，由得，，
又，所以，，
所以，所以，
由得，
因为，故解得，则，
在中，，即，所以.
16.【详解】设与平面的交点为，且为正方形的中心，
取中点为，连接，，，则，，，如图所示.
设二面角的大小为，二面角的大小为，
则，，
设球心到平面的距离为，球的半径为1，
则，，
，，，
.
17.解析：（1）因为，所以当时，，所以，
当时，，所以，
整理可得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）有，所以，
错位相减可得：
，
令；
错位相减可得：
所以，
所以.
所以.
18.【详解】（1）由表可知，二等奖代表队共50人，
设代表队共有人，，解得，
设一等奖代表队高一人数为，，
解得，故填30，20.
（2）由（1）得三个代表队中前排就坐的比例是按照一等奖：二等奖：三等奖，
所以一等奖被抽取的人数为，
又同队内高一、高二仍采用分层抽样，所以故前排就坐的16人中一等奖代表队有3名高一的学生，3名高二的学生，则的取值为：、、、，则
（3）试验的全部结果所构成的区域为，面积为，
设事件表示代表队队员获得奖品，则其所构成的区域为，
如图，阴影部分的面积，
这是一个几何概型，所以，
故求代表队队员获得奖品的概率为.
19.【详解】（1）在正方形中，
面面，面，面面，
面，面，，
在以为直径的半圆上，，
又，，面，面，
又面，面面，
（2），，
又，为二面角的平面角，，同理.
在梯形中，.
取的中点，以为轴正半轴，以平行于的方向为轴正半轴，以平面内垂直于的方向为轴正半轴，建立如图空间直角坐标系：则，，，，
设，，则，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
设直线和平面所成角为，
则，
设，则，
令，，当时，，
当时，，令，，
任意，，
因为，所以，，，
所以，所以在上为减函数，
故，所以，所以，
所以，
所以直线和平面所成角的正弦值的取值范围.
20.【解析】（1）根据题意，解得，，
椭圆的方程为.
（2）设，，，
由，，得，
，，，
又，，，点在直线上，
.
21.【详解】（1）①在恒成立，
故在上单调递增，故，证毕；
②，恒有，
故为偶函数，当时，，
由①可知，在上恒成立，
又，故在上恒成立，
故在上单调递减，故，
，结合函数在上为偶函数可得，函数值域为；
（2）因为，，
所以，
其中，故只需证明，，
因为，，所以，
由（1）可知，
上式两边取倒数得，故，
于是，，所以.
22.【详解】（1）解：由题意，以为原点，的垂直平分线为极轴建立极坐标系，
线段，线段，
弧，弧；
（2）解：求警示区域最小值即让内界线到距离恰好为1，
设矩形长为，则（包括弧长半径、圆半径、两边距距离），
矩形宽为，则，，，
所以.
23.【详解】（1）由已知可得，，
则，即，
解得，故解集为.
（2）因为，且为正实数，，
当且仅当，即时等号成立.
因为对任意正实数，恒成立，
所以，即，即.
当时，不等式化为恒成立；
当时，不等式化为，
解得，又，所以不等式解集为；
当时，不等式化为，显然不等式无解.
综上，不等式解集为.