舟山市 2023～2024学年第一学期期末检测
高二数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B D B C C A A AB BCD AD BCD
5059
13. 7.5 14. m 4 15. 16. t 8
4048
16.
S MNB 8即此时取到面积最小值，所以 N点在过M 与在 B点处切线平行的平行线与 x 轴交点以左，即 t 8
17.（1） f x 3x2 6bx 3c，
因为在 x 1处的切线为 y 5
f 1 3 6b 3c 0
所以 f 1 1 3b 3c 5，解得
b 1,c 3 .
所以 f x x3 3x2 9x ............................. 4分
（2）令 g x f x 15x 80 x3 3x2 24x 80 x 0
g x 3x 6x 24 3 x 4 x 2
所以 g x 在区间 0,4 上 g x 0,g x 单调递减；
在区间 4, 上 g x 0,g x 单调递增. .............................8分
所以 g x 在 0, 上的最小值为 g 4 0，
所以 g x 0即证得当 x 0时， f x 15x 80 .............................10分
18.（1）根据频率分布直方图可知 0.005 0.01 0.015 x 0.04 10 1 x 0.03 ................................3分
（2）平均成绩为 x 55 0.005 65 0.01 75 0.015 85 0.03 95 0.04 10 84 ........................7分
（3）由题意得，[60，70），[70，80）两组人数比例为 2 :3，所以[60，70）组应抽取 2人，记为 A，B，[70，
80）组应抽取3人，记为甲，乙，丙
{#{QQABAQSAogCoQABAAAgCQwkoCAIQkBEAAAoGxBAIoAAASBNABAA=}#}
对应的样本空间为：Ω (A,B)， (A,甲 )， (A,乙 )， A,丙 ， (B,甲 )， (B,乙 )， B，丙 ， (甲,乙 )， (甲,丙 )，
(乙,丙 )，共 10个样本点.
设事件M “两人来于[60，70）”，
则M (甲,乙 )， (甲,丙 )， (乙,丙 )，共有 3个样本点.
n M 3
所以 P M .n 10 ............................... 12分
2 2 k
19．(1)圆心到直线的距离 d ，…………………… 2分
k 2 1
因为直线 l与圆 O 相交于不重合的 M，N 两点，且 M，N，O 三点构成三角形，
2 2 k k 2＜1
所以0＜ ＜2，得 ，解得-1＜k＜1且 k 0，
k 2 1 k 0
2 2 2 2 k 2MN 2 2 d 2 4 2 1 k （ ） 4
k 2
2
1 1 k
所以 k的取值范围为 1,0 U 0,1 .…………………… 5分
2 2 k 2
(2)法一： MN 2 22 d 2 2 4 2 1 k （ ） 4 2
k 2 1 1 k
1 1 1 k 2 2 2 k 4 2 k
2 1 k 2
所以 S MN d 4 ，（ -1＜k＜1且 k 0）…………………… 7分
2 2 1 k 2 k 2 2 1 1 k
4 2 k 2 1 k 2 4 2k 2 1 k 2
4 1 2k
2 1 k 2
2 2 2 2
…………………… 10分
1 k 1 k 1 k 2
2 1当且仅当 2k 1 k 2， k 2 ，时取到等号
3
所以 S MNO的最大值为 2
3
，取得最大值时 k …………………… 12分
3
2
法二：设 k 1 t t 1 ，则 k 2 t 1，
S t
2 3t 2 t2 3t 2 1 3
2
1
所以 MNO 4 2 4 2 2 4 2 2 …………………… 10分t t t 4 8
1 3
所以当
4 3
，即 t ，即 k 时， St 4 3 max
2
3
3
所以 S MNO的最大值为 2，取得最大值时 k …………………… 12分3
1
法三： S MNO |OM ||ON | sin MON 2sin MON 2，…………………… 10分2
2 2 k
当且仅当 sin MON 1 3时取到等号，此时 d 2， k .…………………… 12分
k 2 1 3
{#{QQABAQSAogCoQABAAAgCQwkoCAIQkBEAAAoGxBAIoAAASBNABAA=}#}
20．(1)设递增等差数列 an 的公差为 d d 0 ，
1 1 1 1 1 2
由 a 是 S 与 S 的等差中项，得
S S a ，即 S2 S5 a5 2S2S5，5 2 5 2 5 5
则有 4 d 10 10d 2 4d 2 4 d 10 10d ，
化简得12d 2 11d 26 0，即 d 2 12d 13 0，
