荆州市重点中学2023-2024学年高二上学期期末考试
数学试题
（全卷满分150分 考试时间120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k等于( )
A. 4 B.
C. 5 D.
3.若双曲线离心率为2，过点，则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知公差小于0的等差数列的前n项和为，若，则当最大时的n值为( )
A. 6或7 B. 7或8 C. 6或8 D. 8或9
5.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，F是棱PD的中点，且，则( )
A. B.
C. D.
6.已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则( )
A. B. C. D.
7.在圆内，过点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差，那么n的取值集合为( )
A. B. C. D.
8.若数列对任意连续三项，，，均有，则称该数列为“跳跃数列”，下列说法中正确的是( )
A. 存在等差数列是“跳跃数列”
B. 存在公比大于零的等比数列是“跳跃数列”
C. 若等比数列是“跳跃数列”，则公比
D. 若数列满足，则为“跳跃数列”
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若有空间非零向量，，则存在唯一的实数，使得
B. A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面
C. ，，若 ，则
D. 若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线
10.已知圆，圆，则( )
A. 圆与圆相切
B. 圆与圆公切线的长度为
C. 圆与圆公共弦所在直线的方程为
D. 圆与圆公共部分的面积为
11.已知五个数1，p，m，q，16成等比数列，则曲线的离心率可以是( )
A. B. C. D.
12.对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为函数，例如，与1，3，7，9均互质则( )
A. B. 数列不是单调递增数列
C. 若p为质数，则数列为等比数列 D. 数列的前4项和等于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是__________.
14.若双曲线的渐近线与圆相切，则__________.
15.在数列中，，则__________.
16.已知三棱锥满足平面ABC，且，底面为边长为2的正三角形，则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分已知直线和圆，
为何值时，截得的弦长为2；
若直线与圆交于A，B两点，此时，求m的值．
18.本小题12分已知数列满足
求的通项公式；
求数列落入区间的所有项的和.
19.本小题12分如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，
证明：平面平面PAB；
已知，在线段PB上是否存在一点Q，使得二面角的
平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
20.本小题12分已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点到焦点的距离为
求此抛物线的方程；
若此抛物线方程与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
21.本小题12分已知为数列的前n项和，且
求数列的通项公式；
若，求数列的前n项和
设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
22.本小题12分如图，已知椭圆设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段AB上，直线PA，PB分别交直线于C，D两点.
求点P到椭圆上点的距离的最大值;
求的最小值.2023～2024学年高二上学期期末考试答案
1. D 2. D 3. B 4. B 5. A 6. C 7. A 8. C
9. ABC 10. BCD 11. AC 12. ABC
13. 3 14. 3 15. 2017 16.
2 43 129
6
m m
17.解： (1)圆心 (0,0)到直线 2x y m 0的距离为 d ，
22 1 2 5
2
由垂径定理知 r 2
m
d 2 12 ，即 5 1.得
5 m 2 5
，
当m 2 5 时，直线被圆截得的弦长为 2.
(2)由于交点处两条半径互相垂直，
2
所以弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，则圆心到直线 AB的距离 d r(r为圆的半径 )，即
2
m 2
5 5 2 5 2，解得m ，故当m 时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．
5 2 2 2
18.解： (1) an 1 2an 1， an 1 1 2 an 1 ，由等比数列的定义可知， an 1 是公比为 2的等比数
列，因为首项 a1 1 2
n
，公比为 2，所以 an 1 2
n ，所以 an 2 1.
(2)令10 2n 1 2024，因为 n N ，所以 3 n 11，则 n可取 4，5，6，7，8，9，10，所以，各项的和
7
S a a 4 5 10 16(1 2 )4 5 a9 a10 2 1 2 1 2 1 7 2025.1 2
所以数列{an}落入区间 10,2021 的所有项的和为 2025.
