福建省龙岩市2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量检查数学试题（PDF版含答案）

龙岩市 2023～2024 学年第一学期期末高一教学质量检查
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B C C D A
8．解：函数 y x2 2x 3 (x 1)2 2，当 x 3时， y 6，当 x 1时， y 2，
1 1
而 0，即有 2 2，依题意 c 1，又 c2 2c 3 6，则有 1 c 1，
x x
当0 c 1时，函数 f (x)在 ( , 0)上的取值集合为 (1, )，不符合题意，
于是 1 c 0 1，函数 y 2在 ( ,c)上单调递增，
x
2 1 2 1
1
则 2，有 2 6，因此 1 c
1

x c ，c 4
所以实数 c的取值范围是 [ 1, 1 ].
4
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 9 10 11 12
答案 BD ABD ACD BC
f (x 12．解：因为 ) f (

x) 4，所以 f (x)

的图象关于点 ( ,2)对称，
6 6 6
又对任意 x R
5 5
，都有 f (x) f ( )，所以当 x 时， f (x)取得最大值.
12 12
5 T 5
因为 f (x)在 ( , )是单调函数，所以 得T ，
6 12 4 12 6
2 5
所以 2T ，又因为函数
f x 在 x 时取得最大值，
12
sin(2 5 所以 ) 2 3,
5
2k ,k ．
12 6 2


因为 ，所以 ，则 f (x) sin(2x ) 2 .
2 3 3

因为函数 g(x) f (x+ ) 2，所以 g(x) sin 2x，
6
A． g(x)为奇函数，故 A错误.
B. 函数 f (x)在 x
5 5
时取得最大值，又因为 ，周期T ，
12 12 2
x 5 所以 时，函数 f (x) x
17
在 取得最大值，
12 12
17
则实数 a的取值范围为[ , )，故 B正确．
12
C． h(x)
1
tanxsin2x cosx cosx sin 2x cos 2x 1，且 h(0) 1，故 C正确.
2
D．若 h(x)

的图象关于直线 x 对称，
2
只要证 h( x) h(x)对定义域内的 x都成立，取 x 0，h(0) 1，
但 h( 0) h( ) 1 所以h( 0) h(0)，矛盾，

