河南省南阳市2023-2024学年高一上学期期终（期末）质量评估数学试题（含答案）

南阳市2023-2024学年高一上学期期终（期末）质量评估
数学试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，记．则下列等式成立的是
A． B． C． D．
2．下列各组函数中是同一个函数的是
A．， B．，
C．， D．，
3．一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是
A． B． C． D．
4．如图，一高为H的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为T．若鱼缸水深为h时，匀速注水所用的时间为t，则函数的图像大致是
A． B． C． D．
5．设集合，，函数．若函数恰有两个零点，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
6．因学校政治老师比较紧缺，高一年级为了了解学生选科中包含“政治”这一科目的学生人数便于安排教学．从高一年级中随机抽取了五个班，把每个班选科中包含“政治”的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据各不相同，则样本数据中的最大值为
A．8 B．9 C．10 D．11
7．已知某种奖券的中奖率为，为了保证中奖率大于，至少应该购买的奖券数为（参考数据，）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知函数的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．下列情境适合用古典概型来描述的是
A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌
D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环……命中1环和脱靶
10．已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为
A． B．0 C．1 D．2
11．甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是
A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜
B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜
C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜
D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜
12．已知，，，则下列结论一定成立的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知函数，则不等式的解集是 ．
14．最近南阳地区举办了“十万教师大比武”活动，其中评委分为专家评委（10人）和大众评委（40人）两组．某位青年教师参加比赛的得分情况如下：专家评委组的平均分为9分，方差为0.02；大众评委组的平均分为8.5分，方差为0.02．则该教师本次比赛得分的方差是 ．
15．要建造一段500m的高速公路，工程队需要把60人分成两组，一组完成一段200m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的300m的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是5人·天和3人·天．要使全队筑路工期最短，则需安排到硬土地工作的人数是 人．
16．已知实数m，n满足，则 ．
四、计算题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分10分）
（1）已知，，，求证：；
（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
18．（本题满分12分）
已知定义在R上的函数，满足．
（1）求的解析式；
（2）若点在图像上自由运动，求的最小值．
19．（本题满分12分）
我市某高中对2023年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
（1）求a的值，并估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
（2）估计该校高一期中数学考试成绩的80%分位数．
20．（本题满分12分）
多选题是新高考数学试卷中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或一个都不选的得0分（本试卷的第二题即为该类题型）．假设某同学正在参加南阳市期末考试，当其做到多项选择题第11题和第12题时，发现自己不会，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是，若该同学随机选答案时题目与题目之间互不影响，且第11题和第12题的正确答案都是两个选项．
（1）求该同学第11题得2分的概率；
（2）求该同学第11题和第12题两个题总共得分为7分的概率．
21．（本题满分12分）
已知函数，．
（1）解不等式；
（2）若对任意的，存在，使得，求实数a的取值范围．
22．（本题满分12分）
已知（a，），且为奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围．
南阳市2023-2024学年高一上学期期终（期末）质量评估
数学试题参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C D B C C C
二、选择题
题号 9 10 11 12
答案 BC CD AB ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14．0.06 15．28 16．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解析】
（1）证明
∵，，，
∴，
（当且仅当时等号成立）
∴．
（2）由于，可将x看作（1）中的a，看作（1）中的b，
根据（1）的结论，则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4
所以有成立，解得：．
所以m的取值范围为
18．【解析】
（1）因为，①
所以，②
由①②可解得：．
（2）由题知：，
∴
（当且仅当，即时取“＝”）．
∴的最小值为8．
19．【解析】
（1）由，解得．
即数学成绩在：
频率，频率，
频率，频率，
频率，频率，
所以平均分是：．
（2）由（1）知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为，在130分以下所占比例为，
因此，80%分位数一定位于内，
由，
所以样本数据的80%分位数约为115．
20．【解析】
（1）设“该同学第11题只选一个选项”为事件A，则，
设“该同学第11题选的一个选项是正确的”为事件B，则，
易知“该同学第11题得2分”等价于“该同学第11题只选一个选项且该选项正确”，
所以．
（2）由（1）可知“该同学第12题得2分”的概率为，
该同学选两个选项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD六种情况，正确的只有一种，则事件“该同学选的两个选项是正确的”的概率为，
所以事件“该同学每个题得5分”的概率为，
事件“该同学第11题和第12题总共得7分”等价于事件“该同学一个题得2分，另一个题得5分”，
则概率为．
21．【解析】
（1）由得：．
令，则不等式可化为：，
解之得：或．
即或，解得，或
故不等式的解集是．
（2）当时，，
，
所以．
由题可知是函数，值域的子集
（法一：）当时，，
即，解得．
当时，，即，
此时无解，故不存在这样的实数a．
当时，，即，
此时无解，故不存在这样的实数a．
当时，，即，
此时无解，故不存在这样的实数a．
综上所述，．
（法二：）又，
故或，得．
当时，，即有，此时函数在单调递增，
故，即，故．
（法三：）由题可知是函数，值域的子集，
所以，，使得且，
对于，使得成立，即使得成立．
所以，，易得．
对于，使得成立，即使得成立．
所以，，
由函数在上单调递增，易得．
综上可得：
22．【解析】
（1）由题意，，即．
又为奇函数，所以函数的定义域关于原点对称，
则必有，得．
故的定义域为．
因为为奇函数，所以，即，．
验证：当，时，，而，
即，所以是奇函数．
综上：，．
（2）由（1）知，，，
于是，故．
因为，所以恒成立．
设，
令，则，即，
再令，则，得，
因为，当且仅当时“＝”成立，所以，
故，可得
所以实数m的取值范围为