(共19张PPT)
19.2 菱形
19．2.1 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
1．(3分)已知四边形ABCD，若AB∥CD，AD∥BC，且AB＝BC，则四边形ABCD为_______，由此可知，该类图形具有平行四边形的所有性质.
2．(4分)菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有_______条对称轴，其对称轴为______________________．
菱形
2
对角线所在的直线
3．(3分)(贵阳中考)如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
A
4．(3分)(河北中考)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝( )
A．30° B．25° C．20° D．15°
D
5．(8分)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连结AE，AF.求证：AE＝AF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE＝AF
6．(3分)菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角相等且互补 B．对角线互相平分
C．一组对边平行且相等 D．对角线互相垂直
7．(4分)(河南月考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AC＝6 cm，BD＝8 cm，则菱形ABCD的面积是_______cm2，周长为_______cm.
D
24
20
8．(4分)如图，在菱形ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，若∠CAB＝62°，则∠ADO等于_______．
28°
9．(8分)(教材P112练习T3变式)如图，菱形ABCD的周长为8，两个相邻内角∠BAD与∠ADC的度数之比为1∶2，求该菱形的面积．
一、选择题(每小题6分，共12分)
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连结DF，则∠CDF等于( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
B
C
二、填空题(每小题6分，共12分)
12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝_______°.
115
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，OC＝3，则AH＝__________．
三、解答题(共36分)
14．(10分)(南充中考改)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N.求证：ME＝NF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，又∵BE＝BF，∴AE＝CF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，由DA＝DC知∠DAM＝∠DCN，∴∠DMN＝∠DNM，∴DM＝DN，∴DE－DM＝DF－DN，∴ME＝NF
15．(12分)菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若BE＝10，BD＝6，求菱形ABCD的面积．
【素养提升】
16．(14分)(潢川县期末)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合．
(1)求证：BE＝CF；
(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．(共22张PPT)
19.2 菱形
19.2.1 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
知识点1：菱形的性质定理1——菱形的四条边都相等
1．(贵阳中考)如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是 ( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
A
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是(3，4)，则顶点A，B的坐标分别是 ( )
A．(4，0)，(7，4) B．(4，0)，(8，4)
C．(5，0)，(7，4) D．(5，0)，(8，4)
3．已知菱形的周长为20 cm，两个邻角的比是1∶2，这个菱形较短的对角线的长是 ____ cm.
D
5
4．(济南中考)已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连结DE，DF，∠ADF＝∠CDE.求证：AE＝CF.
知识点2：菱形的性质定理2——菱形的对角线互相垂直
5．(河南中考)关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )
A．四条边相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．是轴对称图形
B
6．(达州中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为____________．
52
7．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
知识点3：菱形的对称性
8．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是( )
A．(3，1)
B．(3，－1)
C．(1，－3)
D．(1，3)
9．菱形既是___________图形，又是____________图形．
轴对称
中心对称
B
10．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F为垂足，AE＝ED，则∠EBF等于 ( )
A．75° B．60° C．50° D．45°
B
6
12．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：OE＝BC.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD＝90°，DC＝BC，∴四边形OCED是矩形，∴DC＝OE，∴OE＝BC
13．(2023·浙江)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
14．如图，四边形ABCD中，E为BC的中点，四边形AECD为菱形，EF⊥CD于点F.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
15．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(共22张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
19．2 菱形
19．2.1 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
A
5
D
B
52
B
轴对称
中心对称
B
6
A
D
B
C
y
C
B
0
A
X
D
E
F
B
C
D
A
O
C
B
D
C
O
A
B
E
不y
A
O
C
X
B
B
C
力
A
E
D
y
B
2
A
I
1
-3
o
X
A
D
E
O
B
C
A
B
D
E
F
C
A
D
F
B
E
C
A
D
A
D
F
B
E
C
B
E
C
图①
图
2(共21张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
19．2 菱形
19．2.1 菱形的性质
第2课时 运用菱形的有关知识进行计算和说理
C
65°
64
3
B
10
C
45°或105°
D
A
O
A
C
E
B
C
E
B
第2题图
第3题图
C
E
D
F
O
B
A
D
B
HC
D
C
P
E
B
D
A
C
O
B
D
C
O
B
D
C
O
A
M
B
D
A
C
M N
E
F
B
D
C
E
B
B
B
E
E
H
A
C
A
C
F
F
D
图
图
2(共22张PPT)
19.2 菱形
19.2.1 菱形的性质
第2课时 运用菱形的有关知识进行计算
知识点1：利用菱形的性质计算角的度数
1．已知菱形的周长为16 cm，一条对角线长为4 cm，则菱形的4个角分别为 ( )
A．30°，150°，30°，150° B．45°，135°，45°，135°
C．60°，120°，60°，120° D．以上都不对
C
2．(2023·湘潭)如图，菱形ABCD中，连结AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A．20° B．60° C．70° D．80°
C
3．(南阳十九中期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的度数为______.
65°
4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠CAD，分别交OD，CD于F，E两点，求∠AFO的度数．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，又∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵对角线AC，BD相交于点O，∴∠BAC＝∠CAD＝30°，∠DOA＝90°，∵AE平分∠CAD，∴∠OAF＝15°，∴∠AFO＝90°－∠OAF＝90°－15°＝75°
知识点2：利用菱形的性质计算线段的长
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝13 cm，BC边上的高AH＝5 cm，那么对角线AC的长为 ______ cm.
6．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB 于点E.若PE＝3，则点P到AD的距离为 ____．
3
知识点 ：利用菱形的性质计算图形的面积
7．(柳州中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为 ( )
A．9 B．10 C．11 D．12
B
8．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和4时，则阴影部分的面积为 ______．
10
9．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝16 cm，BD＝12 cm.
