【精品解析】高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量的坐标表示

高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量的坐标表示
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，以 ， ， 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设第四个顶点为 ．当点 的坐标为 时， ， ， ，
．∵ ， ，∴四边形 不是平行四边形．A错误，符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，B正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，C正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的定义结合已知条件，再利用两点距离公式和向量相等的判断方法，进而推出线线平行和两线段相等，从而得出不能作为平行四边形第四个顶点坐标的选项。
2．（2020高三上·贵阳月考）已知向量 ，向量 与 共线，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由题意可知： 和 不共线，
所以 和 可以作为一组基底，
而 与 共线，
所以 ，
故答案为：C．
【分析】利用向量共线定理即可得出答案。
3．（2020高二上·砚山月考）已知坐标平面上的凸四边形 满足 ，那么 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】由题意可得 ， .
由于是凸四边形，所以 与 相交于点 ，如下图，
设 ，在直角坐标系中，
则有 ，
故 ，
所以
故答案为：C.
【分析】根据题意首先建立直角坐标系求出各个点和向量的坐标，结合数量积的坐标运算公式得到，再由即可得出的取值范围。
4．（2020高三上·拉萨月考）已知向量 ， ，则 （　　）
A． B．2 C． D．50
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】由题意得 ，所以 ，
故答案为：A。
【分析】利用向量的坐标运算求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示，从而求出向量的模。
5．（2020高三上·河津月考）向量 ，若 ，则k的值是（　　）
A．1 B．-1 C．4 D．-2
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和共线向量的坐标表示，从而求出k的值。
6．（2020高三上·山西月考）已知向量 ， ，则 在 上的投影是（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】由题意，向量 ， ，可得 ，
所以 在 上的投影是 .
故答案为：D.
【分析】根据题意首先求出向量的模，再由数量积的运算公式代入数值计算出结果，然后投影为。
7．（2020高三上·辽宁月考）已知 ， ， ，则 （　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由已知，得 ，又 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】利用向量的减法及 得到，再利用数量积的坐标运算即可得出答案。
8．（2020高三上·咸阳月考）若向量 ， ，则 的面积为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解： ， ，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合相反向量的定义求出 ，再利用数量积求向量夹角公式结合同角三角函数基本关系式，从而利用三角形面积公式，进而求出 的面积 。
9．（2020高二上·内蒙古期中）已知向量 ，若 为钝角，则 的范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解： 为钝角， 且 不共线，
，解得 且 ，
的范围是 ， ， .
故答案为：D.
【分析】根据 是钝角，即可得出 ，然后解出 的范围即可.
10．（2020高二上·赣县期中）若向量 ，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意得： ，
所以 ，
因为 ，则 ，
所以 ，整理得 ，
故答案为：C。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示，从而求出，再利用正弦函数的值域，从而求出向量的模 的取值范围。
11．（2020高三上·红桥期中）设 ，向量 ，若 // ，则 （　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ， ，即 ，
， ，
， .
故答案为：D.
【分析】由 可得 ，即得 ，即可求出 .
12．（2020高三上·台州期中）已知向量 ， ，则“ 与 的夹角为锐角”是“ 或 ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为 ， ，
若 与 的夹角为锐角，
所以 且 与 不共线，
因此 解得 或 ，
所以“ 与 的夹角为锐角”是“ 或 ”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】先根据 与 的夹角为锐角求出的范围，再根据充分条件，必要条件的定义及可得到答案。
二、多选题
13．（2021·天河模拟）设向量 ， ，则（　　）
A． B．
C． D． 与 的夹角为
【答案】C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于A， ， ， ， ，A不符合题意；
对于B， ， ， ，又 ，则 ， 与 不平行，B不符合题意；
对于C，又 ， ，C符合题意；
对于D，又 ，又 与 的夹角范围是 ， 与 的夹角为 ，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合向量的模的坐标表示；两向量共线的坐标表示；两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标运算；两向量的数量积求向量夹角公式，进而找出正确的选项。
14．（2020高三上·德州期末）已知向量 ，则（　　）
A．
B．
C．向量 在向量 上的投影是
D．向量 的单位向量是
【答案】A,B
【知识点】单位向量；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间向量的投影向量
【解析】【解答】 ，
对于A: ，A符合题意；
对于B: ，B符合题意；
对于C: 向量 在向量 上的投影是 ，C不符合题意；
对于D: 向量 的单位向量是 和 ，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直；再利用数量积求向量的模的公式，进而求出向量的模；再利用向量投影的定义结合数量积的定义，进而求出向量 在向量 上的投影，再利用单位向量的定义，进而求出向量的单位向量，进而找出正确的选项。
15．（2020高三上·兴宁期末）已知向量 ， ，则下列命题正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 取得最大值时，则
D． 的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】两向量的和或差的模的最值；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】A选项，若 ，则 ，即 ，A符合题意．
B选项，若 ，则 ，则 ，B不正确．
C选项， ，其中 .
当 取得最大值时， ，即 ，
，C符合题意.
