河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 631.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-30 00:00:00 | ||
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文档简介
绝密 ★ 启用前
焦作市博爱一中2023—2024学年（上）高二期末考试
数 学
考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知定义在上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A.的一个周期为6 B.在区间上单调递增
C.的图像关于直线对称 D.在区间上共有100个零点
2.若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，中，为边上的中线，为的中点，若，则实数对（ ）
A. B. C. D.
4.已知圆上两个不同的点，，若直线的斜率为，则（ ）
A. B.1 C. D.2
5.已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A.2 B. C. D.
6.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 （ ）
A. B. C. D.
7.2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将6名志愿者随机派往黄龙体育中心，杭州奥体中心，浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，若每名志愿者只去一座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，其中志愿者甲不去黄龙体育中心，则不同的分配方案种数为（ ）
A.180 B.300 C.360 D.380
8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知抛物线C：的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是（ ）
A.若AB中点M的横坐标为3，则的最大值为8
B.若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为
C.设，则的最小值为
D.若，则直线AB过定点
10.已知圆，直线l过点，若将圆C向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到圆，则下列说法正确的有（ ）
A.若直线l与圆C相切，则直线l的方程为
B.若直线l与圆C交于A，B两点，且的面积为2，则直线l的方程为或
C.若过点的直线与圆C交于M，N两点，则当面积最大时，直线的斜率为1或
D.若Q是x轴上的动点，，分别切圆于R，S两点，则直线RS恒过定点
11.若平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A. B.
C.与为相交直线 D.在上的投影向量为
12.如图，在三棱柱中，分别是上的点，且，设.若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.若，则
C. D.直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.直线与上任意两点最小距离为 .
14.设，若.则 .
15.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为 .
16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角C的值；
（2）若，当边c取最小值时，求的面积.
18.（12分）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19.（12分）的顶点的垂心（三条高交点）为.
(1)求顶点的坐标；
(2)求的外接圆方程.
20.（12分）已知在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
(1)求的值；
(2)求的展开式的中间两项.
21.（12分）已知圆.
(1)若圆心到直线的距离为，设是直线上一动点，，，当最大时，求点坐标；
(2)若过点的直线恰使圆上有4个点到其距离为1，求直线的斜率的取值范围.
22.（12分）甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得分，负方得分，平局各得分.两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为，，甲学校在两个项目中平局的概率分别为，.各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校两场比赛后获得冠军的概率；
(2)用表示甲学校两场比赛的总得分，求的分布列与期望.
参考答案
一、单项选择题
1.【答案】C
【解析】因为，所以令，得，故，又为偶函数，所以，所以，即，故，所以的一个周期为12，故A错误；又在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，
由周期性可知在区间上单调递减，故B错误；
因为为偶函数，所以图像关于y轴对称，
由周期性可知图像关于直线对称，故C正确；
因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，
又，所以由周期性可知，在区间上，，
而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，
又，所以在区间上有337个零点，由于为偶函数，所以在区间上有674个零点，故D错误；故选：C.
2.【答案】D
【解析】由题,，
所以,即，
所以，
因为，，所以,，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
3.【答案】A
【解析】因为为的中点，且为边上的中线，故，故
故选：A
4.【答案】B
【解析】因为直线的斜等为，所以.从而，因此，故选B.
5.【答案】C
【解析】设，，且，
所以
，
又因为，所以当时取最大值，
所以，故选C.
6.【答案】B
【解析】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.
设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为2，
所以，，所以，则，
设直线与直线所成角为，
则，
即，解得或（舍）.
故选：B.
7.【答案】C
【解析】若甲单独一组：因为甲同学不去黄龙体育中心，所以先排甲共有种，再将其余5人分成两组共有种，分配到另外两个体育中心共有种，所以此类情况共有种；
若甲与其他志愿者一组：先安排甲共有种，
然后将其余5人分成三组共有种，
再将三组分配到三个体育馆共有种，
所以此类情况共有种.
综上，不同的分配方案共有360种.
故选：C.
8.【答案】A
【解析】根据题意进行类比，在空间任取一点，
则
平面法向量为，
故选：A.
二、多项选择题
9.【答案】ABD
【解析】设.
