保密★启用前
2023-2024学年度上学期泉州市高中教学质量监测
2024.01
高一数学
本试卷共20题，满分150分，共8页。考试用时120分钟。
注意事项
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，
超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号：
非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.己知集合A=1,3,4},B={x1A.{3}
B.1,3}
C.3,4
D.{1,2,3,4
2.已知角a终边上有一点P(-V5,,则tana=
A.3
B.-3
C.√5
D.-√5
3
3
3.己知a>b>0>c,则下列结论正确的是
A.√aB.ac>bc
C.cD.
b-cb
a-c a-b
a-c a
4.若函数g(x)与函数f(x)=2+1的图象关于直线y=x对称，则g(x)的大致图象是
D
高一数学试题第1页（共8页）
5.已知1-sa=反cosa,ae(2r受，则ama-
A.②
B.、②
C.22
D.-22
4
log1(x2+2a)x<1,
6.若函数f(x)
存在最大值，则实数a的取值范围为
1-3x,x≥1
A.
-04
B.
c.(
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
7.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是
A.y=e
B.y=x3
C.y=xx
D.y=2*-2-*
8.生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量y在8月份随时间1（单位：日，t∈N)的
变化近似地满足函数y=Asi(of+p)+B(AC0,o>0),且在8月1日达到最低数量700，
此后逐日增长并在8月7日达到最高数量900，则
A.0=
6
B.A=450
C.8月17日至23日，该地区此昆虫种群数量逐日减少
D,8月份中，该地区此昆虫种群数量不少于850的天数为13天
9.定义在R上的奇函数f(x)满足f(-3x)=f(2+3x),则下列结论一定成立的是
A.f(0)=0
B.2是f(x)的一个周期
C.(2,0)是f(x)的一个对称中心
D.f(3x+1)为偶函数
高一数学试题第2页（共8页）保密★启用前
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2024.01
高一数学参考答案及评分建议
一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 已知集合 A {1,3,4}， B {x |1＜x＜4}，则 A B=
A．{3} B．{1,3} C．{3,4} D．{1,2,3,4}
【答案】A．
2．已知角 终边上有一点 P 3,1 ，则 tan
A 3 3． B． C． 3 D． 3
3 3
【答案】B．
3．已知 a＞b＞0＞c，则下列结论正确的是
c b b c b
A． a＜ b B． ac＞bc C． ＜ D． ＜a c a b a c a
【命题意图】本小题主要考察利用不等式性质比较大小等基础知识；考查逻辑推理，运算求
解能力；导向对数学运算、逻辑推理等核心素养的关注。
【答案】C．
4．若函数 g(x)与函数 f (x) 2 x 1的图象关于直线 y x对称，则 g(x)的大致图象是
高一数学试题 第 1页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
A B C D
【命题意图】本题考查含参分段函数的最值求解问题，考查数形结合思想、分类与整合思想、
化归与转化思想；引导对数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注；体现基础性、综合
性。
【答案】A．
π π
5．已知1 sin 2 cos ， ( , ) ，则 tan 2 2
A 2 B 2． ． C． 2 2 D． 2 2
4 4
【命题意图】本小题主要考查了同角三角函数关系，二倍角公式等基础知识；考查了化归与
转化，方程思想，整体思想等数学思想，体现基础性、综合性，导向对逻辑推理、数学运算等核
心素养的关注．
【答案】B．
【试题解析】
解法一：因为1 sin 2 cos ，所以 sin 1 2 cos ，
联立 sin2 cos2 1，得 3cos2 2 2 cos 0 ，
所以 cos 0 2 2或者 cos ．
3
π π因为 ( , ) ，所以 cos 0 ，即 cos 2 2 ，
2 2 3
高一数学试题 第 2页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
所以 sin 1 2 cos
1
．
3
2
所以 tan ．故选 B．
4
解法二：因为1 sin 2 cos ，所以1 (sin 2 cos ) 2 ，
可得 sin2 2 2 sin cos 2cos2 1，又因为 sin2 cos2 1，
所以 sin2 2 2 sin cos 2cos2 sin2 cos2 ，
化简得 2 2 sin cos cos2 ，
因为 (
π π
, ) 2，所以 cos 0 ，可得 tan ．故选 B．
2 2 4
解法三：因为1 sin 2 cos ，所以 (cos sin )2 2(cos sin )(cos sin ) ，2 2 2 2 2 2