解得 d 2，则 an a1 (n 1)d 2n ............................. 4分
(2) a n n 1n 2n，bn 2 ， cn n 2
M 1 22 2 23则 n 3 2
4 n 2n 1，
于是得 2M n 1 2
3 2 24 3 25 n 1 2n 1 n 2n 2，
2 n
两式相减得： M 22 23 24 2n 1 n 2n 2 2 (1 2 )n n 2
n 2 (n 1) 2n 2 4，
1 2
因此M n n 1 2n 2 4
n 2 2n
，又 S n n2 n，2
所以不等式 Tn 2n 2 4 8Sn 26an，
2n 11
等价于 n 2n 2 8n2 44n，又 n N ，所以等价于 n 恒成立，…………………… 8分2
c 2n 11 2 n 1 11 c 2n 11 13 2n令 n n ，则 c ，则 n 6时， cn 1 cn 0，即 c c2 n 1 n 2n 1 2n 2n 1 n n 1
，
当 n 7时， cn 1 cn 0，：即 cn cn 1，
3 3
所以当 n 7时， (cn )max ，则 ，…………………… 12分128 128
3
所以实数 的取值范围是 , .
128
p
x0 4 x0 3 x0 121．(1) 2 或 ， p 6舍去，所以 y2 4x ............................. 3分
12 2 px p 2 p 6 0
(2)设直线 AB 方程为 : x my 2， A x1, y1 、 B x2 , y2 ，
y2 4x 2
联立 y 4my 8 0，
x my 2
则 y1 y2 4m， y1y2 8，
1
所以 S ABQ PQ y1 y2 2 y1 y2 ，2
AQ : y y1 直线 x 2 ，可得M 0,
2y1 ，同理 N 0,
2y2
x 2 ， ............................. 7分1 x1 2 x2 2
{#{QQABAQSAogCoQABAAAgCQwkoCAIQkBEAAAoGxBAIoAAASBNABAA=}#}
S 1 2 2y2 2y y y所以 MNQ 1 2 2 12 x2 2 x1 2 my2 4 my1 4
4 y2 y1 8 y2 y1 y y 2 2 1
m2 y1y2 4m y y 16 8m2 16m2
，...........10分
1 2 16 m
2 2
S S y1 y
2
2 2 2 y1 y
2 -4y y 2
所以 2 1 2 216m 32 ABQ MNQ 32 ...............................12分
m2 2 m2 2 m2 2
22．
(1)由已知可得： yn xn 1
又点 An (xn , yn )
2 2 2 2
在双曲线上，所以 xn yn 1，即 xn xn 1 1
所以{x 2n }是以 x
2
1 1为首项，公差为 1的等差数列，
x 2所以 n n即 xn n .........................3分
(2)设 Ai (xi , yi )，则以 Ai为切点的双曲线的切线方程为： xix yi y 1 ............................. 4分
xi x yi y 1
由
y x
可得 x y
1 1
i i 1
x y ，即M i ( i i 1, i i 1)i i i i 1
xix yi y 1
由
y x
可得 x y
1 1
i i 1
x y ，即 Ni i 1 i
( i i 1, i 1 i )
i i
2 2 1 1所以M iNi 2 i 1 2 i 2 2i 1 所以 ai M iNi 2 2i 1
1
所以 bi ............................. 6分2 2i 1
先证右边：
{#{QQABAQSAogCoQABAAAgCQwkoCAIQkBEAAAoGxBAIoAAASBNABAA=}#}
b 1 1 1 2i 1 2i 1i
2 2i 1 2i 1 2i 1 2i 1 2i 1 2
所以
n
b 1 1 3 1 5 3 2n 1 2n 1i
i 1 2 3 2 2n 1 2 2 2
2n 1 1
右边得证 ............................. 8分
2
下证左边：
先证 x ln 1 x ，令 f x x ln x 1 x 0
f x 1 1 x 0
x 1 x 1
所以 f x 在 0, 递增，所以 f x f (0) 0
即 x 0时， x ln 1 x
1 1 2 2i 1 1
所以 bi ln 1+ ln2 2i 1 2 2i 1
2 2i 1
当 i 2时， 2 2i 1 1 2 2i 3
证明如下：[2 2i 1 1]2 [2 2i 3]2
=4 2i 1 +4 2i 1 1 4 2i 3
=4 2i 1 7 4 5 7 0
所以 ln
2 2i 1 1 ln 2 2i 3 1 ln
2i 3
2 2i 1 2 2i 1 2 2i 1
n