D选项， ，
当 时， 取得最大值为 ，
所以 的最大值为 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据向量的平行和垂直的坐标运算即可判断A正确，B不正确，对于C，根据，，即可得到，所以C正确，对于D，根据 取得最大值为 ，即可判断D正确。
16．（2020·深圳模拟）已知向量 ， ， ，设 , 的夹角为 ，则（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据题意， ， ，
则对于A,
则不成立，A错误；
对于B，则则，B正确；
对于C， 不成立，C错误；
对于D，则则
故答案为：BD。
【分析】利用已知条件结合向量的加减法坐标运算，从而求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示、向量垂直数量积为0的等价关系，向量平行的坐标表示、向量的数量积求向量间的夹角的公式，从而找出正确的选项。
三、填空题
17．（2021·安徽模拟）已知非零向量 满足 ，且 ，则 和 的夹角为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 为非零向量，且 ，则 ，展开整理得 ，即 ，又因为 ，则 所在直线为以 为邻边构成的正方形的对角线，故 和 的夹角为 。
故答案为： 。
【分析】因为 为非零向量，且 ，结合数量积求向量的模的公式结合数量积的运算法则和数量积的定义，得出，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出 ，又因为 ，则 所在直线为以 为邻边构成的正方形的对角线，从而求出两向量 和 的夹角。
18．（2021·甘肃模拟）已知向量 与向量 夹角为 ，且 ， ，要使 与 垂直，则 　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为 与 垂直，
则 ，
解得 .
故答案为： .
【分析】 将向量 与 垂直的关系转化为内积为零，代入两向量的模与夹角，即可得到参数λ的方程，解方程求值。
19．（2020高一上·南充期末）已知向量 ，且 ，则 　 　．
【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 ，
所以 。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0，从而结合数量积的坐标表示，进而求出m的值。
20．（2020高二上·湖北期末）已知向量 ，若 ，则 　 　.
【答案】-4
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由 得 ，故 .
故答案为：-4.
【分析】 通过向量平行，求解t，然后求解向量的数量积即可．
四、解答题
21．（2020高二上·浦东期末）已知 ， ， .
（1）求 与 的夹角θ的余弦值；
（2）若 ，求实数 的值和向量 .
【答案】（1）解：由 ， ，
所以 ，
所以 与 的夹角θ的余弦值为
（2）解：若 ，则 ，
所以 ，
即 ，解得 .
.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用向量夹角公式求出 与 的夹角θ的余弦值；
（2）根据题意可得 ，再根据向量的线形坐标运算即可求解。
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量的坐标表示
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，以 ， ， 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020高三上·贵阳月考）已知向量 ，向量 与 共线，则 （　　）
A． B． C． D．
3．（2020高二上·砚山月考）已知坐标平面上的凸四边形 满足 ，那么 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高三上·拉萨月考）已知向量 ， ，则 （　　）
A． B．2 C． D．50
5．（2020高三上·河津月考）向量 ，若 ，则k的值是（　　）
A．1 B．-1 C．4 D．-2
6．（2020高三上·山西月考）已知向量 ， ，则 在 上的投影是（　　）
A．4 B．2 C． D．
7．（2020高三上·辽宁月考）已知 ， ， ，则 （　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
8．（2020高三上·咸阳月考）若向量 ， ，则 的面积为（　　）
A． B． C．1 D．
9．（2020高二上·内蒙古期中）已知向量 ，若 为钝角，则 的范围是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2020高二上·赣县期中）若向量 ，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2020高三上·红桥期中）设 ，向量 ，若 // ，则 （　　）
A．1 B． C．2 D．
12．（2020高三上·台州期中）已知向量 ， ，则“ 与 的夹角为锐角”是“ 或 ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
13．（2021·天河模拟）设向量 ， ，则（　　）
A． B．
C． D． 与 的夹角为
14．（2020高三上·德州期末）已知向量 ，则（　　）
A．
B．
C．向量 在向量 上的投影是
D．向量 的单位向量是
15．（2020高三上·兴宁期末）已知向量 ， ，则下列命题正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 取得最大值时，则
D． 的最大值为
16．（2020·深圳模拟）已知向量 ， ， ，设 , 的夹角为 ，则（　　）.
A． B． C． D．
三、填空题
17．（2021·安徽模拟）已知非零向量 满足 ，且 ，则 和 的夹角为　 　.
18．（2021·甘肃模拟）已知向量 与向量 夹角为 ，且 ， ，要使 与 垂直，则 　 　．
19．（2020高一上·南充期末）已知向量 ，且 ，则 　 　．
20．（2020高二上·湖北期末）已知向量 ，若 ，则 　 　.
四、解答题
21．（2020高二上·浦东期末）已知 ， ， .
（1）求 与 的夹角θ的余弦值；
（2）若 ，求实数 的值和向量 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设第四个顶点为 ．当点 的坐标为 时， ， ， ，
．∵ ， ，∴四边形 不是平行四边形．A错误，符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，B正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，C正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的定义结合已知条件，再利用两点距离公式和向量相等的判断方法，进而推出线线平行和两线段相等，从而得出不能作为平行四边形第四个顶点坐标的选项。
2．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由题意可知： 和 不共线，
所以 和 可以作为一组基底，
而 与 共线，
所以 ，
故答案为：C．
【分析】利用向量共线定理即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】由题意可得 ， .