因为
π π
( , ) ，所以 cos sin ，且 cos 0 ，
2 2 2 2 2
cos sin 所以 2(cos
sin ) ，
2 2 2 2
两边同时除以 cos
，可得1 tan
2(1 tan ) ，
2 2 2
2 tan
整理得： tan 2 2 3，所以 tan 2
2
. 故选 B.2 1 tan 2 4
2
log1 x2 2a , x＜1,
6．若函数 f (x) 2 存在最大值，则实数 a的取值范围为
1 31 x , x≥1
, 1A．
B． 0,
1 1 , 1 0, 1 C． D．
4 4 2 2 2
【命题意图】本题考查含参分段函数的最值求解问题，考查数形结合思想、分类与整合思想、
化归与转化思想；引导对数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注；体现基础性、综合
高一数学试题 第 3页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
性。
【答案】B．
【试题解析】
易得 f (x) 1 31 x 在 1，+ 上单调递增，所以当 x≥1时， f x 0，1 ， f x 无最大值．
又因为 y x2 2a在 ,0 上单调递减，在 0,1 上单调递增，
所以 f x log1 x2 2a 在 ,0 上单调递增，在 0,1 上单调递减，
2
所以当 x＜1时， f x max f 0 log 1 (2a )，
2
1 1
结合题意可知 log 1 (2a)≥1，则 0 2a≤ ，解得 0 a≤ ．故选:B．
2 2 4
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
7．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是
A． y ex B． y x3
C． y x | x | D． y 2x 2 x
【答案】BCD．
8． 生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量 y在 8 月份随时间 t （单位：日， t N* ）
的变化近似地满足函数 y Asin( t ) B（ A＞0, ＞0），且在 8 月 1 日达到最低数量 700，
此后逐日增长并在 8 月 7 日达到最高数量 900，则
π
A．
6
B． A 450
C．8 月 17 日至 23 日，该地区此昆虫种群数量逐日减少
高一数学试题 第 4页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
D．8 月份中，该地区此昆虫种群数量不少于 850 的天数为 13 天
【命题意图】本小题主要考察利用三角函数性质求三角函数解析式等基础知识；考查逻辑推
理，运算求解能力；导向对数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养的关注。
【答案】AD．
【试题解析】
T
不妨设8月 1 日时 t 1，因为 7 1 6 ，所以T 12，
2
2π π所以 ，故 A 正确；
T 6
A 900 700又 100 B
900 700
， 800 ，故 B 错误；
2 2
因为函数的周期为12，所以种群数量从8月13日到8月19日逐渐增加，从8月19日到 25日
逐渐减少，故 C 错误；
π
由上可知， y 100sin( t ) 800，
6
π π
当 t 1时， y取得最小值 700，即 2kπ,k Z ,
6 2
2π
所以 2kπ,k Z ，
3
y 100sin(π t 2π所以 2kπ) 800 100sin(
π t 2π ) 800 .
6 3 6 3
100sin(π t 2π) 800 850 sin(π t 2π 1令 ≥ , 则 )≥ ,
6 3 6 3 2
π 2kπ π t 2π 5π所以 ≤ ≤ 2kπ,k Z ，
6 6 3 6
所以 5 12k≤t≤9 12k,k Z，
所以 5≤t≤9 或17≤t≤21或 29≤t≤31共13天，故 D 正确.
故选 AD.
高一数学试题 第 5页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
9．定义在R 上的奇函数 f (x) 满足 f ( 3x) f (2 3x) ，则下列结论一定成立的是
A． f (0) 0 B．2 是 f (x) 的一个周期
C． (2,0)是 f (x) 的一个对称中心 D． f (3x 1) 为偶函数
【命题意图】本题考查抽象函数的求值，周期性，对称性，奇偶性等综合性质。考查了化归
与转化思想；引导对数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养的关注；体现基础性、
综合性。
【答案】ACD.
【试题解析】
对于 A，函数 f x 是定义在 R 上的奇函数， f 0 =0 ，故 A 正确；
对于 B，因为 f x 是定义在 R 上的奇函数，所以 f x f x ，可得
f x f 2 x =f 4 x ，所以 4 是 f x 的一个周期，2 不一定是，故 B 错误；
对于 C，由 f x f x ， f x f 4 x 可得 f x f x+4 ，可得 (2,0)是 f (x) 的
一个对称中心；故 C 正确；
对于 D，因为 f 3x f 2 3x ，所以 f x f 2 x ，可得 f 1 x f 1 x ，所以
f 1 3x f 1 3x ，所以 f 3x 1 为偶函数，故 D 正确；
故选 ACD.