19.解： (1)底面 ABCD是平行四边形，则 AD BC ，
AB AC 2 AD ， AB2 AC2 AD2 BC2 ， AB AC
2
PA 平面 ABCD， AB 平面 ABCD， PA AB ，
又 AC PA A ，AC、 PA 平面 PAC，
AB 平面 PAC，
AB 平面 PAB， 平面 PAC 平面 PAB
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(2)易得 AB、AC、AP两两垂直，
以 A为坐标原点，以 AB 、 AC 、 AP 的方向分别为 x， y， z轴的正方向建
立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，设 AB 1 ， BQ BP ， [0,1]，
则 A 0,0,0 ， B 1,0,0 ， C 0,1,0 ， P 0,0, 3 ，
则平面 ABC的一个法向量为 m 0,0,1 ，
所以 AC 0,1,0 ， AQ AB BQ 1,0,0 1,0, 3 1 ,0, 3 ，
设平面 ACQ的一个法向量为 n x, y, z ，
n AC y 0 n 则 ，取 x 3 ，则 3 ,0, 1 ，
n AQ (1 )x 3 z 0
cos m ,n m n 1 1 1 1
PQ
1
m n ， ， ，所以4 2 2 1 4 2 2 1 2 2 QB
解法二：
连接 AQ，由 (1)知 AB AC ， AP AC ， AB AP A ， AB 平面 PAB， AP 平面 PAB，
所以 AC 平面 PAB，
由 AQ 平面 PAB，所以 AC AQ ，
所以 QAB 为二面角 Q AC B 的平面角，
所以 QAB ，
3
在 Rt PAB 中，因为 PA 3AB ，所以 PBA ，3
所以 ABQ 为等边三角形，
PQ
所以 Q为 PB中点，所以 1QB
20.解： (1)
p
由题意设抛物线方程为 y 2 2 px( p 0)，其准线方程为 x ，
2
A(4,m)到焦点的距离等于 A到其准线的距离，此抛物线上一点 A(4,m)到焦点的距离为 6，
4 p 6， p 4.
2
此抛物线的方程为 y 2 8x.
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2
(2) y 8x由 ，消去 y得 k 2x2 (4k 8)x 4 0，
y kx 2
y kx 2
k 0
直线 与抛物线相交于不同的两点 A、B，则有 0 ，解得 k 1且 k 0.
又 x1 x
4k 8
2 2 4，解得 k 2或 k 1( 舍去 ).k
所求 k的值为 2.
1
21.解： (1)当 n 1时， a1 2S1 3a1 1，可得 a1 ，3
an 2S 1
当 n 2 n时， ，可得3an an 1，
an 1 2Sn 1 1
{an}
1 1
是首项、公比都为 的等比数列，故 a .
3 n 3n
2 2 1 1
(2)由 (1)，bn log 3 n log 3 (n 2)
n(n 2) n n 2 ，3 3
M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3n
2 5n
n .3 2 4 3 5 n 1 n 1 n n 2 2 n 1 n 2 2(n 1)(n 2)
(3) 1 1 1 1由题设，Tn 3 5 (2n 1) ，3 32 33 3n
Tn 1 3 1 5 1 2 3 4 (2n 3)
1
n (2n
1
1) ，
3 3 3 3 3 3n 1
2Tn 2 (1 1 1 1 1 ) (2n 1) 1 1 2 2n 2 n 1则
3 3 32 33 34 3n
3n 1
3 3 3n 1
， Tn 1 n ，3
由 ( 1)n 1 n Tn n 1 n 对一切 n N * 恒成立，3 3
n n 1 n n 1 3n 1 2n
令 cn n ，则 cn 1 cn n 1 n n 1 n 1 0， 数列{cn}单调递减，3 3 3 3 3
n n n 1 2
当 n为奇数， n 1恒成立，又 y n 1在 n N * 上递减，则 ( n 1)max 1 ，3 3 3 3 3
n n n 2 7
当 n为偶数， 1 n 恒成立，且 y 1 在 n N *n 上递增，则 (1 )3 3 3n min
1
32
，
9
2 7
综上， .
3 9
2
22.解： (I )设 E(x x0 , y0 )在椭圆上，则 0 y2 P(0,1)12 0
1，又 ，
所以 | PE |2 x20 (y0 1)
2 12(1 y20 ) y
2
0 2y
2
0 1 11y0 2y0 13， y0 [ 1,1]，
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所以 | PE |2
144 12 11
max ，即 | PE | .11 max 11
(II ) 1 2 1 2 3设直线 AB : y kx ，直线与椭圆联立，得 (k )x kx 0，
2 12 4
x
k
1 x2
k 2
1
A(x , y 12设 1 1)， B(x2 , y2 )，故 .
x 3
1
x2
4(k
2 1 )
12
PA : y y 1 1 x 1 1 4x 4x ，与 y x 3x 交于 C，则
xC 1 1
1 2 x1 2y1 2 (2k 1)x
，
1 1
x 4x2 4x 2同理可得， D .x2 2y2 2 (2k 1)x2 1
|CD | 1 1 | x x 5 4x则 1
4x2
4 C D
| | |
2 (2k 1)x1 1 (2k 1)x2 1
x
2 5 1 x2
2k 1 x1 1 2k 1 x2 1
2 5 x1 x2
(2k 1)2 x1x2 (2k 1)(x1 x2 ) 1
2
k 3
k 2 1 k 2 1
2 5 12 12
2k 1 2 3 2k 1 k
2 1 k 2 1
1
4 k
12 12
2 9
3 5 16k 2 1 6 5 16k 1 1 6 5
. . 16
2 3k 1 5 3k 1 5
3
等号在 k 时取到.
16
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