福建省龙岩市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量检查数学试题（PDF版含答案）

龙岩市 2023～2024 学年第一学期期末高二教学质量检查
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C D B C C D
8.解：由 BF1 BF2 2a , AF1 2a，得 AB BF2 ，所以 ABF2为等腰三角形，
又因为 AF 22 AF1 2a ，所以 AF2 4a，由 S ABF 8 2a ，得在 ABF2中，AF2边上的高为2
4 2a 1，所以 AB 6a，cos BAF2 ,在 AF1F2中，由余弦定理得：3
2
4c2 4a2 16a2 2 2a 4a cos F AF ， 4c2 20a2 16a ， e2 19 571 2 ，即 e .3 3 3
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 9 10 11 12
答案 ACD AB AC BCD
2
12.解：因数列 an 各项均为负数，当 n 1时， a1 16，可得 a1 4；
当 n 2 2时，由 a2 (a1 a2 ) 16可得 a2 4a2 16 0，
解得 a2 2 2 5 3，A错；
假设数列 an 为等比数列，设其公比为q，则a22 a1a3，
即 (16)2 16 16 ，所以， S22 S1S ，S2 S1 S
3
3
2 2
可得a1 (1 q) a
2
1 (1 q q
2)，解得 q 0，不合乎题意，
故数列 an 不是等比数列，B对；
16 16 16(a a )
当 n 2时， an n 1 n 0an an 1 ana
，
n 1
可得 an an 1，所以数列 an 为递增数列，C对；
1
假设对任意的n N ， an ，则 S1000000 1000000
1
（ ） 10000，
100 100
16 16 1
所以 10000a ，
a1000000 ，
1000000 10000 100
与假设矛盾，假设不成立，D对.
故答案为：BCD.
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
2 10 3 3
13．144 14． a 15．
4 13
16．2；3985（第一空 2分，第二空 3分）
1
16．解：由题意得 an 1，考虑 bn 中1后面的2的个数，可得当有 k个1时，2的个数共有 k k 1 ，2
当 k 62时，2的个数总共有 1953 个，则已有62 1953 2015个数，
则b2024为第 63 个 1 后面的第 8个 2，即b2024 2，
则 S2024 1 63 1953 8 2 3985，
故答案为：2；3985.
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17. （本题满分 10 分）
解：（1）条件①：取 x 1,则 ( 1) 2n 512，解得n 9 ...................................5 分
(1 2条件②：因为 )(1 x)n (1 x)n 2 (1 x)n ，
x x
所以常数项为C0n 2C
1
n 17，解得n 9 ............................................ 5 分
2
条件③：即 (1 )(1 x)n的各项系数和为1536，取 x 1,则3 2n 1536，
x
解得n 9 . ............................................................................................... 5 分
（2） 439 5 (42 1)9 5 C0942
9 C1942
8 C8942
1 1 5 ................. 7 分
42(C04289 C
1 7 8
942 C9 ) 6 6 [7(C
0
9 42
8 C1942
7 C89 )+1]
所以439 5能被 6整除. .......................................................................10 分
18. （本题满分 12 分）
解：（1）依题意，得 a1 1,q 2，所以a
n 1
n 2 ，...............................................3分
则b1 a2 2,b3 a3 1
5 2 3
4 1 5，设等差数列{bn}的公差为d，则d ，3 1 2
所以bn 2 (n
3 3
1) n 1 . ..........................................................6分
2 2 2
2 c ( 1)n 1 6n 5 ( 1)n 1 6n 5（ ） n 4bnb 4 ( 3 n 1) ( 3 n 4n 1 )
2 2 2 2
( 1)n 1 6n 5 1 1 ( 1)n 1 ( ) ，..................... 9分
(3n 1) (3n 4) 3n 1 3n 4
T (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1n ) ( ) ( ) ( ) ( 1)
n 1 ( ), 所 以
4 7 7 10 10 13 13 17 3 n 1 3 n 4
T 1 n 1 1n ( 1) . ......................................................................... 12分4 3n 4
1 1 1 1
（也可以写为：当 n为偶数时Tn ；当 n为奇数时，T ，或4 3n 4 n 4 3n 4
1 1
，n为偶数,
T = 4 3n 4n ）
1 1 ，n为奇数,
4 3n 4
19. （本题满分 12 分）
a b 4 0
a 4
解：（1）设圆心M (a,b)，则 b 3 ，解得 , ................................4 分
3 b 0 a 3
所以 r MQ (4 3)2 (0 3)2 2 . ............................................ 5 分
所以圆M 的标准方程为 (x 4)2 y 2 4 . ..........................................6 分
3m
（2）圆心M (4,0)到直线 l：mx y m 0 7 的距离 4 ( )2 3 ，
m2 1 2 2
3
解得m ，........................................................................................ 8 分
3
所以直线 l的倾斜角为30 或150 ，....................................................... 10 分
AB 2 21
由平面几何的知识可知，在梯形 ABCD中， CD .
cos30 3
.....................................................................12 分
20. （本题满分 12 分）
2 1
解：（1）设点M 的坐标为 (x0 , )，则 x2 0
.
4 p
p
又O(0,0) ,F（ ,0)，由 |MF | |MO | 1 p 2 1 2可得（ )2 ( ) 2 （ )2 ( )2，
2 4 p 2 2 4 p 2
解得 p 1， 所以抛物线C的方程为: y2 2x . ..................................4 分
（2）设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，由已知有 l //x轴，
y1 y p 2, x
1
1 y
2 1
2 1
2, 即 A(2,2)，又点F ( ,0)，
2
∴直线 AB k 2 0 4的斜率 1 .2 3
2
4 1 4 2
则直线 AB的方程为 y 0 (x )，即 y x ，
3 2 3 3
y2 2x

