(共20张PPT)
19．1 矩形
19．1.1 矩形的性质
第1课时 矩形的性质
1．(3分)已知四边形ABCD，若AB∥CD，AD∥BC，且∠A＝90°，则四边形ABCD为_______，由此可知，该类图形具有平行四边形的所有性质.
2．(3分)矩形有_______条对称轴，通过对边_______的直线就是它的对称轴．
矩形
2
中点
C
4．(3分)如图，在矩形ABCD中，点E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
A
5．(8分)如图，在矩形ABCD中，点M，N在边AD上，且AM＝DN，求证：BN＝CM.
6．(3分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则图中有______个直角三角形，对角线AC______BD，且AC与BD互相______，因此，图中有______个等腰三角形，当∠ABO＝60°时，图中有______个等边三角形．
4
＝
平分
4
2
7．(3分)下列说法不正确的是( )
A．矩形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．矩形的对角线互相垂直
8．(3分)在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
D
A
9．(3分)(教材P99例1变式)如图，已知矩形ABCD的周长为56(AB12
16
10．(8分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠AOB＝56°，求∠EAB的度数．
C
B
二、填空题(每小题6分，共12分)
13．(上蔡县校级期末)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，若∠ADB＝40°，则∠E的度数为________．
20°
14．(易错题)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C落在AD上，若AB＝3，BC＝5，则CF的取值范围为______________________．
三、解答题(共36分)
15．(10分)如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
求证：BE＝CF.
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，∴BO＝CO.∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°.又∵∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF(AAS)，∴BE＝CF
16．(12分)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连结AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
【素养提升】
17．(14分)(动态探究)如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t s表示移动的时间(0≤t≤6).
(1)当t为何值时，△QAP为等腰三角形；
(2)求四边形QAPC的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．(共23张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
19．1 矩形
19．1.1 矩形的性质
第1课时 矩形的性质
C
C
5
C
B
4
4
A
6
A
a
1
B
D
2
C
b
A
F
D
B
E
C
A
D
B
E
C
D
F
C
A
E
B
A
D
O
B
C
A
D
O
B
C
A
D
O
E
B
C
D
E
F
O
B
C
A P
D
O
B
C
A
E
D
O
B
F
C
P
A
D
2
B
C
D
B
E
C
H
N
D
E
O
C
B
N
D
E
A
C
B(共10张PPT)
19．1 矩形
19．1.1 矩形的性质
第2课时 矩形性质的应用
1．(4分)在矩形ABCD中，对角线AC＝10 cm，AB∶BC＝4∶3，则它的周长为( )
A．14 cm B．20 cm C．28 cm D．30 cm
2．(4分)(连云港中考)如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′处．若∠DBC＝24°，则∠A′EB等于( )
A．66° B．60° C．57° D．48°
C
C
3．(4分)(易错题)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连结PB，PD.若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为( )
A．10 B．12 C．16 D．18
C
4．(12分)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠EAC＝15°.
(1)求∠ACE的度数；
(2)若AB＝6，求AC长．
C
6．(10分)(教材P100例2变式)如图所示，在矩形ABCD中，E是AB的中点，DF⊥CE于点F，若AD＝12，AB＝10，求DF的长．
【素养提升】
7．(12分)如图，矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，P是AD上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE＋PF的长．(共21张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
19．1 矩形
19．1.1 矩形的性质
第2课时 矩形性质的应用
A
D
C
C
C
B
3
45°
D
A
E
C
27°
B
D
B
F
P
B
A
E
D
F
B
C
A
F
D
G
B
E
C
A
、ED
G
李
B
C
D
F
B
E
C(共17张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
19．1.2 矩形的判定
19．1 矩形(共18张PPT)
19．1 矩形
19.1.2 矩形的判定
1．(4分)(甘肃中考)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是__________________________．
∠A＝90°(答案不唯一)
2．(4分)如图，有一个四边形次品工件框架ABCD需要进行矫正，其中AB＝CD，AD＝BC，∠DAB＝62°，若固定AB边，同时转动AD和BC边，则需要转动______才能将工件矫正为矩形．
28°
3．(4分)在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角
D．测量一组对角是否都为直角
C
4．(4分)如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.则四边形EGFH( )
A. 是梯形
B．是平行四边形但不是矩形
C．是矩形
D．不是平行四边形
C
5．(4分)如图，四边形ABCD的对角线相互平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是____________________．
AC＝BD(答案不唯一)
6．(4分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知△OAB是等边三角形，且AB＝1.这个平行四边形_____矩形(选填“是”或“不是”)，S四边形ABCD＝_______．
是
7．(4分)已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，小明按如下步骤作图：①分别以点A，点C为圆心，适当长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连结MN交AC于点O；②连结BO并延长，以O为圆心，BO长为半径作弧，交射线BO于点D；③连结DA，DC，则四边形ABCD为__________．
矩形
8．(12分)(伊川县期中)如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点F，使得CF＝CD，连结AF，BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB＝CD，AD＝BC，∵CF＝CD，∴CF＝AB，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AD＝AF，∴BC＝AF，∴平行四边形ABFC是矩形
一、填空题(每小题8分，共16分)
9．如图所示，已知平行四边形ABCD，下列条件①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC，能说明平行四边形ABCD是矩形的有__________．
①④
10．(安顺中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连结MN，则线段MN的最小值为__________．
二、解答题(共44分)
11．(12分)如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCDE是矩形．
证明：连结EC，BD，易证△ABE≌△ACD，∴EB＝DC.又∵ED＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形．又易证△AEC≌△ADB，∴EC＝DB.∴四边形BCDE是矩形
12．(16分)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连结CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
【素养提升】
13．(16分)如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，∠ACD的平分线于点E，F.