所以 h(x)的图象不关于直线 x 对称. 故 D错误．
2
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
7
13． （写出 2k 或 2k ,k Z 的其中一个值即可）
2 6 2
14．5
3 2
15． 或
2 3
1
16．
2
解：当 a=b=0时， f (0) 0，
当 a b 1时， f (1) 2 f (1)，可得 f (1) 0，则 f (0) f (1) 0；
当 a b 1时， f (1) 2 f ( 1) 0，则 f ( 1) 0 .
函数 f (x)的定义域为R ，令 a 1,b x时， f ( 1 x) ( 1) f (x) xf ( 1)，
得 f ( x) f (x)，所以函数 f (x)是奇函数.
a 2,b 1 , f (1) f (2 1) 2 f ( 1) 1 f 1 1 1令 ( 2)
1 1
0 得 f ( ) ， f ( ) f ( ) 2 2 2 2 2 2 ，4 2 2
1 1 1 1
又函数 f (x)是奇函数，所以 f ( ) ，所以 f ( 1) f ( ) .
4 2 4 2
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17．（本题满分 10 分）
1
解：选条件①：因为角 的终边与单位圆的交点为M ( , y)，
7
(1可得 )2 y2 1, y 4 3 ,又 4 3为锐角，所以 y ，.................. 1 分
7 7 7
所以由三角函数的定义可得 sin 4 3 ,cos 1 , tan 4 3 . ....... 2 分
7 7
选条件②：
因为 2sin 7sin 2 14sin cos ,
1
为锐角，所以 sin 0,cos ；
7
.......................................................................................1 分
又因为 sin2 cos2 1，得 sin 4 3 , tan sin 4 3 .............2 分
7 cos
选条件③：因为4sin2 45cos2 3， sin2 cos2 1，
所以 4sin2 45(1 sin2 ) 3得 sin
2 48 ，
49
又因为 锐角，所以sin 4 3 ， .................................................... 1 分7
cos 1 , tan 4 3. .............................................................................2 分
7
7sin（ ） tan( ) 7sin tan
（1） .................................................. 4 分
sin( ) cos( ) cos cos
2
7sin tan 4 3 4 3
28 3 . ..................................................2 5 分2cos
7
（2） （ ），0 4 3 , 0 ,由（1）得 sin , cos 1 ，
2 2 7 7
cos( ) 13 , sin( ) 1 cos 2 ( 13 3 3 ) 1 ( ) 2 .................. 7 分
14 14 14
sin sin[ ] sin cos cos sin 4 3 13 1 3 3 3 （ ） （ ） （ ） ，
7 14 7 14 2
0 , . ............................................................................................. 10 分
2 3
18．（本题满分 12 分）
解：（1）在 f (x) x 2 bx c中， f (0) 6，所以 c 6 . ...................................2 分
又因为 f ( 2 x) f ( 2 x)，所以函数 f (x)
b
的对称轴 x 2，
2
解得：b 4，......................................................................................... 4 分
所以 f (x) x2 4x 6 . .........................................................................6 分
（2）由（1）得 f (x) x2 4x 6，
若对于 m [ 1,2]，不等式mf (x) 6 0恒成立，
即 (x2 4x 6)m 6 0对 m [ 1,2]恒成立.
又因为 x2 4x 6 (x 2)2 2 0，
令 h(m) (x2 4x 6)m 6 ，
则 h m 在m 1,2 单调递增，.............................................................8 分
只需 h(2) (x2 4x 6) 2 6 0 ，
所以 x2 4x 3 (x 1)(x 3) 0，....................................................... 10 分
所以 x的取值范围是 x 3 x 1 . ....................................................12 分
19．（本题满分 12 分）
解：（1）∵ P P0(
1)kt，依题意得：当 t=0时，P P0；当 t=5时，P (1 10%)P ，2 0
1
∴ P0( )
5k=0.9P0，.....................................................................................2 分2
1 5k 1 10k
即 ( ) =0.9，所以 ( ) =0.81， ..........................................................4 分
2 2
1 10k
那么 10 小时后的污染物含量为 P0 ( ) =0.81P0 ，2
故 10 小时后还剩 81％的污染物. ......................................................6 分
1
（2）令 ( )kt=0.5，得 kt=1. ① ................................................................8 分
2
1
又 ( )5k=0.9，得5k=log 10.9 . ② ......................................................10 分2 2
t 5 l 5 ln0.5 0.693由①②得 5 =33 .
log 1 0.9 ln0.9 0.105
2
故污染物减少 50%需要花 33 小时. ......................................................12 分
20．（本题满分 12 分）
x
解：（1）因为 f x 4 m 是偶函数，所以对于任意的实数 x，有 f x =f x x ，2
4x m 4 x m
所以 对任意的实数 x恒成立，.....................................x x 2 分2 2
即 1 m 2x 2 x 0恒成立，...............................................................5 分
所以1 m 0，即m 1. ........................................................................6 分
g(x) 2x+1 f (x) 2x+1 （2x 1 x 1（2）因为 x) 2 x 在R 上单调递增，2 2
所以 x 1,2 3时， g(x) 15 ，........................................................... 7 分
2 4
x 1,2 时， 4 b h(x) 8 b . ..........................................................8 分
又因为对任意 x1 1，2 ，总存在 x2 1，2 使得 g(x1)=h(x2 )，
所以 g(x)的值域是 h(x)值域的子集，

4 b
3

2
即 ，..........................................................................................9 分
8 15 b
4
17 b 5解得： ，............................................................................. 11 分
4 2
17 5
所以实数b的取值范围为[ , ] . ................................................. 12 分
4 2
21.（本题满分 12 分）
解:（1） f (x) 2sin( x )cos x
1
2(sin xcos cos xsin )cos x 1 …1分
2 2
2sin xcos xcos 2cos2 xsin 1 sin2 xcos cos2 xsin sin 1
2 2
sin（2 x ） sin 1 . ........................................................................ 3 分
2

因为函数 f (x)最小正周期与函数 y tan 2x 相同,且函数 y tan 2x 的周期为 ,所
2
2
以 ，解得 2 .又因为函数 f (x) 的图象关于直线 x 对称,所以
2 2 6
4 k ,即 k ,k Z ,
6 2 6

