2023-2024学年华东师大版数学八年级勾股定理单元测试试题及解析提升卷1（含解析）

2023-2024学年八年级上学期数学勾股定理（华东师大版）
单元测试（提升卷一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）已知a，b，c为的三边，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．9，12，15
3．（本题3分）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1，2，2 B．，， C．9，40，41 D．6，6，6
4．（本题3分）已知、、是的三边长，它们满足，则这个三角形的形状是( )
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．（本题3分）若的三边，，满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
6．（本题3分）如图，的平分线与邻补角的平分线相交于点，平分于点，，，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，分别以三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，，，，点B是线段上一动点，以为底边作等腰三角形，则的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
9．（本题3分）如图，在中，，的角平分线和的外角平分线相交于点D，交于点P，交的延长线于点F，过点D作，交的延长线于点G，交的延长线于点E，连接并延长交于点H，则下列结论①②③④ ⑤ ，其中正确的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（本题3分）小慧在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（ ）

A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
D．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，在中，，以、为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为 ．
12．（本题3分）若直角三角形两条直角边的长分别为3和6，则该直角三角形斜边上的高为 ．
13．（本题3分）如图，已知蚂蚁沿着棱长为10的正方体表面从点A出发，经过2个侧面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径长为 ．

14．（本题3分）如图，在中，，，，点O是边的中点，点P在边上且满足，交的延长线于点Q，交边于点M，则的长为 ．
15．（本题3分）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长是，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为 ．
16．（本题3分）如图，中，，平分，交于点，、，则 ．
17．（本题3分）如图，在等腰直角三角形中，，P是上一动点．则的最小值是 ．
18．（本题3分）如图，三角形中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，则 ， ．
评卷人得分
三、问答题（共66分）
19．（本题10分）如图，在中，，，点在边上，，，垂足为，与交于点，
(1)求的长．
(2)求的长．
20．（本题10分）满足的三个正整数，称为勾股数．
(1)请把下列三组勾股数补充完整：
①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______．
任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数．
21．（本题10分）学校正在增加绿化区域，种植花草树木，提高校园的绿化覆盖率，准备在四边形的空地上种植花卉，如图所示，，，，，，求四边形的面积．

22．（本题10分）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”．
【概念理解】（1）如图1，四边形是“对补四边形”．
①若，则______度；
②若．且时．则______．
【类比应用】（2）如图2，在四边形中，平分．求证：四边形是“对补四边形”．
23．（本题12分）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．

24．（本题14分）在中，，，绕点顺时针旋转一定的角度得到，是中点，连接、．
(1)如图1，当时，求的长；
(2)如图2，当时，试判断和的数量关系；
(3)当时，求的长
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理．根据三角形内角和定理可得A、C选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、D选项．
【详解】解：A、，且，
，故为直角三角形，本选项不符合题意；
B、，
故为直角三角形，本选项不符合题意；
C、，
，故不能判定是直角三角形，本选项符合题意；
D、，
，故为直角三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握“三角形的三边为，，，若，则三角形是直角三角形．”是解题的关键．
【详解】解：A.，不能构成直角三角形，故符合题意；
B.，能构成直角三角形，故不符合题意；
C.，能构成直角三角形，故不符合题意；
D.，能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义：“两整数的平方和等于一个整数的平方，那么这三个整数就叫做勾股数”是解题的关键．
【详解】解：A、∵，
∴1，2，2这一组数不是勾股数，不符合题意；
B、∵，
∴，，这一组数不是勾股数，不符合题意；
C、∵，
∴9，40，41这一组数是勾股数，符合题意；
D、∵，
∴6，6，6这一组数不是勾股数，不符合题意；
故选C．
4．B
【分析】根据绝对值，偶次方，算术平方根的非负性可得，，，从而可得，，，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
【详解】解：
，，，
，，，
，，
，
是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方，算术平方根的非负性，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理得逆定理，正确根据题目已知条件找到、、之间得关系即可判断三角形的形状，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质．
【详解】解：∵，
∴或，
则或，
∴是等腰三角形或直角三角形，
故选：．
6．B
【分析】延长交于F，过点E作于H，利用角平分线的定义和角的数量关系并利用""证明得到设，则，，在和中根据勾股定理列关于x和y的方程组，解出y，即可得到的长．
【详解】解：延长交于F，过点E作于H，如图：
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∴
∵平分
∴，
∴，
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
∴
∵ BD平分
∴
∵，
∴
∴
设，则，
∴
解得：
∴
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键．
7．D
【分析】本题考查了勾股定理与正方形的性质，根据勾股定理与正方形的性质解答，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由正方形的性质可知，，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故选：．
8．C
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定、等腰三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理，连接，可证明，，当时，最小，利用等腰三角形的判定和勾股定理求解即可．得到点P的运动路线是解答的关键．
【详解】解：连接，
由题意，，，
∴垂直平分，即，
∵，
∴，
∴点P在与成的射线上，
故当时，最小，如图，则，
∴，
由勾股定理得，
∴，则，
即的最小值是，
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，作出辅助线，构造出全等三角形．
①利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可；
②③延长与交于点，利用全等三角形的判定与性质求解即可；
④在上截取，利用垂直平分线的性质以及全等三角形的性质，求解即可；
⑤判断、、都是等腰直角三角形，求解即可．
【详解】解：设，，