联立 4 2得8x
2 17x 2 1 0，解得 x
y x 1
2, x2 ，
8 3 3
x 1 1 1 1又 2 时， y2 ，则B( , ) . .................................................. 8 分8 2 8 2

设直线PB的倾斜角为 ( (0, ))，斜率为 k0(k0 0)，2
直线 AB的倾斜角为 ，
∵射线PB平分 ABQ, ABQ＝2 PBQ 即 ＝2 ，
tan tan 2 2 tan 4 2k0 k 1 2 ，则 ＝ ，得 或 k 2（舍去）.1 tan 3 1 k 2 0 00 2
2 1 ( )
k 2 1 41又 0 1 ，解得m ，m 2 8
8
41
综上：m . ......................................................................................12 分
8
法二：设 A(x1, y1),B(x2 , y2)，∵PB平分 ABQ，且PA//x轴 //BQ，
由平面几何知识知： ABP APB ,即 |AB| |PA|，
y1 y
1
2, x 2p 1 y1 2, 即 A(2,2)， PA m 2 . ..................7 分2
F (1 ,0) 2 0 4又点 ， ∴直线 AB的斜率 k 1 ，2 2 3
2
4 1 4 2
则直线 AB的方程为 y 0 (x ),即 y x .
3 2 3 3
y2 2x

联立 2 4 2得8x 17x 2
1
0，解得 x
y x 1
2, x2 ，
8 3 3
AB x x 1 25 1 2 p 2 1 ， ...................................................11 分8 8
m 2 25 41 ，解得m . ................................................................ 12 分
8 8
21.（本题满分 12 分）
解：（1）因为 f (x) f (1 x) 2，
由an f (0) f (
1) f ( n 1) f (1) ①，
n n
n 1 1
则an f (1) f ( ) f ( ) f (0) ②，n n
所以①+②可得：
2an [ f (0) f (1)]

f (
1) f ( n 1 ) L [ f (1) f (0)] 2(n 1) ， n n
故an n 1 (n N
*) . ............................................................................ 5 分
n 1 2 3 n 1 n
（2）由（1）知bn n ，则 Sn 1 2 3 n 1 n ，2 2 2 2 2 2
1 S 1 2 n 1 n n 2 3 n 2 2 2 2 2 n 1
，两式相减得
1 S 1 1 1 1 n n 2 n 2n 1 .......2 2 22
3 n n 1 1 2 2 2 2 n 1
， Sn 2 n . 9 分2
1
由1 n an 1对一切 n N
*恒成立，
2（2 Sn)
1
可得：1 (n 2) 对一切n N*恒成立，
n 2
1 1
即有 ( 1 1 )2 1 对一切n N*恒成立. ....2 10 分n 2 (n 2) n 2 2 4
n 1 ( 1 1 1 2 2当 时， )2 取得最大值 ，所以 ，
n 2 2 4 9 9
2
故实数 的取值范围是 ( , ) . ....................................................... 12 分
9
22.（本题满分 12 分）
解：（1）设M (x, y)， k y yA M ,kA M ，............................................. 2 分1 x 2 2 x 2
1 y y 1
由 kA M kA M 得： ，1 2 4 x 2 x 2 4
x2
整理得： y2 1，其中 x 2，
4
2
所以曲线C x的方程为： y2 1(x 2) .
4
..................................................................................4 分（未写范围扣 1分）
2 2
（2）设 A(x1, y1),B(x
x x
2 , y2 )，因为 x
2 y2 1， 1 y20 0 1 1， 2 y
2
2 1，2 2
设切线PA ,PB的斜率分别为 k1,k2，设PA 的方程为： y k1(x x1) y1，
y k1(x x1) y1
因为 ，所以 (1 2k 2 x2 1 )x
2 4k1( y1 k1x1)x 2( y1 k1x1)2 2 0，2

y 1
2
所以 16k 21 ( y1 k1x1)2 8(1 2k 21 )[( y1 k x )21 1 1] 0，
所以 (x2 2)k 2 21 1 2k1x1y1 y1 1 0 .
x2 2因为 1 y21 1，整理得2y21 k 21 2k1x1y
x1
1 0，2 2
即4y2k 21 1 4k1x1y x2 (2y k x )21 1 1 1 1 0，
所以k x1 ，同理： k x2 .1 2 y 21 2y2
因为切线PA ,PB均过点P(x0, y0)，
所以 k ,k 为 (x2 2)k 21 2 0 2x0 y0k y20 1 0的两解，
2
所以k y0 11k2 1，即PA PB, PAB为直角三角形...................... 8 分x20 2
因为k x1 ，所以1 y1 y
x1 (x x )，所以0 1 0 y
x0x1 1 ，
2 y 1

1 2y1 2y0 y0
同理： y2
x0x2 1 ，
2y0 y0
所以直线 AB的方程为： y x0x 1 ，将直线 AB : y x0x 1
2y0 y0 2y0 y0
x2代入方程： y2 1可得： ( y2 x2 )x20 0 4x0x 4 4y2 0，4 0
即 x2 4x x 4x20 0 (x 2x )20 0，所以 x 2x
x x 2
Q 0， yQ
0 Q y ，
2y 00
所以直线 AB与曲线C相切，切点Q(2x0, y0)，................................... 10 分
k y0 y0 2 y0 ，所以PQ kPQ kAB 1，所以PQ AB，2x0 x0 x0
由Rt PAQ ~ Rt BPQ 2可得 PQ AQ BQ . ..................................... 12 分