因为 ,所以 ,
2 6
f (x) sin 4x 所以 （ ） sin(
1
) sin （4x ）........................... 4 分
6 6 2 6
2k 4x 2k 3 , k k 5 由 得 x ,
2 6 2 2 6 2 12
f (x) [k , k 5 所以函数 的单调递减区间是 ](k Z). ............6 分
2 6 2 12
（2）证明:①当 x (0,2]时，函数 h(x) ln x f (

x ) ln x sin x
16 24 4
1 1
在(0,2]上单调递增，因为 h( ) ln sin 2 1 sin 0,h(1) sin 0,
e e 4e 4e 4 2
..................................................................................................................... 7 分
h(1所以 )h(1) 1 0,根据零点存在定理， x0 ( ,1),使得 h(x ) 0,e e 0
故h(x)在 (0,2]上有且只有一个零点 x0 . .........................................8 分
②当 x (2,e] 时,因为 y ln x单调递增， y sin x单调递减，
4
ln x ln 2 0,sin x sin e sin 0,所以h(x) 0,
4 4
所以h(x)在（2，e]上不存在零点. ............................................................9 分
③当 x (e， ）时, 因为 y ln x单调递增，
ln x ln e 1, 因为y sin x 1，
4
所以 h(x) 1 1 0，所以h(x)在（e， ）上不存在零点.
综上：h(x)有且只有一个零点 x0，且 x
1
0 ( ,1) . ...............................10 分e
因为 h(x 0 ) ln x0 sin x0 0，4
所以sin x0 ln x4 0
，
g(sin x ) g( ln x ) e ln x e ln x 1 0 00 0 x .4 x 00
y 1 x在 (1 ,1)上单调递减， ......................................................... 11 分
x e
1 x e
2 1 2
0 ， g(sin
x ) e 10 . ..........................................12 分x0 e 4 e
22. （本题满分 12 分）
解：（1）任取 x1 x2 0，则 f (x1) f (x2 ) (3
x k1 x ) (3
x k2 x ) ，....................1 分3 1 3 2
k(3x2 3x1 ) k
(3x1 3x2 ) (3x1 3x2 )(1 x x )，.....................................x x 3 分3 1 2 3 1 2
因为函数 y f x 在 0, 上为增函数，且 x1 x2 0时，3x1 3x2 0，
所以由 f (x1) f (x
k
2 ) 0可得1 x 0 ,即 k 3x1 x2 ，......................3x
4 分
1 2
x1 x2 0， x x 0，则3x1 x1 2 2 1， k 1，
因此，实数 k的取值范围是 ,1 . ..................................................... 5 分
（2）当 k 0时， f (x) 3x .
x
令 h x g ( f (x)) g 3x log 3 1 2 3 x log 3 1 x ，3 1 3 1
因为 y 1
2
x 在 (0, )上单调递减，又 y log3x在定义域上单调递增，所以h x 在3 1
(0, )上单调递减，..................................................................................6 分
因为h(x)在区间 x1, x2 上的值域为
{y |1 log3[a(2 f (x2) 1)] y 1 log3[a(2 f (x1) 1)]} ，
3x1log 1 3 x 1 log3[a(2 f ( x1) 1)] log
3
3
3 1 1 a(2 f ( x1) 1)
所以 x
2
log
3 1 3
3 x 1 log3[a(2 f ( x ) 1)] log3 2 1 2 3 a(2 f ( x2) 1)
3x1 1 3
3x

1 1 2a 3x1 a
即 . ........................................................................
3x
8 分
2 1 3
3x2 1 2a 3x2 a
令 t 3x（因为 x 0，所以 t 1），
易知，关于 t
t 1 3
的方程 在 1, 上有两个不等实数根 t1, t2 ，t 1 2at a
等价于关于 t的方程2at2 (a 3)t a 3 0在 1, 有两个不等实数根，
（ x 0时，3x 1， a(2 f (x2 ) 1) 0, a 0）....................................10 分
令 (t) 2at 2 (a 3)t a 3，
a 0

a 3 1
则 4a ，解得0 a
1
，
(a 3)2 8a(3 a) 0 3

(1) 2a 0
1
所以a的取值范围是 (0，) . ................................................................. 12 分
3