平罗县2023—2024学年第一学期期末考试
高三（理科）数学试卷（A）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B C D B A C C A B D C
13．6； 14．； 15．； 16．.
17．（1）证明：， ，
是等差数列
，
（2）
.
18．（1），
，
（2），
，
，
， ，
．
19．（1）证明：，O为AD的中点
∵ 平面PAD⊥平面ABCD，平面⊥平面，平面，
平面
平面，
，AO//BC
∴ 四边形ABCD是菱形，
平面，平面，
（2）建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，令，则
，，
平面POB的法向量为
或（舍）
20．（1）
，
椭圆C的方程为
（2）当l与x轴重合时，x轴上的任意一点都符合题意
当l不与x轴重合时，设l：，，，
由得：
，
，
∴ x轴上存在定点，使得x轴恰好平分.
20．（1）的定义域为
当时，恒成立，在上单调递增
当时，由得：
当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增
综上：当时，在上单调递增
当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）证明：，．
由（1）得：当时，在上单调递增
当时，，即：
……
22．（1）C1的极坐标方程：
C2的直角坐标方程：；
（2）当时，
当时，最大
此时直线l的直角坐标方程为．
23．（1）当时，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，的解集是；
（2）当时，
，
．
(
高三（理科）数学（A）参考答案
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)平罗县2023—2024学年第一学期期末考试
高三（理科）数学试卷（A）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．设全集为R，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知a、b为实数，i为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．在等比数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．英国数学家泰勒1712年提出了泰勒公式，这个公式是高等数学中非常重要的内容之一，其正弦展开的形式如下：（其中，），则的值约为（1弧度）（ ）
A． B． C． D．
6．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A．72 B．60
C．48 D．24
7．某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9．已知点是双曲线C：的右焦点，直线l是双曲线C的一条渐近线，若点F关于直线l的对称点在圆上，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．对于函数，以下结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在区间上是增函数
C．的图像关于直线对称 D．
11．已知、分别是两个等差数列、的前n项和，，则（ ）
A． B． C． D．
12．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E、F是平面A1B1C1D1内的动点，若，AC⊥DF，现有以下四个命题：
p：点E的轨迹是一个圆； q：点F的轨迹是一个圆；
r：三棱锥F—A1BD的体积是定值； s：.
则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题(每小题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡中的横线上).
13．设实数x，y满足约束条件，则的最大值是 .
14．已知，则m的值是 ．
15．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，且，（O为坐标原点），则抛物线C的方程为 ．
16．已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是 .
三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
17．（本题12分）已知数列满足：，.
（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求数列的前2024项和.
18．（本题12分）在△ABC中，、、分别是角A、B、C的对边，，.
（1）求；
（2）记△ABC的面积为S，若，求△ABC的周长l．
19．（本题12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AD//BC，侧面PAD⊥平面ABCD，，，O为AD的中点.
（1）证明：AC⊥平面POB；
（2）点M在棱PD上，直线CM与平面POB所成的角的正弦值为，求的值.
20．（本题12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，、F2，，
点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F2的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B.试问x轴上是否存在定点Q，使得x轴恰好平分？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
20．（本题12分）设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：，．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数). 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若直线l：与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，当取得最大值时，求直线l的直角坐标方程．
23．选修4—5：不等式选讲
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，恒成立，求实数a的取值范围．
