初中数学北师大版七年级下学期期中考试复习专题：03 相交线与角
一、单选题
1．（2021八上·镇原期末）如图，已知P为直线外一点，点A、B、C、D在直线l上， ，下列说法正确的是（ ）
A．线段PC可能是 的高
B．线段PD可能是△PBC的高
C．线段PD的长是点P到直线l的距离
D．线段PB可能是△PAC的高
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：
、 、 的高线相同，并且可能是PA、PB、PC、PD中最短的线段
A．线段PC不可能是 的高，故错误；
B．线段PD可能是 的高，故正确；
C．线段PD的长不一定是点P到直线的距离，因为线段PD可能不是垂线段，故错误；
D．线段PB不可能是 的高，故错误．
故选B
【分析】利用三角形高的定义及垂线段最短，可得答案。
2．（2021七上·镇海期末）下列说法正确的个数是（ ）
①射线 与射线 是同一条射线；②点 到点 的距离是线段 ；③画一条长为 的直线；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；两点间的距离；垂线
【解析】【解答】解：①射线MN与射线 不是同一条射线，因为端点不一样，故错误；
②点 到点 的距离是线段 的长度，故错误；
③因为直线是无法度量的，所以不能说画一条长为3cm的直线，故错误；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，正确；
∴正确的个数只有④一个；
故答案为：B.
【分析】利用射线有一个端点，是向一方延伸，可对①作出判断；利用两点之间的距离（抓住距离是指线段的长），可对②作出判断；再根据直线不能度量，可对③作出判断；然后根据垂线的性质，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
3．（2020七上·平谷期末）下列语句正确的个数是（ ）
①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
②两点之间直线最短
③在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交
④两点确定一条直线
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，符合题意；
②两点之间直线最短，直线可以两边无限延伸不可测，该说法不符合题意；
③在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交，符合题意；
④两点确定一条直线，符合题意．
正确的有：①③④，
故答案为：C．
【分析】根据垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线和平行，对每个语句一一判断即可。
4．（2021七上·吴兴期末）如图，直线AB与CD相交于点E，∠CEB=50°，EF⊥AE，则∠DEF的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠CEB=50°，EF⊥AE ，
∴∠CEF=90°-50°=40°，
∴∠DEF=180°-40°=140°，
故答案为：B.
【分析】因为EF⊥AE ，∠CEB=50°即可求解∠CEF的度数，又∠DEF=180°-∠CEF，即可求解.
5．（2021七上·五华期末）下列说法中：①40°35′＝2455′；②如果∠A+∠B＝180°，那么∠A与∠B互为余角；③经过两点有一条直线，并且只有一条直线；④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交.正确的个数为（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；常用角的单位及换算；余角、补角及其性质；平面中直线位置关系
【解析】【解答】 ，故①不正确；
如果∠A+∠B＝180°，那么∠A与∠B互为补角，故②不正确；
③、④正确；
故答案为：B.
【分析】①根据1°=60'，1'=60”进行计算，然后判断即可；②如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，据此判断即可；③根据两点确定一条直线进行判断即可；④在同一平面内，两条直线的位置关系相交或平行，据此判断即可.
6．（2021七上·抚顺期末）如图，将一副三角板按以下四种方式摆放，其中 与 一定互余的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠α与∠β互余，故本选项正确；
B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
C、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；
故答案为：A.
【分析】如果两个角的和等于90°，那么这两个角是互为余角，据此逐一判断即可.
二、填空题
7．（2021七下·苏州开学考）已知 .则 的余角为 .
【答案】21°18′
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：
的余角为
故答案为：21°18′.
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，列式计算即可.
8．（2021七上·沈丘期末）已知∠1为锐角，∠1与∠2互补，∠1与∠3互余，则∠2-∠3= .
【答案】90°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解： ∠1与∠2互补，
，
∠1与∠3互余，
，
.
故答案为：90°.
