福建省福州市福清市高中联合体2023-2024学年高二上学期期末考试质量检测数学试题（含答案）

2023—2024学年第一学期高二年期末考试质量检测
数学学科试卷
注意事项：
1.答题前、考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致、
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，考生必须将答题卡交回.
第I卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线与直线间的距离为2，则（ ）
A.-8或4 B.4 C.-4或6 D.-4或16
2.已知双曲线的一个焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C.2 D.3
4.已知抛物线：的准线方程为，过点的直线与C有且只有一个公共点，则满足这样条件的的条数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
5.已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（ ）
A.6 B. C. D.
6.已知三棱锥，点M是棱的中点，点N是的重心，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知，，动点满足，则面积的最大值为（ ）
A.24 B.15 C.12 D.6
8.在正方体中，点满足，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知方程表示曲线，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则是轴 B.若，则是圆
C.若，则是椭圆 D.若是双曲线，则
10.已知点，，直线：与线段有交点，则可以为（ ）
A.6 B.2 C.1 D.-1
11.已知点在圆上，点，，则下列结论正确的是（ ）
A.直线的方程为
B.当最大时，
C.当最小时，
D.圆上到直线的距离等于1的点只有1个
12.如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为.点A，B，M是底面圆周上三个不同的点，且.已知，则下列结论正确的是（ ）
A.三棱锥体积的最大值为
B.当时，直线与所成角为45°
C.存在点M，使得直线与所成角为30°
D.当直线与成60°角时，与所成角为60°
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线过点且与以为方向向量的直线平行，则的方程为______.
14.圆与圆的公共弦长为______.
15.在正三棱柱中，，动点P在棱上，则点P到平面的距离为______.
16.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点.若的左支上存在点，使得，则的离心率的取值范围为________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知关于直线对称，点，都在上.
（1）求线段垂直平分线的方程；
（2）求的标准方程
18.（本小题满分12分）
已知点为坐标原点，的直径为2，点，点是：上的动点，记线段的中点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）判断与的位置关系.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，E，F分别为棱，中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面平面，且，求直线与平面所成角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，抛物线：上的点M与的焦点F的距离为2，点M到y轴的距离为.
（1）求的方程：
（2）直线：与交于A，B两点，求的面积.
21.（本小题满分12分）
如图1，在边长为4的正方形中，是的中点，N是的中点，将，分别沿，折叠，使B，D点重合于点P，如图2所示.
（1）证明：平面平面；
（2）在四棱锥中，，求平面与平面夹角的余弦值
图1 图2
22.（本小题满分12分）
设A，B两点的坐标分别为（-2，0），（2，0），直线，相交于点P，且它们的斜率之积为，动点P的轨迹为.
（1）求的方程，
（2）动直线与F相交于不同的两点C，D，若直线与直线相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上 若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
2023—2024学年第一学期高二年期末考试质量检测
数学参考答案及评分细则
评分说明：
1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.A 7.C 8.B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.BC 10.ABC 11.ABC 12.BD
三、填空题：每小题5分，满分20分.
13. 14. 15. 16.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：（1）因为点，，
所以线段的中点为
因为直线的斜率为，所以垂直平分线的斜率不存在.
所以垂直平分线的方程为；
（2）解法一：因为关于直线对称，则可设的方程为，
又因为点，在上，所以，
解得，
所以的标准方程为.
解法二：因为直线与直线的交点为圆心，
由，解得，
故圆心.
又因为.
所以的标准方程为.
18.解：（1）设，
由题意知，则，
又点在上，所以，
所以的方程为.
（2）因为的直径为2，
故圆心为，半径.
由（1）可知的圆心，半径.
所以，
又因为，，，即，
所以点N的轨迹与的位置关系是相交.
19.解：（1）因为E，F分别为棱，中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，，，E为棱中点，所以.
所以四边形为平行四边形，故.
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面；
（2）因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.
因为，所以平面，
因为，所以.
以E为原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
可得，，，.
所以，，.
设平面的法向量，则所以
取，则.
则.
设直线与平面所成角为，则.
因为，所以.
故直线与平面所成角的余弦值为.
20解：（1）因为，根据抛物线的定义知点到的准线的距离为2，
因为点到轴的距离为，所以点的坐标为，
因为点在：上，所以，
即，因为，所以，
所以的方程为.
（2）由（1）可知的焦点，：经过的焦点，
由，得.
设，，则，.
所以，
因此的面积.
21.解法一：（1）在正方形中，，.
所以在四棱锥中，，.
因为平面平面，平面，平面，
所以为二面角的平面角.
因为在正方形中，，
所以在四棱锥中，.
所以，即二面角为直二面角.所以平面平面.
（2）由（1）得，，，两两垂直.以P为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
所以，，，.
可得，，.
设平面的法向量，
则所以
取，则.
设平面的法向量，则所以
取，则.
则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
解法二：（1）在正方形中，M，N分别是，的中点，
所以在四棱锥中，，.
所以，所以，即.
又在正方形中，，所以在四棱锥中，.
由于，平面，所以平面
因为平面，所以平面平面.
（2）依题，，，，
所以平面.所以.
设，可得.
由，，得平面.
因为平面，所以平面平面.
过作垂直，垂足.
以为原点，过作的平行线为x轴，，所在直线为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
在中，，，.
可得，，，.
所以，，
可得，，.
设平面的法向量，则所以
取，则.
取平面的一个法向量，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
22.解：（1）设点的坐标为，因为点的坐标为，
所以直线的斜率，
同理直线的斜率，
由已知，有，
化简，得的方程为.
（2）点M位于定直线上.
理由如下：
设，，
由得，
所以，且，，
因为A，B两点的坐标分别为（-2，0），（2，0），
直线方程为，直线方程为，
由，得，
又，代入得，
由，得，
即，
所以，
所以点在定直线上.