10．已知 x＞0 ， y＞0 ， 2x y 1，则
A． 4x 2 y 的最小值为 2 2 B． log2 x log2 y的最大值为 3
2x2 y2 1
C． y x xy的最小值为 1 D． 的最小值为x 2 y 1 6
高一数学试题 第 6页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
【命题意图】本小题主要考查了基本不等式，二次函数，指对数运算等基础知识；考查了化
归与转化，整体思想等数学思想，体现基础性、综合性，导向对数学抽象，逻辑推理、数学运算
等核心素养的关注．
【答案】ABD.
【试题解析】
因为 4x 2y 22x 2y≥2 22x2y 2 22x y 2 2 （当且仅当 2x y
1
时等号成立），所以
2
4x 2 y 的最小值为 2 2 ，故 A 正确；
1 1
由 2x y 1≥2 2xy（当且仅当 2x y 时等号成立），得 xy≤ .
2 8
1
从而 log2 x log2 y log2 (xy)≤log2 3， log2 x log2 y的最大值为 3，故 B 正确；8
因为 y x xy 1 2x x x 1 2x 2x 2 4x 1 ，
0 x 1而 ，所以 y x xy无最小值，故 C 错误；
2
对于 D,
令m x 2,n y 1，则 x m 2, y n 1.
2x2 y2 2m2 8m 8 n2 2n 1
所以 2m
8 1
n 10 .
x 2 y 1 m n m n
因为 2m n 2(x 2) (y 1) 2x y 5 6 ,且m 2,n 1，
8 1 1 ( 8 1 )(2m n) 1 (8n 2m 16 1) 1 8n≥ (2 .2m 17) 25 ,
m n 6 m n 6 m n 6 m n 6
8n 2m 12 6
当且仅当 ，即m ,n 时，等号成立,
m n 5 5
2m n 8 1 10 25 1 ≥6 10 ，
m n 6 6
2x2 y2 1
故 的最小值为 , 故 D 正确，
x 2 y 1 6
高一数学试题 第 7页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
（本题还可用柯西不等式求解）
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填在答题卡相应位置。
11. 已知 lg2 a， lg3 b，则 log 23 ．(结果用 a，b表示)
b
【答案】 .
a
k
12．函数 f (x) x (k＞0) 的零点个数为_______．
x
【答案】1.
13．对于任意 a＞0 且 a 1，函数 f (x) amx n b的图象恒过定点 (1, 2) ．若 f (x) 的图象也过
( 1,10)，则 f (x) _______________．
【命题意图】本小题主要考查了指数函数，定点等基础知识；考查了化归与转化，方程思想，
整体思想等数学思想，体现基础性、综合性，导向对数学抽象，逻辑推理、数学运算等核心素养
的关注．
【答案】 f (x) 31 x 1
【试题解析】
因为对于任意 a＞0 且 a 1，函数 f (x) amx n b的图象恒过定点 (1, 2) ，
所以m n 0，且1 b 2，所以 f (x) amx m 1 .
又因为 f (x) 的图象也过 ( 1,10)
1
，所以 a m m 1 10，可得 a 2m 9 m，即 a ，3
所以 f (x) 31 x 1 .
14．将函数 f (x) 2sin(x
π 1
) 图象上所有点的横坐标变为原来的 ( ＞0) ，纵坐标不变，得到函
6
π π
数 g(x)的图象．若对于任意的 x1 0, ，总存在唯一的 x2 0, 2 2
，使得 f (x1) g(x2 ) 2，
高一数学试题 第 8页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
则 的取值范围为__________．
【命题意图】本小题主要考察利用三角函数图像变换，三角函数性质等基础知识；考查逻辑
推理，运算求解、数形结合能力；导向对数学运算、逻辑推理等核心素养的关注。
10
【答案】 2≤ ＜ .
3
【试题解析】
依题意得： g x 2sin( x π )，
6
因为对于任意的 x1 0,
π x + π [π , 2π ， 1 ] ，所以 f (x1) [1,2]，故. 2 6 6 3
令 t= x2 +
π
，则 y 2sin t .
6
因为 x2 0,
π
，所以 t [
π , π + π]，
2 6 2 6
π
因为对于 f (x1) 2 的任意取值， g(x2 ) f (x1) 2 在 0, 2
上有唯一解，
sin t f (x1) 2 [π即 在 ,
π + π] 上有唯一解，
2 6 2 6
7π π
由图可知，即 ≤ +
π 11π
＜ ，
6 2 6 6
2 10所以 ≤ ＜ .
