新疆兵团地州学校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（含解析）

兵团地州学校2023—2024学年第一学期期末联考
高二数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占80%，选择性必修第二册第四章占20%。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在数列中，已知，，且（），则
A．13 B．9 C．11 D．7
2．已知为平面的一个法向量，，则下列向量是平面的一个法向量的是
A． B． C． D．
3．已知双曲线C：（）的一个焦点坐标为，则C的渐近线方程为
A． B． C． D．
4．在三棱锥P—ABC中，M为AC的中点，则
A． B． C． D．
5．在长方体中，，，，则异面直线AC与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
6．已知椭圆C：（）的右焦点为，O为坐标原点，C上位于第一象限的点M满足MF⊥OF，若直线OM的斜率为，则C的离心率为
A． B． C． D．
7．利用温室大棚等设施进行蔬菜种植，可以使得人们在一年四季吃上夏季的新鲜蔬菜，造福民生．某地大棚种植户现要采购一批圆筒状地膜，发现该种圆筒状地膜由纸质圆柱形空筒和缠绕在纸筒外面的地膜构成，经测量得到圆柱形空筒底面圆的半径为3cm（纸质圆筒的厚度忽略不计），每层地膜的厚度为0.1mm，约定在计算每层地膜的长度时，以外层半径来进行，则一筒100层的地膜的总长度大约为（，结果精确到1m）
A．18m B．19m C．20m D．21m
8．在正三棱柱中，，，O为BC的中点，M，N分别为棱，AM上的动点，且，则线段MN的长度的取值范围为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线l：和圆O：，则
A．l恒过点
B．l与圆O有两个交点
C．存在实数k，使得l与直线：垂直
D．l被圆O截得的最短弦长为
10．已知数列满足，，则
A．是等比数列 B．是单调递减数列
C． D．数列的前n项和
11．在棱长为2的正方体中，E，F分别为凌AD，的中点，G为线段上的一个动点，则
A．三棱锥D—EFG的体积为定值
B．存在点G，使得平面EFG∥平面ABD
C．当时，直线EG与所成角的余弦值为
D．当G为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
12．已知抛物线C：，点在C上，过点的直线l与C相交于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别为，，则
A． B．
C．的取值范围为 D．的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知直线：与：平行，则，与之间的距离为： ．
14．在正项等比数列中，已知，且，，成等差数列，则的公比 ．
15．已知空间中的三点，，，则点A到直线OB的距离为 ．
16．在正四棱锥P—ABCD中，，，过A作平面，交PB于E，交PC于F，交PD于G，若，，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线：，：过定点A．
（1）求点A的坐标；
（2）当时，与的交点为B，求以线段AB为直径的圆的标准方程．
18．（12分）
已知数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19．（12分）
如图，在直三棱柱中，，，，，E，F分别为，AB的中点．
（1）若，求x，y，z的值；
（2）求与平面AEF所成角的正弦值．
20．（12分）
一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程．
21．（12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PO⊥平面ABCD，垂足为O，E为PC的中点，OE∥平面PAD．
（1）证明：．
（2）若，OC⊥OD，PC与平面ABCD所成的角为60°，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值．
22．（12分）
已知椭圆C：（）的长轴长是每轴长的3倍，且椭圆C经过点．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设A是椭圆C的右顶点，P，Q是椭圆C上不同的两点，直线AP，AQ的斜率分别为，，且．过A作AB⊥PQ，垂足为B，试问是否存在定点M，使得线段BM的长度为定值？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由．
兵团地州学校2023—2024学年第一学期期末联考
高二数学试卷参考答案
1．C
由题意可知，．
2．D
记，因为，所以，故是平面的一个法向量．易知A，B，C中的向量均不与向量平行，所以均不能作为平面的一个法向量．
3．B
由，得，解得，则C的渐近线方程为．
4．B
连接BM（图略）．．
5．C
以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．
设异面直线AC与所成的角为，则．
6．A