由于是凸四边形，所以 与 相交于点 ，如下图，
设 ，在直角坐标系中，
则有 ，
故 ，
所以
故答案为：C.
【分析】根据题意首先建立直角坐标系求出各个点和向量的坐标，结合数量积的坐标运算公式得到，再由即可得出的取值范围。
4．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】由题意得 ，所以 ，
故答案为：A。
【分析】利用向量的坐标运算求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示，从而求出向量的模。
5．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和共线向量的坐标表示，从而求出k的值。
6．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】由题意，向量 ， ，可得 ，
所以 在 上的投影是 .
故答案为：D.
【分析】根据题意首先求出向量的模，再由数量积的运算公式代入数值计算出结果，然后投影为。
7．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由已知，得 ，又 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】利用向量的减法及 得到，再利用数量积的坐标运算即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解： ， ，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合相反向量的定义求出 ，再利用数量积求向量夹角公式结合同角三角函数基本关系式，从而利用三角形面积公式，进而求出 的面积 。
9．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解： 为钝角， 且 不共线，
，解得 且 ，
的范围是 ， ， .
故答案为：D.
【分析】根据 是钝角，即可得出 ，然后解出 的范围即可.
10．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意得： ，
所以 ，
因为 ，则 ，
所以 ，整理得 ，
故答案为：C。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示，从而求出，再利用正弦函数的值域，从而求出向量的模 的取值范围。
11．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ， ，即 ，
， ，
， .
故答案为：D.
【分析】由 可得 ，即得 ，即可求出 .
12．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为 ， ，
若 与 的夹角为锐角，
所以 且 与 不共线，
因此 解得 或 ，
所以“ 与 的夹角为锐角”是“ 或 ”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】先根据 与 的夹角为锐角求出的范围，再根据充分条件，必要条件的定义及可得到答案。
13．【答案】C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于A， ， ， ， ，A不符合题意；
对于B， ， ， ，又 ，则 ， 与 不平行，B不符合题意；
对于C，又 ， ，C符合题意；
对于D，又 ，又 与 的夹角范围是 ， 与 的夹角为 ，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合向量的模的坐标表示；两向量共线的坐标表示；两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标运算；两向量的数量积求向量夹角公式，进而找出正确的选项。
14．【答案】A,B
【知识点】单位向量；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间向量的投影向量
【解析】【解答】 ，
对于A: ，A符合题意；
对于B: ，B符合题意；
对于C: 向量 在向量 上的投影是 ，C不符合题意；
对于D: 向量 的单位向量是 和 ，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直；再利用数量积求向量的模的公式，进而求出向量的模；再利用向量投影的定义结合数量积的定义，进而求出向量 在向量 上的投影，再利用单位向量的定义，进而求出向量的单位向量，进而找出正确的选项。
15．【答案】A,C,D
【知识点】两向量的和或差的模的最值；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】A选项，若 ，则 ，即 ，A符合题意．
B选项，若 ，则 ，则 ，B不正确．
C选项， ，其中 .
当 取得最大值时， ，即 ，
，C符合题意.
D选项， ，
当 时， 取得最大值为 ，
所以 的最大值为 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据向量的平行和垂直的坐标运算即可判断A正确，B不正确，对于C，根据，，即可得到，所以C正确，对于D，根据 取得最大值为 ，即可判断D正确。
16．【答案】B,D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】根据题意， ， ，
则对于A,
则不成立，A错误；
对于B，则则，B正确；
对于C， 不成立，C错误；
对于D，则则
故答案为：BD。
【分析】利用已知条件结合向量的加减法坐标运算，从而求出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示、向量垂直数量积为0的等价关系，向量平行的坐标表示、向量的数量积求向量间的夹角的公式，从而找出正确的选项。
17．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 为非零向量，且 ，则 ，展开整理得 ，即 ，又因为 ，则 所在直线为以 为邻边构成的正方形的对角线，故 和 的夹角为 。
故答案为： 。
【分析】因为 为非零向量，且 ，结合数量积求向量的模的公式结合数量积的运算法则和数量积的定义，得出，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出 ，又因为 ，则 所在直线为以 为邻边构成的正方形的对角线，从而求出两向量 和 的夹角。
18．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为 与 垂直，
则 ，
解得 .
故答案为： .
【分析】 将向量 与 垂直的关系转化为内积为零，代入两向量的模与夹角，即可得到参数λ的方程，解方程求值。
19．【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为 ，
所以 。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0，从而结合数量积的坐标表示，进而求出m的值。
20．【答案】-4
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由 得 ，故 .
故答案为：-4.
【分析】 通过向量平行，求解t，然后求解向量的数量积即可．
21．【答案】（1）解：由 ， ，
所以 ，
所以 与 的夹角θ的余弦值为
（2）解：若 ，则 ，
所以 ，
即 ，解得 .
.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用向量夹角公式求出 与 的夹角θ的余弦值；
（2）根据题意可得 ，再根据向量的线形坐标运算即可求解。
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