(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(2)连结AE，AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．(共21张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
19．1 矩形
19．1.2 矩形的判定
B
∠BAC＝90°
D
矩
D
B
①②⑥
③④⑥(答案不唯一)
D
2
1
O
B
F
E
B
D
C
D
M
C
B
A
D
E
B
F
C
A
H
B
G
F
B
C
A
D
B
E
C
A
D
C
A
B
M
N
B
D
C
A
D
E
B
C
F
A
F
P
G
B
B
C(共19张PPT)
19.1 矩 形
第1课时 矩形的性质
知识点1：矩形的定义
1．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD成为矩形，则还需要的条件是 ( )
A．∠B＝90° B．AD＝BC
C．AD∥BC D．AD∥BC且∠A＝90°
D
2．如图所示，将直角尺靠紧平行四边形窗框的一个角，调整边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格．这时窗框是矩形，其根据是：__________________________________．
有一个角为直角的平行四边形是矩形
知识点2：矩形角的性质
3. 如图， 矩形ABCD中，M为CD的中点， 分别以B，M为圆心， 以BC长，MC长为半径画弧，两弧相交于点P, 若∠PBC＝70° , 则∠MPC的度数为 ( )
A．55° B．40° C．35° D．20°
C
4．(十堰中考)“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝______°.
110
知识点3：矩形对角线的性质
5．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是 ( )
A．8个
B．6个
C．4个
D．2个
C
3
34cm
第6题图
第7题图
8．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，CE∥DB交AB的延长线于点E，求证：AC＝CE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AB∥CD，即BE∥CD.
∵CE∥DB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝CE，∴AC＝CE
D
D
11．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE，其中正确结论有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
12．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为____．
6
14．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，过点O作EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F，求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB.
∵点O为矩形ABCD对角线的交点，
∴OA＝OC，又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形
15．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连结EC，连结AP并延长AP交CD于点F，连结BP，交CE于点H.
(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状并说明理由；
(2)求证：四边形AECF为平行四边形．
解：(1)△PBC是等边三角形．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.∵沿EC对折矩形ABCD，使点B落在点P处，∴PC＝BC，∴△PBC是等边三角形
(2)∵根据折叠得出△EBC≌△EPC，∴BE＝PE，∴∠1＝∠2.∵E为AB的中点，∴BE＝AE，∴AE＝PE，∴∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝90°，∴BP⊥AF.∵沿EC对折矩形ABCD，使点B落在点P处，∴BP⊥CE，∴AF∥CE.∵四边形ABCD为矩形，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形(共21张PPT)
19.1 矩 形
第2课时 矩形性质的应用
知识点1：利用矩形的性质计算角的度数
1．如果矩形的两条对角线所夹锐角为44°，那么对角线与相邻两边所夹的角的度数分别是 ( )
A．22°，68° B．44°，66°
C．24°，66° D．40°，50°
2．在矩形ABCD中，过点D作DE⊥AC于点E.若∠ADE∶∠EDC＝3∶2，则∠BDE的度数为 ( )
A．36° B．9°
C．27° D．18°
A
D
3．如图，在矩形ABCD中，连结AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连结DE.若∠BAC＝40°，则∠E的度数是 ______
65°
B
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10.以点B为圆心，线段BA的长为半径画弧，交BC于点E；以点D为圆心，线段DA的长为半径画弧，交BC于点F.求EF的长．
解：连结DF，由题意，知AD＝DF＝10，AB＝CD＝BE＝6，在Rt△DCF中，由勾股定理，得CF＝8，∴EC＝4，∴EF＝4
A
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝5，则矩形ABCD的面积为 _____．
32
6 cm2
C
11．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E.若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中等腰三角形(虚线也视为角的边)共有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
B
12．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF，则AE的长为 ____．
3
13．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点．
求证：(1)四边形AFCE是平行四边形；
(2)EG＝FH.(共20张PPT)
19.1 矩 形
第3课时 矩形的判定
知识点1：有一个角为直角的平行四边形是矩形
1．如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是 ( )
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
C
2．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线的长度也在发生改变．当∠α为 _____ 度时，两条对角线的长度相等．
90
知识点2：有三个角为直角的四边形是矩形
3．下列说法：①有三个角是直角的四边形是矩形；②四个角都相等的四边形是矩形；③对角互补的平行四边形是矩形；④两个角是直角的四边形是矩形．其中正确的个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为∠APQ，∠BPQ，∠CQP，∠DQP的平分线，则四边形PMQN是 _______．
C
矩形
5．如图，BF，BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE于点E，AF⊥BF于点F，求证：四边形AEBF是矩形．
知识点3：对角线相等的平行四边形是矩形
6．(聊城中考)要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是 ( )
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
7．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定四边形ABCD是矩形的是 ( )
A．AO＝CO，BO＝OD B．AB＝BC，AO＝CO
C．AO＝CO＝BO＝DO D．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥DB
C
C
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E，F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
(1)AD与BC有何等量关系？请说明理由；
(2)当AB＝CD时，求证： AEFD是矩形．
9．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为 ( )
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
C
10．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MB，PF⊥MC，当AB，BC满足条件 ________________________ 时，四边形PEMF为矩形．
11．(2023·内江)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：FA＝BD；
(2)连结BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．
证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，又∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC，又∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD
(2)∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形ADBF是矩形
12．(巴中中考)如图， ABCD中，E为BC边的中点，连结AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连结DG，DE，FG.
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
13．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线CE于点E，交∠BCA的邻补角∠ACD的平分线CF于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF为矩形？并证明你的结论．