【分析】根据余角和补角的概念，先分别表示出∠2、∠3，再相减化简即可得出答案.
9．（2021七上·西林期末）一个角和它补角的比是 ，则这个角的余角的度数是 .
【答案】
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x度，则其补角为180-x度，
则4（180-x）=5x，
解之得，x=80，
∴其余角=90°-80°=10°.
故答案为：10°.
【分析】设这个角为x度，则其补角为180-x度， 根据一个角和它补角的比是 列方程求解即可.
三、综合题
10．（2021七上·播州期末）如图1，∠AOB＝∠COD＝90°.
（1）若∠BOC＝2∠AOC，求∠BOC的大小；
（2）试探究∠BOC与∠DOA之间的数量关系；
（3）若把图1中∠AOB绕点O转动到图2的位置，试说明（2）中∠BOC与∠DOA之间的数量关系还成立吗？
【答案】（1）解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝2∠AOC，∠AOB=∠BOC+∠AOC，
∴∠AOB=3∠AOC，
∴∠AOC=30°，
∴∠BOC＝2∠AOC=60°；
（2）解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠DOC=∠BOC+∠BOD，∠DOA=∠DOB+∠AOB，
∴∠DOA+∠BOC=∠DOB+∠AOB+∠BOC=∠COD+∠AOB=90°+90°=180°，
∴∠BOC与∠DOA互补；
（3）解：仍然成立，理由如下：
∵∠DOA+∠BOC=360°-∠AOB-∠DOC=360°-90°-90°=180°，
∴∠BOC与∠DOA互补.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【分析】（1）根据条件可得：∠AOB=3∠AOC，求出∠AOC的度数，进而即可求解；
（2）由 ∠DOA+∠BOC=∠DOB+∠AOB+∠BOC=∠COD+∠AOB 推出∠DOA+∠BOC=180° ，即可得到结论；
（3）根据周角的定义得出 ∠DOA+∠BOC=360°-∠AOB-∠DOC ，从而推出∠DOA+∠BOC=180°，即可得到结论.
11．（2020七上·香坊期末）已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，过点O画直线FG满足射线OF在 内部，且使 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与 互余的角．
【答案】（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
解得：
∵∠BOD＝∠AOC＝30°
∴∠BOE＝∠BOD＋∠DOE＝90°＋30°＝120°
（2）解：由（1）知 ，
∴∠AOE＝60°
又
∴∠EOF＝15°，
∵∠EOF＋∠DOF＝90°＝∠DOE
∵∠DOF＝∠COG＝75°
∴∠EOF＋∠COG＝90°
∵∠AOE＋∠EOF＝60°＋15°＝∠AOF＝75°
∴∠AOF＋∠EOF＝90°
∵∠AOF＝∠BOG
∴∠BOG＋∠EOF＝90°
故：∠DOF、∠COG、∠AOF、∠BOG都是与 互余的角．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，即可作答；
（2）先求出 ∠EOF＝15° ，再证明 ∠AOF＋∠EOF＝90° ，即可作答。
12．（2020七上·房山期末）已知，如图，点 、 分别代表两个村庄，直线 代表两个村庄之间的一条燃气管道，根据村民燃气需求，计划在管道 上某处修建一座燃气管理站，向两村庄接入管道．
（1）若计划建一个离村庄 最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据．
（2）若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小，画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据．
【答案】（1）解：∵计划建一个离村庄 最近的燃气管理站，
过点M作MP⊥直线l，
则MP为垂线段，
∴点P为所求，
根据连结直线外一点M，与直线上个点的所有线中，垂线段最短，
故依据为：垂线段最短
（2）解：∵燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小，
∴连结MN，
∵根据所有连结两点的线中，线段最短，
∴MQ+NQ=MN，
∴点Q为所求．
故依据为：两点之间，线段最短．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【分析】（1）根据垂线段最短作图求解即可；
（2）根据两点之间线段最短进行求解即可。
1 / 1初中数学北师大版七年级下学期期中考试复习专题：03 相交线与角
一、单选题
1．（2021八上·镇原期末）如图，已知P为直线外一点，点A、B、C、D在直线l上， ，下列说法正确的是（ ）
A．线段PC可能是 的高
B．线段PD可能是△PBC的高
C．线段PD的长是点P到直线l的距离
D．线段PB可能是△PAC的高
2．（2021七上·镇海期末）下列说法正确的个数是（ ）
