第六章 特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定（含答案）

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第六章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
第2课时 正方形的判定
基 础 练
练点1 在菱形或矩形的基础上判定正方形
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是( )
(第1题) (第2题)
2.如图,在矩形ABCD中,对角线 AC，BD 相交于点O，试添加一个条件_____________,使得矩形ABCD 为正方形.
练点2 在四边形或平行四边形的基础上判定正方形
3.小明的爸爸用废旧木料做了一个四边形木框ABCD. 小明为了检验四边形木框ABCD 是否是正方形，通过测量知 CD,AD=BC,∠BAD=90°,下面的选项正确的是( )
A.现有数据可判定四边形ABCD是正方形 B.需再测量AC 是否等于BD
C.需再测量 是否等于 D.需再测量 AB是否等于BC
4. 已知 从下列条件：②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD 中,选出两个，下列组合中不能判定□ABCD 是正方形的是( )
A.①② B.①③ C.③④ D.①④
纠易错 将特殊四边形的判定相混淆导致出错
5.如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角.
顺次添加的条件：①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.
则正确的是( )
A.① B.③ C.①② D.②③
提 升 练
6.如图,D 是△ABC 内一点,AD⊥BC,E,F,G,H 分别是AB,BD,CD,AC 的中点,添加下列哪个条件， 能使得 四边 形 EFGH 成为正方形( )
A. BD=CD B. BD⊥CD C. AD=BC D. AB=AC
(第6题) (第7题)
7.如图,在矩形ABCD 内有一点F,BF 与CF分别平分∠ABC和∠BCD,点E 为矩形ABCD 外一点,连接BE,CE,先添加下列条件:
①BE∥CF,CE∥BF; ②BE= CE,BE =BF;③BE∥CF, CE⊥BE;④BE=CE,CE∥BF,
其中能判定四边形 BECF 是正方形的是_____________(填序号).
8.如图, 的对角线 AC,BD 交于点O，分别以点B，C 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
(1)试判断四边形 BPCO 的形状，并说明理由.
(2)请说明当 的对角线满足什么条件时，四边形BPCO 是正方形
9.如图，在 中, AC,AD⊥BC,垂足为 D,AN 是 的外角的平分线， 垂足为 E.
(1)求证:四边形ADCE 为矩形.
(2)当 满足什么条件时，四边形ADCE是正方形 请给出证明.
10.如图,在正方形ABCD 中,
(1)求证:四边形PQEF是正方形.
(2)PE 是否总过某一定点，并说明理由.
11.(1)将矩形纸片 ABCD 沿过点 D 的直线折叠，使点 A 落在 CD上的点A'处，得到折痕DE，如图①. 求证：四边形是正方形.
(2)将图①中的矩形纸片 ABCD沿过点 E 的直线折叠，点 C 恰好落在AD 上的点 处，点B 落在点 处，得到折痕EF， 交 AB 于点 M,如图②. 线段 与ME 是否相等 若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由.
参考答案
1. A 2. AB=AD(答案不唯一) 3. D 4. D
5. C 【点拨】①由a.两组对边分别相等得到四边形是平行四边形，添加c.一组邻边相等得到平行四边形是菱形，再添加 d.一个角是直角得到菱形是正方形，故①正确；②由b.一组对边平行且相等得到四边形是平行四边形，添加d.一个角是直角得到平行四边形是矩形，再添加c.一组邻边相等得到矩形是正方形，故②正确；③由a.两组对边分别相等得到四边形是平行四边形，添加b.一组对边平行且相等得到四边形仍是平行四边形，再添加c.一组邻边相等得到平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确.
6. C 【点拨】∵ E,F,G,H 分别是 AB,BD,CD,AC 的中点,∴ EF 是△ABD的中位线,GH是△ADC 的中位线,FG是△DBC 的中位线,EH 是△ABC 的中位线,∥B∴ 四边形EFGH是平行四边形.∵EF∥AD,FG∥BC,AD⊥BC, ∴EF⊥FG,∴ 四边形 EFGH 是矩形.当AD=BC时,
可得四边形 EFGH是正方形.
7.①②③④ 【点拨】∵四边形ABCD 是矩形,BF,CF 分别平分 和∠BCD,∴∠FCB=∠FBC=45°,∴∠F=90°,CF=BF.①∵EB∥CF,CE∥BF, ∴ 四边形 BECF 是平行四边形. BF,∴ 四边形BECF 是正方形. 故①正确.②∵BE=C ∴四边形 BECF 是菱形.∵∠F=90°,∴四边形 BECF 是正方形,故②正确. ∥∠FCE=90°.∵∠F=90°,∴四边形BECF 是矩形.∵CF= BF,∴四边形BECF 是正方形,故③正确.④∵CE∥BF,BE=CE,∴∠BCE=∠CBE=∠CBF=45°,∴∠FBE=∠CEB=90°.∵∠F= 90°,∴ 四边形BECF是矩形.∵CF=BF,∴ 四边形BECF 是正方形，故④正确. 综上，①②③④都能判定四边形BECF 是正方形.
8.【解】(1)四边形BPCO 为平行四边形.理由:∵四边形ABCD为平行四边形，∵ 以点 B,C 为圆心, 长为半径画弧，两弧交于点
∴OB = CP,BP = OC,∴ 四边形 BPCO 为平行四边形.
(2)当AC⊥BD,AC =BD时,四边形 BPCO 为正方形.
∵四边形 BPCO 为平行四边形,∴ 四边形BPCO为菱形.
∵ AC⊥BD,∴∠BOC =90°,∴四边形 BPCO为正方形.
9.(1)【证明】∵AB =AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC.
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAC+∠CAE=∠BAD+∠MAE.
∴∠DAC+∠CAD+∠DAD+∠MAD=180°,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°.
∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,∴四边形 ADCE 为矩形.
(2)【解】当∠BAC=90°时,四边形ADCE 是正方形.
证明:∵AB =AC,∠BAC=90°, AD⊥BC,∴∠ACB=∠B = 45°,∠CAD = ∠BAD = 45°,
∴ ∠CAD =∠ACB,∴DC=AD.
∵ 四边形ADCE 为矩形,∴ 矩形ADCE是正方形.
故当∠BAC=90°时,四边形ADCE 是正方形.(答案不唯一)
10.(1)【证明】在正方形ABCD 中,AB = BC = CD=DA,∠BAD=∠B =∠BCD =∠D =90°.
∵AP=BQ=CE = DF,∴ BP=QC = ED =FA.∴ △AFP≌△BPQ≌△CQE ≌△DEF(SAS).
∴ FP = PQ =QE=EF,∠APF=∠PQB.∴四边形PQEF 是菱形.
又∵∠PQB +∠BPQ=90°,∴ ∠APF +∠BPQ =90°,∴∠FPQ=90°,
∴菱形PQEF 为正方形.
(2)【解】PE 总过正方形 ABCD的对角线的中点. 理由如下：
如图，连接 AC 交 PE 于点 O,连接 AE,CP.
∵ 四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD.
∵AP=EC,∴四边形APCE 为平行四边形. ∴OA=OC,∴PE总过AC 的中点.
11.(1)【证明】∵ 四边形ABCD 是矩形,∴∠A=∠ADC=90°.
由折叠可知
∥∠A'DE,∴∠AED = ∠ADE,∴ AD = AE,∴ AD=
∴四边形 是菱形.
∵ ∠A=90°,∴四边形 是正方形.
(2)【解】 证明：连接 ,由(1) 知AD=AE.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠A=∠B=90°.
由折叠知
在 和 中,
∴∠C'EA=∠EC'B',∴ MC'= ME.
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