3
高一数学试题 第 9页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
四、解答题：本大题共 6 题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（12 分）
集合 A {x | x2 x 2 0}， B {x | a 2 x a 2}．
（1）若 a 1，求 RA， A B；
（2）若 x A是 x B的充分条件，求 a的取值范围．
【命题意图】本题主要考察解一元二次不等式，集合的交、并、补运算，已知充分必要条件
求参数等基础知识；考查逻辑推理，运算求解能力；导向对数学运算、逻辑推理等核心素养的关
注。
【试题解析】
（1） 由 x2 x 2 0 得 2 x 1，【1 分】所以 A {x | 2 x 1} . .............2 分
当 a 1， B {x | 1 x 3} . ..................................................................... 3 分
RA {x | x≤ 2或x≥1}，............................................................................... 5 分
A B {x | 2 x 3} .. .............................................................................. 6 分
（2） 因为 A {x | 2 x 1}， B {x | a 2 x a 2}，
因为 x A是 x B的充分条件，所以 A B . 【允许跳步】....................8 分
a 2≤ 2，
所以 a 2 1 ...............................................................................................10 分 ≥，
所以 1≤a≤3 . ............................................................................................. 12 分
高一数学试题 第 10页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
16．（14 分）
已知二次函数 f (x) 的图象过原点，且满足 f (x 1) f (x) 2x 1．
（1）求 f (x) 的解析式；
（2）在平面直角坐标系中画出函数 y f (x) 的图象，并写出其单调递增区间；
（3）对于任意 t (0, )，函数 y f (x) 在 [0,t]上都存在一个最大值M，写出M关于 t的
函数解析式．
【命题意图】本小题主要考查二次函数的解析式、图象的变换、分段函数等基础知识；考查
运算求解能力；考查数形转化的思想及分类讨论思想，体现基础性与综合性，导向对数学运算及
逻辑推理等核心素养的关注．
【试题解析】
（1） 设 f (x) ax2 bx c(a 0) ，因为 f (x) 的图象过原点，所以 c 0 ......... 1 分
【直接设 f (x) ax2 bx(a 0) ，可得 1 分】
因为 f (x 1) f (x) 2x 1，
所以 a(x 1)2 b(x 1) (ax2 bx) 2x 1 ,................................................... 2 分
化简得： 2ax a b 2x 1 ，........................................................................3 分
2a 2 a 1
所以 ，得 ，
a b 1 b 2
所以 f (x) x2 2x . 【a,b 求对 1 个得 1 分】............................................ 5 分
x2 2x, x ( ,0) (2, ),
（2） f (x)
x2 2x, x 0,2 .
高一数学试题 第 11页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
其图象如图所示...........................................8 分
【分段函数解析式没写不扣分；图象中应体现 (0,0)， (2,0)， (1,1)这三个关键点。】
由图象可知函数的单调增区间为： (0,1)和（2， ）. .............................. .10 分
【单调区间开闭都给分，写对 1 个得 1 分，用∪扣 1 分，即只能得 1 分.】
（3）由 f (x) 的图象知，当 x 1时，由 x2 2x 1可得 x 1 2 ．
①当 0 t≤1时，M f (t) t 2 2t ；........................................................11 分
②当1 t≤1 2 时，M f (1) 1；.......................................................... 12 分
③当 t 1 2 时，M f (t) t 2 2t . .................................................... 13 分
t 2 2t,0 t≤1,
M
综上， 1,1 t≤1 2, ......................................................................... 14 分
2
t 2t,t 1 2.