①射线 与射线 是同一条射线；②点 到点 的距离是线段 ；③画一条长为 的直线；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2020七上·平谷期末）下列语句正确的个数是（ ）
①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
②两点之间直线最短
③在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交
④两点确定一条直线
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021七上·吴兴期末）如图，直线AB与CD相交于点E，∠CEB=50°，EF⊥AE，则∠DEF的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
5．（2021七上·五华期末）下列说法中：①40°35′＝2455′；②如果∠A+∠B＝180°，那么∠A与∠B互为余角；③经过两点有一条直线，并且只有一条直线；④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交.正确的个数为（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021七上·抚顺期末）如图，将一副三角板按以下四种方式摆放，其中 与 一定互余的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2021七下·苏州开学考）已知 .则 的余角为 .
8．（2021七上·沈丘期末）已知∠1为锐角，∠1与∠2互补，∠1与∠3互余，则∠2-∠3= .
9．（2021七上·西林期末）一个角和它补角的比是 ，则这个角的余角的度数是 .
三、综合题
10．（2021七上·播州期末）如图1，∠AOB＝∠COD＝90°.
（1）若∠BOC＝2∠AOC，求∠BOC的大小；
（2）试探究∠BOC与∠DOA之间的数量关系；
（3）若把图1中∠AOB绕点O转动到图2的位置，试说明（2）中∠BOC与∠DOA之间的数量关系还成立吗？
11．（2020七上·香坊期末）已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，过点O画直线FG满足射线OF在 内部，且使 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与 互余的角．
12．（2020七上·房山期末）已知，如图，点 、 分别代表两个村庄，直线 代表两个村庄之间的一条燃气管道，根据村民燃气需求，计划在管道 上某处修建一座燃气管理站，向两村庄接入管道．
（1）若计划建一个离村庄 最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据．
（2）若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小，画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：
、 、 的高线相同，并且可能是PA、PB、PC、PD中最短的线段
A．线段PC不可能是 的高，故错误；
B．线段PD可能是 的高，故正确；
C．线段PD的长不一定是点P到直线的距离，因为线段PD可能不是垂线段，故错误；
D．线段PB不可能是 的高，故错误．
故选B
【分析】利用三角形高的定义及垂线段最短，可得答案。
2．【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；两点间的距离；垂线
【解析】【解答】解：①射线MN与射线 不是同一条射线，因为端点不一样，故错误；
②点 到点 的距离是线段 的长度，故错误；
③因为直线是无法度量的，所以不能说画一条长为3cm的直线，故错误；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，正确；
∴正确的个数只有④一个；
故答案为：B.
【分析】利用射线有一个端点，是向一方延伸，可对①作出判断；利用两点之间的距离（抓住距离是指线段的长），可对②作出判断；再根据直线不能度量，可对③作出判断；然后根据垂线的性质，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
3．【答案】C
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，符合题意；
②两点之间直线最短，直线可以两边无限延伸不可测，该说法不符合题意；
③在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交，符合题意；
④两点确定一条直线，符合题意．
正确的有：①③④，
故答案为：C．
【分析】根据垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线和平行，对每个语句一一判断即可。
4．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠CEB=50°，EF⊥AE ，
∴∠CEF=90°-50°=40°，
∴∠DEF=180°-40°=140°，
故答案为：B.
【分析】因为EF⊥AE ，∠CEB=50°即可求解∠CEF的度数，又∠DEF=180°-∠CEF，即可求解.