n 2 b 1 1 1 1 1 7 1 2n 3 1 1 2n 3所以当 时 i ln ln ln
i 1 2 3 2 5 2 2n 1 2 3 2 5 2 2n 1 2 3 2 5
b 1当 n 1， 1 成立
2 3
n
b 1 1 ln 2n 3所以 i ，左边得证
i 1 2 3 2 5
所以命题得证. ............................. 12分
{#{QQABAQSAogCoQABAAAgCQwkoCAIQkBEAAAoGxBAIoAAASBNABAA=}#}舟山市2023学年第一学期期末检测
高二数学试卷
命题人：南海实验学校何志超普陀中学庄成明审稿人：舟山教育学院赏明才
注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.时间：120分钟
1卷
选择题部分（共60分）
一、单选题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.下列求导结果正确的是（▲）
A.B.(cosx)=sinx
C.(4)=x4-
D.(n2y-
2.若直线1：(a-2)x+a+4=0与l2:(a-2)x+3y+4=0平行，则a的值为（▲)
A.0
B.2
C.3
D.2或3
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a+a,=10,a4a。=35,则S6=(▲)
A.20
B.16
C.14
D.12
4.已知数据x,,,。的平均数为口，标准差为b,中位数为C,极差为d.由这组数据得到新
数据，乃2，，0，其中y=2x+1(i=1,2,…,10),则下列命题中错误的是（▲)
A.新数据的平均数是2a+】
B.新数据的标准差是4b
C.新数据的中位数是2c+1
D.新数据的极差是2d
5.在平面直角坐标系0中，已知双曲线C:三卡=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为5.5，
M为双曲线右支上一点，若△MF为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（▲）
A.√2-1
B.√3
C.V2+1
D.V5+1
6:己知事件A、B,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,如果A与B互斥，那么P(AB)=A:如果A与
B相互独立，那么P(A+B=P,则P,P分别为（▲)
A.P=0,P3=0.9
B.P=0.42,2=0.9
C.p,=0,P2=0.72
D.p1=0.42,P3=0.45
已知P、2为椭圆+士=1上的动点，直线P 与圆M:x-少+少=相切，切点A恰为
线段P2的中点，当直线PQ斜率存在时点A的横坐标为（▲）
A
B月
c.-2
D.2
3
舟山市2023学年第一学期高二数学期末检测卷（第1页共4页）
8.已知数列a,}及其前n项和S,a,=1,1a-a,上2”，若S1>0,Sm≤0，则a4=（▲)
A.1-2
B.
3
3
C.
5-22024
D.
5-2202
3
3
二、多选题（每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的
得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)
9.下列说法正确的是（▲）
人直线少-20的倾斜角为号
B.直线x一y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C.过点(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程为x-y+3=0
八过心小、（化）两点的直线方程为司
10.同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下
的面上的点数，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，
事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是偶数”，则下列说法中正
确的是（▲）
A.P08
B.P(=5
c.Po)日
D.(
11.已知等比数列{an}的公比为9，前n项和为Sn,下列结论正确的是（▲)
A.若g>0且9≠1，则{an}是递增数列或递减数列
B.若{an}是递减数列，则0C.任意∈R,{an+元an}为等比数列
D.若9≠1，则存在2∈R,{Sn+}为等比数列
12,已知椭圆+号，直线/过椭圆的左焦点交椭圆于小、B两点，下列说法正确的是（▲）
A.AA的取值范围为[22,4]
B.以AB为直径的圆与x=4相离
C若岛2，则1的斜率为：
2
D,若弦AB的中垂线与长轴交于点D,则
阳为定值时
A
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