(1)求菱形的边长和面积；
(2)求菱形的高DM.
10．(商丘模拟)一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为 ( )
A．8 B．12 C．16 D．32
11．在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为 _____________．
C
45°或105°
12．(南充中考)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N.
求证：(1)△ADE≌△CDF；
(2)ME＝NF.
13．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由．
14．如图①，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连结CE，CF.
(1)求证：CE＝CF；
(2)如图②，若H为AB上一点，连结CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH＝AH＋AB.
解：(1)由SAS可证△BCE≌△DCF，∴CE＝CF
(2)延长BA与CF交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD，AF∥BC，AB∥CD，∴∠G＝∠FCD，∵点F为AD的中点，且AG∥CD，易证△AGF≌△DCF(AAS)，∴AG＝CD，∵AB＝CD，∴AG＝AB，∵△BCE≌△DCF，∴∠ECB＝∠DCF＝∠G，∵∠CHB＝2∠ECB，∴∠CHB＝2∠G，∵∠CHB＝∠G＋∠HCG，∴∠G＝∠HCG，∴GH＝CH，又∵HG＝AH＋AG＝AH＋AB，∴CH＝AH＋AB(共18张PPT)
19.2 菱形
19.2.2 菱形的判定
1．(4分)(德州中考) ABCD如图，下列选项中能使 ABCD成为菱形的是( )
A．AB＝CD B．AB＝BC
C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
B
2．(4分)如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD_______菱形．(填“是”或“不是”)
是
3．(6分)如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连结DE，DF.求证：四边形DFCE是菱形．
4．(4分)如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连结BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是( )
A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线平分一组对角的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
D
5．(8分)(郴州中考)如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连结BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形．
6．(4分)(襄阳中考)如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是( )
A．若OB＝OD，则 ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则 ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则 ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则 ABCD是菱形
D
7．(4分)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(－3，0)，B(0，－1)，C(3，0)，D(0，1).则四边形ABCD的形状是_________．
菱形
8．(6分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.求证：四边形EBFC是菱形．
证明：∵AB＝AC，AH⊥CB，∴BH＝HC，∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形，又∵AH⊥CB，∴四边形EBFC是菱形
一、选择题(每小题8分，共16分)
9．如图，在 ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于点E，交BC于点F，连结AF，CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C
10．如图所示，将一个长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的四边形的面积为( )
A．10 cm2 B．20 cm2 C．40 cm2 D．80 cm2
A
二、解答题(共44分)
11．(14分)小亮同学要证明命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是正确的，他先用尺规作出了如图的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，OA＝OC，_________．
求证：四边形ABCD是 _______．
(1)填空，补全已知和求证；
(2)写出证明过程；
(3)用文字叙述所证命题的逆命题．
解：(2)证明：∵AC⊥BD，垂足为O，OA＝OC，∴AD＝CD，AB＝CB.
∵OB＝OD，∴AD＝AB，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形
(3)菱形的对角线互相垂直平分
OB＝OD
菱形
12．(14分)(遂宁中考)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
【素养提升】
13．(16分)如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB.
(1)用a表示四边形ADPE的周长为______；
(2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由；
(3)如果△ABC不是等腰三角形(图②)，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由).
2a(共21张PPT)
19.2 菱形
19.2.2 菱形的判定
知识点1：四条边都相等的四边形是菱形
1．如图，在由六个全等的正三角形拼成的图中，菱形的个数为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
D
2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是 ( )
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
A
3．如图，已知△ABC是等腰三角形，把它沿底边BC所在直线翻折，得到△DBC.求证：四边形ABDC是菱形．
4．(2023·沈阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连结BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连结BF，CE.求证：四边形BECF是菱形．
知识点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是 ( )
A．BA＝BC B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD D．AB∥CD
B
6．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连结AE，CF，则四边形AECF是 ( )
A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
C
7．(2023·鞍山)如图，在 ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BD，BC相交于点E，O，F，连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形．
8．如图所示，可以确定四边形ABCD是菱形的条件是 ( )
A．AB＝BC＝CD＝BD
B．∠1＝∠2＝∠3＝∠4
C．AB＝CD，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD
B
9．如图所示，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，连结EG与FH相交于点O，则图中的菱形共有 ( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10．已知 ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AB＝BC；④AC平分∠BAD；⑤AO＝OD.使得 ABCD是菱形有_________．
B
②③④
11．如图，将一个长10 cm，宽8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的四边形的面积为 _________．
10 cm2
12．(2023·随州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积.
13．动手操作：在一张长12 cm、宽5 cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一)，小明沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠CAD，∠ACF＝∠ACB的方法折出菱形AECF(见方案二).
(1)你能说出小颖、小明所折出的图形是菱形的理由吗？
(2)请你通过计算，比较小颖和小明的折法中，哪种菱形的面积较大？(共24张PPT)
第19章 矩形、菱形与正方形
19．2 菱形
19.2.2 菱形的判定
C
B
B
菱
C
AD∥BC(AB＝CD或 OB＝OD 或∠ADB＝∠CBD 等)
A
③
O
B
C
A
D
B
C
E
E
D
C
O
A
B
A
E
D
B
F
C
A
H
D
E
G
B
C
E
A
B
C
D
A
D
A
O
C
B
A
E
D
0
B
F
C
H
A
D
E
G
B
C
图
1
图
2
E
B
D
C
F
D
A
E
0
F
C
B
A
M
B
D
W
C
A
M
B
D
C
M
D
B
N
C
A