17．（12 分）
π
已知函数 f (x) 3a sin 2x 2cos 2 x 1的图象关于点 ( ,0)对称．
12
（1）求 f (x) 的最小正周期和对称轴的方程；
1 π
（2）已知 f ( ) ，求 sin(2 )．
2 2 6
【命题意图】本小题主要考查三角函数诱导公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，周
期和对称轴等基础知识；考查了化归与转化，整体思想等数学思想，体现基础性、综合性，导向
对逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．
【试题解析】
高一数学试题 第 12页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
解法一：（1） f (x) 3a sin 2x 2cos 2 x 1 3a sin 2x cos 2x ，..................... 1 分
π π
因为其图象关于点 ( ,0) 对称，，所以 f ( ) 0，............................... 2 分
12 12
π
即 3a sin( ) cos(
π
) 0 ，所以 a 1 . ................................................. 3 分
6 6
所以 f (x) 2sin(2x
π
)，...............................................................................4 分
6
函数的最小正周期T π ；..............................................................................5 分
2x π π令 kπ,k Z ，可得：......................................................................6 分
6 2
π kπ
函数的对称轴方程： x ,k Z . ......................................................7 分
6 2
（注： k Z 没写扣 1 分，对称轴表达形式不唯一，可能有其它答案）
1 π 1
（2） 因为 f ( ) ，所以 sin( ) ，.......................................................... 8 分
2 2 6 4
所以 cos(2
π
) cos π
3
2( )
6
1 2sin2 ( π ) . ............................................................ 9 分
6
7
,
8
sin(2 π π π ) sin 2 所以 （ ） . ......................................................... 10 分6 3 2
cos(2 π ) ................................................................. 11 分
3
7
. ........................................................................... 12 分
8
解法二：（1） 同解法一；
（2） 因为 f (
) 1 ，所以 sin(
π) 1 ，..............................................8 分
2 2 6 4
π π 1
令 t ，所以 t ， sin t ，..................................................... 9 分
6 6 4
sin(2 π) π π sin 2 t 所以 （ ） sin(2t
π
) cos 2t ..........................10 分
6 6 6 2
高一数学试题 第 13页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
2sin2 t 1 ,...........................................................................11 分
7
...................................................................................... 12 分
8
18．（14 分）
已知函数 f (x) lg
1 x
， g (x) 4x a 2x 1 ．
1 x
（1）证明 f (x) 是奇函数，并说出 f (x) 在其定义域上的单调性；
（2）若存在实数m和 n，使得 f (m) f (n) 0，且 g(m) g(n)≤0，求 a的取值范围．
【命题意图】本题考查指数型，对数型函数的奇偶性，单调性，以及二次函数，基本不等式
等基础知识。考查数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想；引导对数学运算、逻辑推
理、直观想象、数学等核心素养的关注；体现基础性、综合性。
【试题解析】
【解析】解法一：
f (x) lg1 x（1） 因为 ，所以 1 x 1 x 0 ，............................................... 1 分
1 x
解得 1 x 1， ............................................................................................. 2 分
所以 f (x) 的定义域为 ( 1,1) .
x ( 1,1), x ( 1,1) ， .............................................................................. 3 分
f ( x) lg1 x且 ，..........................................................................................4 分
1 x
1 x 1 x
所以. f ( x) f (x) lg lg 0 ，
1 x 1 x
故 f (x) 为奇函数. ........................................................................................ 5 分
f (x) 在 ( 1,1)上单调递减. ............................................................................7 分
高一数学试题 第 14页（共 18 页）
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（2） 因为 f (m) f (n) 0， f (x) 为奇函数，且在 ( 1,1)上单调递减，
所以m n 0 且m 1,1 ， ........................................................................8 分
依题意 g(m) g( m)≤0在 1,1 有解， ................................................9 分
g(m) g( m)≤0 4m 4 m 2a(2m 2 m )≤0 ....(*)， ......................... 10 分
令 t 2m 2 m，则 t 2m 2 m≥2，当m=0 时， t的最小值为 2.，.......... 11 分
因为 t2 4m 4 m 2 ，所以不等式(*)可化为 t 2 2 2at≤0，
2 t 2 2
即 2a≤ ， 2a≤ t ， ..........................................................................12 分
t t
因为函数 h(t)
2
t在 (0, )上单调递减，
t
所以 h(t) max h(2) 1 . ............................................................................. 13 分
故 g(m) g( m)
1
≤0在 1,1 有解，即 2a≤ 1， a≤ . .......................14 分
2
解法二：（1)同解法一；
（2） 因为 f (m) f (n) 0， f (x) 为奇函数且在 ( 1,1)上单调递减，
所以m n 0 且m 1,1 ， ........................................................................8 分
依题意 g(m) g( m)≤0在 1,1 有解， ......................................... 9 分
g(m) g( m)≤0 4m 4 m 2a(2m 2 m )≤0 (*)， ............................. 10 分
令 t 2m 2 m，则 t2 4m 4 m 2 .