5．【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；常用角的单位及换算；余角、补角及其性质；平面中直线位置关系
【解析】【解答】 ，故①不正确；
如果∠A+∠B＝180°，那么∠A与∠B互为补角，故②不正确；
③、④正确；
故答案为：B.
【分析】①根据1°=60'，1'=60”进行计算，然后判断即可；②如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，据此判断即可；③根据两点确定一条直线进行判断即可；④在同一平面内，两条直线的位置关系相交或平行，据此判断即可.
6．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠α与∠β互余，故本选项正确；
B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
C、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；
故答案为：A.
【分析】如果两个角的和等于90°，那么这两个角是互为余角，据此逐一判断即可.
7．【答案】21°18′
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：
的余角为
故答案为：21°18′.
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，列式计算即可.
8．【答案】90°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解： ∠1与∠2互补，
，
∠1与∠3互余，
，
.
故答案为：90°.
【分析】根据余角和补角的概念，先分别表示出∠2、∠3，再相减化简即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x度，则其补角为180-x度，
则4（180-x）=5x，
解之得，x=80，
∴其余角=90°-80°=10°.
故答案为：10°.
【分析】设这个角为x度，则其补角为180-x度， 根据一个角和它补角的比是 列方程求解即可.
10．【答案】（1）解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝2∠AOC，∠AOB=∠BOC+∠AOC，
∴∠AOB=3∠AOC，
∴∠AOC=30°，
∴∠BOC＝2∠AOC=60°；
（2）解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠DOC=∠BOC+∠BOD，∠DOA=∠DOB+∠AOB，
∴∠DOA+∠BOC=∠DOB+∠AOB+∠BOC=∠COD+∠AOB=90°+90°=180°，
∴∠BOC与∠DOA互补；
（3）解：仍然成立，理由如下：
∵∠DOA+∠BOC=360°-∠AOB-∠DOC=360°-90°-90°=180°，
∴∠BOC与∠DOA互补.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【分析】（1）根据条件可得：∠AOB=3∠AOC，求出∠AOC的度数，进而即可求解；
（2）由 ∠DOA+∠BOC=∠DOB+∠AOB+∠BOC=∠COD+∠AOB 推出∠DOA+∠BOC=180° ，即可得到结论；
（3）根据周角的定义得出 ∠DOA+∠BOC=360°-∠AOB-∠DOC ，从而推出∠DOA+∠BOC=180°，即可得到结论.
11．【答案】（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
解得：
∵∠BOD＝∠AOC＝30°
∴∠BOE＝∠BOD＋∠DOE＝90°＋30°＝120°
（2）解：由（1）知 ，
∴∠AOE＝60°
又
∴∠EOF＝15°，
∵∠EOF＋∠DOF＝90°＝∠DOE
∵∠DOF＝∠COG＝75°
∴∠EOF＋∠COG＝90°
∵∠AOE＋∠EOF＝60°＋15°＝∠AOF＝75°
∴∠AOF＋∠EOF＝90°
∵∠AOF＝∠BOG
∴∠BOG＋∠EOF＝90°
故：∠DOF、∠COG、∠AOF、∠BOG都是与 互余的角．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，即可作答；
（2）先求出 ∠EOF＝15° ，再证明 ∠AOF＋∠EOF＝90° ，即可作答。
12．【答案】（1）解：∵计划建一个离村庄 最近的燃气管理站，
过点M作MP⊥直线l，
则MP为垂线段，
∴点P为所求，
根据连结直线外一点M，与直线上个点的所有线中，垂线段最短，
故依据为：垂线段最短
（2）解：∵燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小，
∴连结MN，
∵根据所有连结两点的线中，线段最短，
∴MQ+NQ=MN，
∴点Q为所求．
故依据为：两点之间，线段最短．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【分析】（1）根据垂线段最短作图求解即可；
（2）根据两点之间线段最短进行求解即可。
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