对于选项A：若AB中点M的横坐标为3，则，
可得，当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立，
所以的最大值为8，故A正确；
对于选项B：若AB中点M的纵坐标为2，则，
由题意可知直线AB的斜率存在，则，
所以直线AB的倾斜角为，故B正确；
对于选项C：设，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
对于选项D：设直线AB的方程，
代入抛物线，得，
则，可得，
因为，所以
，
因为，解得，满足，
则直线AB的方程为，所以直线AB过定点，故D正确.
故选：ABD.
10.【答案】BCD
【解析】对于A选项：当直线l垂直于x轴时，其方程为，符合题意.当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为，即，则，解得，所以直线l的方程为，即.综上，直线l的方程为或，所以A错误；
对于B选项：由题意知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为，即.设圆心C到直线l的距离为，则，即，解得，则，解得或.所以直线l的方程为或，所以B正确；
对于C选项：可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
即，所以圆心到直线的距离.
因为,当且仅当，即时取等号.
由，得，解得或，所以C正确；
对于D选项：由题意知圆的方程为，圆心.设，则以为直径的圆的圆心为，半径为，
则圆D的方程为，
整理得，圆与圆D的公共弦所在直线即为直线RS，
将两式相减，
可得直线RS的方程为，即.
令解得即直线RS恒过定点，所以D正确.
故选：BCD.
11.【答案】AD
【解析】∵，∴，故A正确；
∵，∴或，故B错误；
设，则，此方程组无解，则与为相交直线或异面直线，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确.
故选：AD
12.【答案】BD
【解析】由题意可知：，
对于A，因为，
所以，故A不正确；
对于B，因为
，
所以，故B正确；
对于C，由B可知：，
则，
所以，故C错误；
对于D，因为，
可得，
，
且，
设直线与所成的角为，
则，故D正确，
故选：BD.
三、填空题
13.【答案】
【解析】直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以两直线相交，故最小距离为0.
14.【答案】4
【解析】展开式的通项公式为：，分别令，，，则，即，解得：.
15.【答案】2
【解析】双曲线 的一条渐近线不妨设为: ,，
圆 的圆心 , 半径为2，
双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，
可得圆心到直线的距离为，等式两边同时平方即有 ，可得 ， 即 .
故答案为：2.
16.【答案】
【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，
由于是以为底边的等腰三角形，
由，即有，，
由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得，
则，，相减可得，
即，得，
所以，，
显然在上单调递增，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17.（10分）【答案】(1);(2)
【解析】（1）由条件和正弦定理可得，
整理得从而由余弦定理得.
又∵C是三角形的内角，∴.
（2）由余弦定理得，
∵，∴，
∴（当且仅当时等号成立）.
∴c的最小值为2，故.
18.（12分）【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图，取的中点，连接，，
∵是棱的中点，∴且，
又且，
∴且，∴四边形是平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面；
（2）在中，，，，
由余弦定理可得，
得，得，
从而，即，
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
从而，，.
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
19.（12分）【答案】(1);(2)
【解析】（1）设，
由题意得，，
所以解得
所以顶点的坐标为；
（2）设的外接圆方程为，
则解得
所以的外接圆方程为.
20.（12分）【答案】(1)7；(2)，
【解析】（1）展开式的通项为，
展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，
，即，.
（2）由（1）可知，，
的展开式的通项为.
二项展开式共有8项，中间两项即为第4项和第5项，
，
.
的展开式的中间两项分别为，.
21.（12分）【答案】(1)
(2)
【解析】（1）圆心坐标为，解得或，
，
如图，设点关于直线的对称点的坐标为，
，即，
由线段的中点坐标为，且中点在直线上，
，即，
联立解得的坐标为，
，当共线时取最大值，
直线的方程为，
联立解得，
直线与直线的交点坐标为，
则最大时，点坐标为.
（2）因为圆的半径为2，设直线，
要使圆上有4个点到直线距离为1，
则圆心到直线的距离，即，
得，解得，
直线的斜率的取值范围为.
22.（12分）【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）甲获胜分三种情况：胜胜，胜平，平胜，
则甲获胜的概率为
（2）所有可能取值为，，，，，，
，
，
，
，
，
，
其分布列如下表
.