m t k 1令 k 2 ，则 ，k
1
由m 1,1 ，可知 k , 2
，
2
1 1
因为 t k 在 ,1 上单调递减，在 1,2 上单调递增，
k 2
高一数学试题 第 15页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
1 5
且 k 1时， t 2 ， k 2或 k 时， t ，
2 2
t 2, 5 所以 . 2
5
(*)在 1,1 有解，等价于 t2 2at 2≤0在 t 2, 上有解. ..............12 分 2
a 5 17当 2时，（t 2at 2） （5a ，4a 2]，
2 4
17 25 17 5
因为 5a 0 ，所以 a 满足题意;
4 2 4 2
2 a 5 2 2当 ≤ ≤ 时，因为 t 2at 2 a 2≤0 ,
2 min
5
所以 ≤a≤ 2满足题意； ........................................................................ 13 分
2
t 2 2at 2 [4a 2,5a 17当 a 2时，（ ） )，
4
1
令 4a 2 0 ，解得 2 a≤ .
2
所以 t2 2at 2≤0在 t 2,
5
上有解， a
1
≤ . ................................ 14 分
2 2
19．（14 分）
某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗， f (x) 表示用 x个单位量的洗涤溶
液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比．已知用1个单位量的洗涤溶液漂洗一次，可洗掉
2
该物品原污渍量的 ．
3
（1）写出 f (0) ， f (1)的值，并对 f (0) 的值给出一个合理的解释；
t
（2）已知 f (x)
kx2
，
1
①求 t ， k ；
②“用m m 0 m个单位量的洗涤溶液漂洗一次”与“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两
2
次”，哪种方案去污效果更好？
高一数学试题 第 16页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
【命题意图】本题主要考查函数的实际应用、待定系数法、比较大小等基础知识，考查抽象
概括、推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程思想、转化与化归思想；试题特别强调阅读
审题能力，挖掘隐含条件的能力，体现综合性、应用性与创新性，导向对发展数学抽象、逻辑推
理、数学运算、直观想象、数学建模等核心素养的关注。
【试题解析】
（1） f (0)=1，..........................................................................................................1 分
f (1)= 1 ，...........................................................................................................2 分
3
f (0)=1表示没有用洗涤溶液漂洗，残留污渍没有变化。
（表述达意均可给分）.................................................................................... 4 分
（2） ①由 f (0)=1得 f 0 =t 1； .......................................................................... 5 分
1 1
又因为 f 1 = = ，可得 k 2，.............................................................6 分
k 1 3
f x = 1故 2 ，............................................................................................7 分2x 1
②设清洗前物品上污渍残留量为单位1.“用m m 0 个单位量的洗涤溶液
1
漂洗一次”后残留污渍量为 y1 f (m) 2 ；1 2m
m
“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”残留在物品上的污渍量为
2
y m [ f ( )]22 [
1 ]2 4
2 1 2(m)2 (m
2 2) 2 ，...................................................... 9 分
2
y y 1 4 m
2(m 2)(m 2)
1 2 2 2 2 2 2 2 ，......................................11 分2m 1 (m 2) (2m 1)(m 2)
所以当m 2时， y1 y2 ，即后者去污效果较好；..................................... 12 分
当m 2时， y1 y2 ，即两种漂洗方案效果相同；..................................... 13 分
高一数学试题 第 17页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
当 0 m 2 时， y1 y2 ，即前者去污效果较好. ...................................... 14 分
20．（14 分）
给定函数 f (x)(x≥0) 与 g(x)，若 h(x) f (x) g(x) 为减函数且值域为 (0,M ] (M 为常数)，则
称 g(x)对于 f (x) 具有“确界保持性”．
1 1
x
（1）证明：函数 g(x) x对于 f (x) (x≥0)不具有“确界保持性”；3 3
x2
（2）判断函数 g(x)= x 1对于 f (x) 3x 3 (x≥0)是否具有“确界保持性”；
x 2
（3）若函数 g(x) ax对于 f (x) x x2 1 x2 4 (x≥0)具有“确界保持性”，求实数 a的值．
【命题意图】
本题主要考查基本初等函数的单调性、最值、值域等基础知识；考查抽象概括能力、运算求