∵平分，平分，
∴，，
由三角形外角的性质可得：，
∴①正确；
延长与交于点，如下图：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴②正确；
同理可得：，
∴，③正确；
在上截取，则是的垂直平分线，如下图：
∴，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴④正确；
∵，，
∴、、都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，⑤错误；
故选：B．
10．D
【分析】此题考查截一个几何体，勾股定理的应用；说明是锐角，可能是锐角可能是直角也可能是钝角，可得结论．
【详解】解：设
在中，，
在中，，
在中，，
，
为锐角
同理，和都为锐角．
为锐角三角形，
根据前面的性质可得，
，
，
，
，
，
，
是锐角，
是钝角，
当点接近时，可能是钝角，可能是直角，
可能是锐角三角形可能是直角三角形也可能是钝角三角形，
故选：D．
11．
【分析】本题考查了勾股定理；由以、为边的正方形的面积分别为、，且，，得，，即可根据勾股定理求得．
【详解】解：以、为边的正方形的面积分别为、，且，，
，，
，
的长为．
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了勾股定理的和面积法的应用．由勾股定理求斜边，再由面积法求斜边上高即可．
【详解】解：由勾股定理该三角形的斜边为
设斜边上高为h，
由面积法
∴，
故答案为：．
13．
【分析】此题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，此时最短，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，

此时最短，根据勾股定理得：
故答案为：．
14．
【分析】由题意知，，由勾股定理得，，证明，则，，如图，连接，则，设，则，由勾股定理得，，，则，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
由勾股定理得，，
∵点O是边的中点，
∴，
∵，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，，
如图，连接，
∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，，
∴，
解得，，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．26
【分析】本题考查的是平面展开最短路线问题，如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是12和5，再根据勾股定理求出斜边长即可．
【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短彩条长，
，，
，
，
，
答：所用彩条最短长度是．
故答案为:26
16．
【分析】本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质以及三角形面积等知识，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，然后由面积法求出，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作于点M，
∵，，，
∴，，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
故答案为：．
17．5
【分析】由关于对称，根据两点之间线段最短可知，连接，交于P，连接，则此时的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图：作等腰直角三角形关于的对称直角三角形，
连接，与交于点P，线段最短得到就是的最小值，
∵等腰直角三角形中，，
，
，
∵B、D关于对称，
，
．
，
，
由勾股定理得，．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，轴对称 最短路线问题等知识点的理解和掌握，能求出的长是解此题的关键．
18． 8
【分析】作于，于，于，于，连接，先证得，运用勾股定理可得，利用面积法求出，，，，，再运用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图，作于，于，于，于，连接，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：8，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
19．(1)4
(2)5
【分析】本题考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）先由勾股定理计算得出，再由，，计算即可得出答案；
（2）连接，证明得到，，设，则，由勾股定理可得：，即，求出的值即可．
【详解】（1）解：在中，，，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
，，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
设，则，
由勾股定理可得：，
，
解得：，
．
20．(1)①6；②12；③17
(2)见解析
【分析】本题考查勾股数：
（1）根据勾股数的定义求解即可；
（2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴6，8，10是勾股数；
故答案为：6
②∵，
∴5，12，13是勾股数；
故答案为：12
③∵，
∴8，15，17是勾股数．
故答案为：17；
（2）证明：∵，，
∴，
∴三个整数，，是勾股数；
21．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，先由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可；理解定理，作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，

，
，
，
是直角三角形，
；
答：四边形的面积为．
22．（1）①90，②5；（2）见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理，全等三角的判定和性质．
（1）①设，根据题目所给“对补四边形”的定义，得出，求出x的值，即可求解；②根据题目所给“对补四边形”的定义，得出，连接，根据勾股定理可得：，则，即可得出结论；
（2）在上截取，通过证明，得出，则，进而得出，根据，得出，即可求证四边形是“对补四边形”．
【详解】（1）解：①∵，
∴设，
∵四边形是“对补四边形”，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
故答案为：90；
②∵四边形是“对补四边形”， ，
∴，
连接，
根据勾股定理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：5．
（2）证明：在上截取，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是“对补四边形”．
23．秋千绳索的长度为尺
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设尺，表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设尺，
尺，尺，
（尺），尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
整理得：，即，
解得：．
答：秋千绳索的长度为尺．
24．(1)
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）先判断点P在上，然后求出，即可求解；
（2）过点A作于Q，利用等腰三角形的性质可得，利用证明，得出，即可得出结论；
（3）分点P在内部和点P在内部两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵绕点顺时针旋转一定的角度得到，，
∴，，
∴点P在上，
∴；
（2）解：
理由：过点A作于Q，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点P在内部时，
过点P作于点M，
又，，
∴，，
∵D为中点，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得或（不符合题意，舍去）；
∴
当点P在外部时
过点P作于点M，
同理可得，，
设，则，
在中，，
∴，
解得或（不符合题意，舍去）；
∴
综上，当的值为或时，．
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