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焦作市博爱一中2023—2024学年（上）高二期末考试
数 学
考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知定义在上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A.的一个周期为6 B.在区间上单调递增
C.的图像关于直线对称 D.在区间上共有100个零点
2.若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，中，为边上的中线，为的中点，若，则实数对（ ）
A. B. C. D.
4.已知圆上两个不同的点，，若直线的斜率为，则（ ）
A. B.1 C. D.2
5.已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A.2 B. C. D.
6.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 （ ）
A. B. C. D.
7.2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将6名志愿者随机派往黄龙体育中心，杭州奥体中心，浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，若每名志愿者只去一座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，其中志愿者甲不去黄龙体育中心，则不同的分配方案种数为（ ）
A.180 B.300 C.360 D.380
8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知抛物线C：的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是（ ）
A.若AB中点M的横坐标为3，则的最大值为8
B.若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为
C.设，则的最小值为
D.若，则直线AB过定点
10.已知圆，直线l过点，若将圆C向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到圆，则下列说法正确的有（ ）
A.若直线l与圆C相切，则直线l的方程为
B.若直线l与圆C交于A，B两点，且的面积为2，则直线l的方程为或
C.若过点的直线与圆C交于M，N两点，则当面积最大时，直线的斜率为1或
D.若Q是x轴上的动点，，分别切圆于R，S两点，则直线RS恒过定点
11.若平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A. B.
C.与为相交直线 D.在上的投影向量为
12.如图，在三棱柱中，分别是上的点，且，设.若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.若，则
C. D.直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.直线与上任意两点最小距离为 .
14.设，若.则 .
15.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为 .
16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角C的值；
（2）若，当边c取最小值时，求的面积.
18.（12分）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19.（12分）的顶点的垂心（三条高交点）为.
(1)求顶点的坐标；
(2)求的外接圆方程.
20.（12分）已知在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
(1)求的值；
(2)求的展开式的中间两项.
21.（12分）已知圆.
(1)若圆心到直线的距离为，设是直线上一动点，，，当最大时，求点坐标；
(2)若过点的直线恰使圆上有4个点到其距离为1，求直线的斜率的取值范围.
22.（12分）甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得分，负方得分，平局各得分.两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为，，甲学校在两个项目中平局的概率分别为，.各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校两场比赛后获得冠军的概率；
(2)用表示甲学校两场比赛的总得分，求的分布列与期望.
参考答案
一、单项选择题
1.【答案】C
【解析】因为，所以令，得，故，又为偶函数，所以，所以，即，故，所以的一个周期为12，故A错误；又在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，
由周期性可知在区间上单调递减，故B错误；
因为为偶函数，所以图像关于y轴对称，
由周期性可知图像关于直线对称，故C正确；
因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数，
又，所以由周期性可知，在区间上，，
而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，
又，所以在区间上有337个零点，由于为偶函数，所以在区间上有674个零点，故D错误；故选：C.
2.【答案】D
【解析】由题,，
所以,即，
所以，
因为，，所以,，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
3.【答案】A
【解析】因为为的中点，且为边上的中线，故，故
故选：A
4.【答案】B
【解析】因为直线的斜等为，所以.从而，因此，故选B.
5.【答案】C
【解析】设，，且，
所以
，
又因为，所以当时取最大值，
所以，故选C.
6.【答案】B
【解析】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.
设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为2，
所以，，所以，则，
设直线与直线所成角为，
则，
即，解得或（舍）.
故选：B.
7.【答案】C
【解析】若甲单独一组：因为甲同学不去黄龙体育中心，所以先排甲共有种，再将其余5人分成两组共有种，分配到另外两个体育中心共有种，所以此类情况共有种；
若甲与其他志愿者一组：先安排甲共有种，
然后将其余5人分成三组共有种，
再将三组分配到三个体育馆共有种，
所以此类情况共有种.
综上，不同的分配方案共有360种.
故选：C.
8.【答案】A
【解析】根据题意进行类比，在空间任取一点，
则
平面法向量为，
故选：A.
二、多项选择题
9.【答案】ABD
【解析】设.