解能力、推理论证能力、应用意识；考查数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、函
数与方程思想、有限与无限思想、特殊与一般思想；引导对数学运算、逻辑推理、直观想象、数
学抽象等核心素养的关注；体现基础性、综合性与应用性．
【试题解析】
x
1 1
（1）令 h(x) x，......................................................................................... 1 分
3 3
2
因为 h(2) 1 2 5 0，.......................................................................... 2 分
3 3 9
g(x) 1 x f (x)= 1
x
所以函数 对于 (x≥0)不具有“确界保持性”. ............... 3 分3 3
高一数学试题 第 18页（共 18 页）
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（注：取 h(x) 0的答案均可）
2 x
2 3x 3
（ ）函数 g(x) x 1对于函数 f (x)= (x≥0)具有“确界保持性”，............ 4 分
x 2
理由如下：
h(x) x
2 3x 3 2(x+1 = x 3x 3 (x 1)(x 2) 1 ） ，.......................5 分
x 2 x 2 x 2
h(x) 在区间 0，+ 上单调递减，........................................................................6 分
x 0 h(x)
1
当 ≥ 时， 0， ，................................................................................. 7 分 2
x2 3x 3
所以函数 g(x) x 1对于函数 f (x)= 具有“确界保持性”............. 8 分
x 2
（3）解法一：①当 a=3 时， h(x)= x2 1 x2 4 2x
先证明单调递减：
当 x1，x2 0，+ 且 x1 x2 时，
h(x ) h(x ) x 2 2 2 2 1 2 1 1 x1 4 2x1 x2 1 x2 4 2x2
x 2 x 2 x 2 2
2 x x1 x 1 2 1 22
x 21 1 x
2
2 1 x
2
1 4 x
2
2 4
x x x1 +x2 x +x
1 2
1 2 2
2 2
x1 1 x2 1 x
2
1 4 x
2
2 4
当 x1，x2 0，+ 且 x1 x2 时， x1 x2 0 ， 0 x x 21 1 1 ， 0 x x 22 2 1，
所以 0 x1+x2 x
2
1 1+ x
2
2 1，
0 x1 +x2 x +x< 1 0< 1 2 1
x 21 1 x
2 1 ， 22 x1 4 x
2 ，
2 4
x1+x2 x 1+x2 2
x 2 1 x 2 1 x 2 21 2 1 4 x2 4
高一数学试题 第 19页（共 18 页）
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所以 h(x1) h(x2 ) 0，故 h(x) 在 0，+ 单调递减，........................................9 分
所以 h(x)max h(0）=3
又因为 h(x)= x2 1 x x2 4
1 4
x + ＞0
2 2 ，即值域为 (0,3]，x 1 x x 4+x
.................................................................................................................................10 分
故函数 g(x) 3x对于函数 f (x)=x x 2 1 x 2 4 (x≥0)具有“确界保持性”.
.........................................................................................................................................11 分
②当 a 3时， h(x)=x x 2 1 x 2 4 ax x+x x ax (3 a)x ，
取 x=
3
，
3 a
所以 h(
3 ) (3 a) 3 3，即不满足值域为 (0,3]，故舍去................... 12 分
3 a 3 a
③当 a 3 时， x2 1≤ x 1 2 x 1， x2 4≤ x 2 2 x 2
所以 h(x)=x x 2 1 x 2 4 ax x+x 1 x 2 ax (3 a)x 3 ，
x= 3 h( 3取 ，所以 ) (3 a)
3 +3 0，即不满足值域为 (0,3]，舍去.
a 3 a 3 a 3
.................................................................................................................................................13 分
综上所述：当 a=3 时，函数 y ax对于函数 f (x)=x x 2 1 x 2 4 (x≥0)
具有“确界保持性”，.............................................................................................14 分
解法二：
令 h(x) x x 2 1 x 2 4 ax = x2 1 x2 4+(1 a)x ,
根据“确界保持性”的定义知， h(x)在区间 0，+ 上单调递减，所以 h(x)≤h 0 3，
则 h(x) 值域为 (0,3]，...........................................................................................9 分
高一数学试题 第 20页（共 18 页）
{#{QQABKQQEggCAAABAAAhCQw1oCkGQkACACKoGhFAAsAIASANABAA=}#}
下面先考虑 h(x) 0 ，当 x=0 时， h(x)=3 0恒成立
当 x 0，+ 时，要使 h(x) 0 恒成立，