设C的离心率为e，由，解得，则．又因为直线OM的斜率为，则，所以，即，所以，解得．
7．D
根据题意，圆柱形空筒的半径为30mm，地膜的半径是以0.1mm为公差的等差数列，所以每一层地膜的长度成等差数列，且首项为mm，项数为100，所以．
8．A
取BC的中点Q，连接OQ，如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
，，，．
因为M是棱上一动点，设，且，所以，．因为，所以．令，，则，．又函数在上为增函数，所以线段MN的长度的取值范围为．
9．ABC
对于A，由，可得，令，得，此时，所以直线l恒过点，A正确；
对于B，因为定点）到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线l与圆O有两个交点，B正确；
对于C，因为直线：的斜率为，所以直线l的斜率为，此时直线l的方程为，故C正确；
对于D，因为直线l恒过点，所以圆心O到直线l的最大距离为，此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误．
10．ABD
由，得，所以，所以，所以，可知A，B正确，，C错误．令，则，所以，D正确．
11．ABD
对于A，由于△DEF的面积为定值，点G到平面DEF的距离为定值，所以三棱锥D—EFG的体积为定值，A正确．
建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．
图1
对于B，易知是平面的一个法向量．设平面EFG的法向量为，因为，，，
设，，所以．
由，令，可得．
若平面EFG∥平面，则，解得，所以B正确．
对于C，当时，，，设直线EG与所成的角为，则，即直线EG与所成角的余弘值为，C错误．
对于D，如图2，当G为的中点时，，，，．
图2
设三棱锥的外接球的球心为，半径为r，
则，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，D正确．
12．BC
将代入，得．设，，直线AB的方程为，联立方程组，消去x得．由，得或，所以，，
则．
因为，，所以．
又因为，且或，所以．
13．2；
因为，所以，直线的方程可化为，所以与之间的距离
．
14．3
因为，，所以，解得或，负值舍去．
15．
由，，得．又，所以点A到直线OB的距离为．
16．
（方法一）连接AC，并与BD交于O点．以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz（图略），则，，，，，，，，，，，设．因为A，E，F，G四点共面，所以，其中，将，，，的坐标分别代入，可得，所以．
（方法二）设，则．因为A，E，F，G共面，所以，解得，所以．
17．解：
（1）可化为，
令，，得，．
直线过定点．
（2）当时，：，联立方程组，解得，
即．
又，所以线段AB的中点C的坐标为，
所以，
故以AB为直径的圆的标准方程为．
18．解：
（1）当时，，
当时，．
又也符合，所以的通项公式为．
（2），
则．
19．解：
（1）（方法一）因为，
所以，，．
（方法二）连接，，则EF是的中位线．
因为，
所以，，．
注：也可以通过建系来求解．
（2）以为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，
所以，，．
设平面AEF的法向量为，则，
取，可得，，所以．
设与平面AEF所成的角为，则．
20．解：
（1）依题意得该动圆的圆心到点的距离与到直线的距离相等．
又点不在直线上，
所以根据抛物线的定义可知该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为．
（2）设，，则．
两式相减得，即．
因为线段AB的中点坐标为，所以，则，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即．
21．
（1）证明：取CD的中点F，连接EF，PF，OF，
因为E为PC的中点，所以EF∥PD．
又平面PAD，平面PAD，所以EF∥平面APD．
因为OE∥平面PAD，，所以平面OEF∥平面PAD．
因为平面平面，平面平面，
所以OF∥AD．
因为AD⊥CD，所以OF⊥CD．
由PO⊥平面ABCD，可得PO⊥CD．又，
所以CD⊥平面POF，从而PF⊥CD．
因为PF是CD的中垂线，所以．
（2）解：因为PO⊥平面ABCD，
所以PC与平面ABCD所成的角为，
又OC⊥OD，，所以．
作OG⊥BC，垂足为G，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面PBC的法向量为，
则，令，得．
设平面PCD的法向量为，
则，令，得．
所以，即平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为．
22．解：
（1）因为椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，所以，
则椭圆C的方程为．
又椭圆C经过点，所以，
解得，，所以椭圆C的方程为．
（2）设，，直线PQ的方程为，且，
联立方程组，消去x得，
由，得，
所以，．
又因为，
所以，整理得，
即，
化简得．
所以，
化简得，解得，即直线PQ恒过点．
因为AB⊥PQ，所以点B在以线段AN为直径的圆上，取线段AN的中点，则，所以存在定点，使得线段BM的长度为定值．