对于选项A：若AB中点M的横坐标为3，则，
可得，当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立，
所以的最大值为8，故A正确；
对于选项B：若AB中点M的纵坐标为2，则，
由题意可知直线AB的斜率存在，则，
所以直线AB的倾斜角为，故B正确；
对于选项C：设，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
对于选项D：设直线AB的方程，
代入抛物线，得，
则，可得，
因为，所以
，
因为，解得，满足，
则直线AB的方程为，所以直线AB过定点，故D正确.
故选：ABD.
10.【答案】BCD
【解析】对于A选项：当直线l垂直于x轴时，其方程为，符合题意.当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为，即，则，解得，所以直线l的方程为，即.综上，直线l的方程为或，所以A错误；
对于B选项：由题意知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为，即.设圆心C到直线l的距离为，则，即，解得，则，解得或.所以直线l的方程为或，所以B正确；
对于C选项：可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
即，所以圆心到直线的距离.
因为,当且仅当，即时取等号.
由，得，解得或，所以C正确；
对于D选项：由题意知圆的方程为，圆心.设，则以为直径的圆的圆心为，半径为，
则圆D的方程为，
整理得，圆与圆D的公共弦所在直线即为直线RS，
将两式相减，
可得直线RS的方程为，即.
令解得即直线RS恒过定点，所以D正确.
故选：BCD.
11.【答案】AD
【解析】∵，∴，故A正确；
∵，∴或，故B错误；
设，则，此方程组无解，则与为相交直线或异面直线，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确.
故选：AD
12.【答案】BD
【解析】由题意可知：，
对于A，因为，
所以，故A不正确；
对于B，因为
，
所以，故B正确；
对于C，由B可知：，
则，
所以，故C错误；
对于D，因为，
可得，
，
且，
设直线与所成的角为，
则，故D正确，
故选：BD.
三、填空题
13.【答案】
【解析】直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以两直线相交，故最小距离为0.
14.【答案】4
【解析】展开式的通项公式为：，分别令，，，则，即，解得：.
15.【答案】2
【解析】双曲线 的一条渐近线不妨设为: ,，
圆 的圆心 , 半径为2，
双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，
可得圆心到直线的距离为，等式两边同时平方即有 ，可得 ， 即 .
故答案为：2.
16.【答案】
【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，
由于是以为底边的等腰三角形，
由，即有，，
由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得，
则，，相减可得，
即，得，
所以，，
显然在上单调递增，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17.（10分）【答案】(1);(2)
【解析】（1）由条件和正弦定理可得，
整理得从而由余弦定理得.
又∵C是三角形的内角，∴.
（2）由余弦定理得，
∵，∴，
∴（当且仅当时等号成立）.
∴c的最小值为2，故.
18.（12分）【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图，取的中点，连接，，
∵是棱的中点，∴且，
又且，
∴且，∴四边形是平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面；
（2）在中，，，，
由余弦定理可得，
得，得，
从而，即，
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
从而，，.
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
19.（12分）【答案】(1);(2)
【解析】（1）设，
由题意得，，
所以解得
所以顶点的坐标为；
（2）设的外接圆方程为，
则解得
所以的外接圆方程为.
20.（12分）【答案】(1)7；(2)，
【解析】（1）展开式的通项为，
展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，
，即，.
（2）由（1）可知，，
的展开式的通项为.
二项展开式共有8项，中间两项即为第4项和第5项，
，
.
的展开式的中间两项分别为，.
21.（12分）【答案】(1)
(2)
【解析】（1）圆心坐标为，解得或，
，
如图，设点关于直线的对称点的坐标为，
，即，
由线段的中点坐标为，且中点在直线上，
，即，
联立解得的坐标为，
，当共线时取最大值，
直线的方程为，
联立解得，
直线与直线的交点坐标为，
则最大时，点坐标为.
（2）因为圆的半径为2，设直线，
要使圆上有4个点到直线距离为1，
则圆心到直线的距离，即，
得，解得，
直线的斜率的取值范围为.
22.（12分）【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）甲获胜分三种情况：胜胜，胜平，平胜，
则甲获胜的概率为
（2）所有可能取值为，，，，，，
，
，
，
，
，
，
其分布列如下表
.
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