x x2 1 x2 4 1 2 2
即 a 1 1 4 1
恒成立x x x
2
1 4
2
因为1 1 1 3 ，所以 a≤3 .................................................. 10 分
x x
若 a 3， h(x)=x x 2 1 x 2 4 ax x+x x ax (3 a)x ，
取 x =
3 3
0 ，(是正常数）所以 g( ) (3 a)
3
3，
3 a 3 a 3 a
这与 h(x) 值域为 (0,3]矛盾，所以 a 3舍去.所以 a=3 .................................... 11 分
下面证明当 a=3 时, h(x)在 0，+ 单调递减. h(x)= x2 1 x2 4 2x
当 x1，x2 0，+ 且 x1 x2 时，
h(x1) h(x ) x
2 1 x 2 4 2x 2 2 2 1 1 1 x2 1 x2 4 2x2
2 x x x
2 x 21 2 x
2 x 2
1 2
1 2
x 21 1 x
2
2 1 x
2 4 x 21 2 4
x x x1 +x2 x 1 +x21 2 2
x 2 1 x 2 2 1 2 1 x1 4 x
2
2 4
当 x1，x2 0，+ 且 x1 x2 时， x1 x2 0 ， 0≤x 21 x1 1 ， 0 x2 x 22 1，
x +x
所以 0 x +x x 2 2 0
1 2 1
1 2 1 1+ x2 1， x 2 1 x 21 2 1
，
0 x1 +x2 1 x1+x 2 x 1+x2， 2x 21 4 x
2
2 4 x
2
1 1 x
2
2 1 x
2 4 x 21 2 4
所以 h(x1) h(x2 ) 0， h(x) 在 0，+ 单调递减，........................................12 分
高一数学试题 第 21页（共 18 页）
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h(x)= x2 1 4又因为 1 x x2 4 x + ＞0
x2
，
1 x x2 4+x
即值域为 (0,3]，............................................................................................... 13 分
综上所述有 a=3 ................................................................................................ 14 分
解法三：
令 h(x) x x 2 1 x 2 4 ax = x2 1 x2 4+（1 a）x ,
根据“确界保持性”的定义知，h(x) 在 0，+ 单调递减，所以 h(x)max h(0）=3 即 h(x)
的值域为 (0,3]，............................................................................................... 9 分
下面先考虑单调递减:
x1，x2 0，+ 且 x1 x2 ，
h(x ) h(x ) (1 a)x x 2 1 x 2 2 2 1 2 1 1 1 4 (1 a)x2 x2 1 x2 4
(1 a) x1 x2 x 2 1 x 21 2 1 x 21 4 x 22 4
2 2 2 2
(1 a) x x x1 x2 x x1 2 1 2
x 2 21 1 x2 1 x
2
1 4 x
2
2 4
x x x1+x2 x1+x21 2 1 a
x
2
1 1 x
2 1 x 2 22 1 4 x2 4
当 x1，x2 0，+ 且 x 2 21 x2 时， x1 x2 0 ， 0≤x1 x1 1 ， 0 x2 x2 1，
x1 +x2
所以 0 x 21+x2 x1 1+ x
2
2 1，所以 0 1x 21 1 x
2
2 1
，
0 x +x 1 2 1
x 21 4
,
x 22 4
1+ x1 +x2 x 1 +x2所以 3x 2 1 x 2 1 x 2 4 x 2 4 ....................................10 分1 2 1 2
高一数学试题 第 22页（共 18 页）
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已知函数 h(x) 在区间 0，+ 上单调递减，
x1 +x2 x1 +x2
所以 h(x1) h(x2 ) 0，所以1 a 0x 21 1 x
2
2 1 x
2
1 4 x
2
2 4
1 x1+x2 x +x 1 2 a
x 2 1 x 2 1 x 2 恒成立，所以 a≥3 ......... 11 分1 2 1 4 x
2
2 4
当 a 3时， h(x)=x x 2 1 x 2 4 ax x+x x ax (3 a)x ，
x= 3 3 3取 ，所以 h( ) (3 a) 3，即不满足值域为 (0,3]，故舍去.
3 a 3 a 3 a
.................................................................................................................................................12 分
（注：这种情况没说明可以不扣分）
再考虑条件 h(x) 0 ，
当 x=0 时， h(x)=3 0恒成立，
当 x 0，+ 时，要使 h(x) 0 恒成立，
x x2 1 x2 4 1
2 2
4
即 a 1 1 1 x x x
恒成立，
2 2
1 1 1 1 4 因为 3 所以 a≤3 .............................................. 13 分
x x
以上两条件同时满足，则有 a=3 ，
此时 h(x)= x2 1 x2 4 2x，函数 h(x) 在区间 0，+ 上单调递减，
2 2 1 4
又因为 h(x)= x 1 x x 4 x + ＞0 ，
x2 1 x x2 4+x
即值域为 (0,3]，符合定义，
综上所述有 a=3 ............................................................................................ 14 分
高一数学试题 第 23页（共 18 页）
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