安徽省滁州市2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题（含解析）

滁州市2023-2024学年高二上学期1月期末联考
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ）
A． B．8 C． D．
2．已知双曲线的焦距为12，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知等比数列满足，，则数列前7项的和为（ ）
A．256 B．255 C．128 D．127
4．圆与圆公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若P，A，B，C四点共面，则存在实数x，y，使得
B．若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则
C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D．对于空间中的一点，若，则A，B，C，P四点共面
10．已知等差数列的前项和为，公差，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．当取得最小值时，的值为22 D．当时，的最小值为44
11．已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知抛物线的焦点为，且，B，C三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点F，O为坐标原点，则
C．若，则线段的中点到轴距离的最小值为
D．若直线，是圆的两条切线，则直线的方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线与直线互相垂直，则__________．
14．在四棱柱中，，，，则__________．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，且，，则的离心率为__________．
16．已知实数x，y满足，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列的前项和为，，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：．
18．（本小题满分12分）
已知圆．
（1）若点是圆上的一点，求的取值范围；
（2）过点的直线与圆交于M，N两点，且，求直线的方程．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，点，分别为棱，的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
在数列中，，且．
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）若函数恰有两个零点，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为12．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于M，N两点（不同于，两点），直线与直线交于点，试判断的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
滁州市2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学
参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 A C D D A B B C BD ABD BC ABD
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．A【解析】令，解得，即直线在轴上的截距为．故选A．
2．C【解析】因为双曲线的焦距为12，所以，解得，所以该双曲线的渐近线方程为．故选C．
3．D【解析】设等比数列的公比为，因为，，可得解得，，所以数列前7项的和．故选D．
4．D【解析】根据题意，圆即，其圆心为，半径；圆即，其圆心为，半径；两圆的圆心距，所以两圆外离，其公切线条数有4条．故选D．
5．A【解析】由题意知，所以，又，所以的图象在处的切线方程为，即．故选A．
6．B【解析】由题意知是抛物线的焦点，记点到抛物线线的准线的距离为，所以，当且仅当直线与抛物线的准线垂直，点在线段上时，等号成立，所以的最小值为6．故选B．
7．B【解析】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．所以，，，，所以，．设平面的法向量，所以令，解得，，所以平面的一个法向量，又，所以点到平面的距离．故选B．
8．C【解析】由题意知在上恒成立，所以在上恒成立．令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递琙，所以，所以，解得，即的取值范围是．故选C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9．BD【解析】
若C，A，B三点共线，点与C，A，B三点不共线时，则不存在实数x，y，使得，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，所以或，故C错误；因为，所以，所以，所以A，B，C，P四点共面，故D正确．故选BD．
10．ABD【解析】因为，所以，所以，又，所以，故A正确；，故B正确；因为，所以该等差数列是递增数列，又，所以当，或时，取得最小值，故C错误；，又，所以，因此的最小值为44，故D正确．故选ABD．
11．BC【解析】令，所以，所以在上单调递增，所以，即，故A错误，B正确；又，所以，即，故C正确，D错误．故选BC．
12．ABD【解析】因为在抛物线上，所以，解得，所以，故A正确；显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，由得，所以，所以，所以，故B正确；因为，当且仅当B，C，F三点共线时，等号成立，所以，所以，即线段的中点到轴距离的最小值为，故错误；直线的斜率为，所以直线的方程为，即，又直线与圆相切，所以，整理得，即．同理可得，所以直线的方程为，故D正确．故选ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
【解析】由题意知，解得．
14．3
【解析】由题意知，
所以，
即，解得，即．
15．
【解析】由双曲线定义知，，又，
所以，，又，，
在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍），即的离心率为．
16．
【解析】因为，所以．令，所以，所以在上单调递增，又，所以，所以，所以，令，所以，令，解得；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递堿，所以，即的最大值为．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（本小题满分10分）
（1）解：因为，所以，所以，
所以是公差为2的等差数列，
又，所以，解得，
所以．
（2）证明：由（1）知，
所以．
又，所以．
18．（本小题满分12分）
解：（1）设，则直线与圆有公共点，所以，
解得，所以的取值范围是．
（2）因为，所以点到直线的距离．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，所以，
解得，所以直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
19．（本小题满分12分）
（1）证明：因为平面，平面，所以．
因为四边形是正方形，所以，又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
在中，，又点是棱的中点，所以，又，，平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）解：因为平面，，平面，所以，，又四边形是正方形，所以．以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设，所以，，，，．
设平面的法向量，又，，所以令，解得，，所以平面的一个法向量．
设平面的法向量，又，，
所以令，解得，，所以平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
20．（本小题满分12分）
解：（1）因为，
所以，即．
当时，，所以，又符合，所以．
（2）由题意知，
，
两式相减得，
所以．
若不等式对任意的恒成立，
当，时，则，所以；
当，时，则，所以，即．
所以，即的取值范围为．
21．（本小题满分12分）
解：（1）若，则，所以，
令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以的极小值为1，无极大值．
（2），
所以．
当时，，所以在上单调递增，所以至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，．
令，，所以，所以在上单调递减，
又，
若，则，则至多有一个零点，不符合题意；
若，则，
又，
又在上单调递减，所以在上存在唯一一个零点；
，
因为，所以，令，
令，，所以，所以在上单调递增，
所以，即，
所以，又在上单调递增，
所以在上存在唯一一个零点，所以当时，函数恰有两个零点．
综上，的取值范围是．
22．（本小题满分12分）
解：（1）由题意知解得，，，
所以的方程为．
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，．
由得，
所以．
易得，，所以直线的方程为，直线的方程为，
由得
，
解得，即点的纵坐标，
所以的面积，即的面积为定值12．