重庆市主城九龙坡区2024届高三第一学期数学期中试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高三上·九龙期中）设均为非空集合，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·九龙期中）已知命题，命题q：复数为纯虚数，则命题是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高三上·九龙期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高一上·建昌月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且 ，设 ， ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高三上·九龙期中）已知数列均为等差数列，且，设数列前项的和为，则（ ）
A．84 B．540 C．780 D．920
6．（2024高三上·九龙期中）函数的最大值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
7．（2024高三上·九龙期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．60种 B．150种 C．180种 D．300种
8．（2024高三上·九龙期中）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2024高三上·九龙期中）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A．样本的众数为70
B．样本的分位数为78.5
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6
D．该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人
10．（2024高三上·九龙期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称
C．若对任意实数都成立，则
D．方程有3个不同的实数根
11．（2024高三上·九龙期中）甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球次后球仍回到甲手里的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高三上·九龙期中）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高三上·九龙期中）的展开式中，的系数为 （用数字作答）．
14．（2024高三上·九龙期中）曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
15．（2024高三上·九龙期中）定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则 ．
16．（2024高三上·九龙期中）若是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数．则在区间上的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2024高三上·九龙期中）在中，内角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，点在边上，且，求面积的最大值．
18．（2024高三上·九龙期中） 2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
（1）根据表中数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？
（2）为弄清学生不喜欢电子竞技原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为，求的数学期望．
参考公式及数据：，其中．
19．（2024高三上·九龙期中）已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，若对任意都有成立，求实数的取值范围．
20．（2024高三上·九龙期中）当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；
（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据：，其中，
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
21．（2024高三上·九龙期中）已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；
（3）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．
22．（2024高三上·九龙期中）已知函数．
（1）若函数是减函数，求的取值范围；
（2）若有两个零点，且，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：设均为非空集合，且满足，
则
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合非空集合的真包含关系，再结合交集、并集和补集的运算法则，进而得出集合。
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为命题，命题q：复数为纯虚数，
由命题q：复数为纯虚数，则为纯虚数，所以，所以，所以a=-1，
则命题是的充要条件。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而判断出命题是的充要条件。
3．【答案】B
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：已知向量，的夹角为，且，
则，
则，
所以，
所以，
则，
所以，
则向量在向量上的投影向量为。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合向量的模的平方等于向量的平方的性质以及数量积的运算法则，从而由数量积的定义求投影向量的方法，进而得出向量在向量上的投影向量。
4．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】由图形可知， ， ，
由勾股定理可得 ，
在 中，由 可得 ，
故答案为：D.
【分析】由图形可知， ， ，再由勾股定理得出，再利用在 中，由 可得。
5．【答案】D
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：已知数列均为等差数列，且，
所以，
所以，
因为
所以数列是首项为8，公差为4的等差数列，
所以等差数列前项的和为：，
则。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式得出的值，再利用等差数列的定义判断出数列是首项为8，公差为4的等差数列，再结合等差数列前n项和公式得出等差数列前20项的和。
6．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解： ，
令
而
所以当时，，
所以函数的最大值2。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式，再结合换元法和辅助角公式化简函数为三角型函数，再利用三角型函数的图象求出其值域，再结合完全平方公式将函数f(x)转化为二次函数，再由二次函数的图象求最值的方法等差函数f(x)的最大值。
7．【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：因为某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则需要分为三组，有两类情况：
（1）三组人数为1、1、3，此时有种；
（2）三组人数为2、2、1，此时有种，
所以不同的报名方法共有60+90=150种。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合平均分组的方法，再由组合数和排列数求计数问题的方法，进而由分类加法计数原理等差不同的报名方法种数。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为函数，
构造函数
当时，则
当时，，所以函数单调递减，
当时，，所以函数单调递增，且，
当时，恒成立，
当时，，则
当时，则单调递增，且
从而画出分段函数的图象如下：
要使方程有两个不相等的实数根，由图可知，
则实数的取值范围是。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合构造法得出函数h(x)，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象和方程的根与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，进而得出实数k的取值范围。
9．【答案】B,C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得出众数约为，所以A错；
对于B，设样本的分位数为x，
由频率分布直方图得出，、
所以x=78.5，所以B对；
对于C，设该市全体学生成绩的平均分估计为，所以
，
所以C对；
对于D，该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为人，所以D错。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图求众数公式、分位数公式和平均数公式，进而得出样本的众数和分位数以及估计出该市全体学生成绩的平均分，再结合各小组频率等于各小组矩形的面积和频数等于频率乘以样本容量，进而估计出该市参加测试的学生中低于60分的学生，从而找出说法正确的选项。
10．【答案】B,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，当时，所以，
则在上单调递增，在上单调递减，所以A错；
对于B，将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象，
因为为偶函数，所以函数关于轴对称；所以B对；
对于C，因为对任意实数都成立，所以是的最大值，则所以，所以C对；
对于D，设函数y=f(x)与函数的图象如下图：
则函数y=f(x)与函数有多于3个交点的交点，
所以方程有多于3个不同的实数根，所以D错。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合x的取值范围和换元法以及正弦型函数的图象，从而判断出正弦型函数在给定区间的单调性，进而判断出选项A；利用正弦型函数的图象变换和偶函数的图象的对称性，进而判断出选项B；利用已知条件结合正弦型函数的图象求最值的方法，从而得出，进而判断出选项C；利用函数y=f(x)与函数的图象结合方程的根的个数与函数y=f(x)和函数交点的个数的等价关系，进而判断出选项D。
11．【答案】A,C,D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：对于A，由已知条件得出第一次传球后到乙或丙手里，故，
第二次传球，乙或丙有的概率回到甲手里，故所以A对；
对于C，为传球n-1次后球仍回到甲手里的概率，要想传球n次后球仍回到甲手里，则第n-1次传球后球不在甲手里，在乙，丙手里，且下一次传球有的概率回到甲手里，故，所以C对；
对于D，由选项C可知，，即，
设，又因为，
所以，
所以，又因为，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故，
所以，所以D对；
对于B，由选项D可知，所以B错。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合概率的求解方法和对立事件求概率公式以及独立事件求概率公式，进而得出传球次后球仍回到甲手里的概率与传球次后球仍回到甲手里的概率的关系式，再利用等比数列的定义变形证出传球次后球仍回到甲手里的概率为等比数列，再利用等比数列的通项公式得出与n的关系式，进而找出正确的选项。
12．【答案】B,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：因为，所以
对于A，因为所以，
从而
因为所以，
从而
所以所以A错；
对于B，，由得出
所以，则则，所以B对；
对于C，因为
所以，
所以，所以C错；
对于D，构造所以
当时，则，所以f(x)在(0，e)上单调递增，
所以则，
则，所以，
所以，所以，所以D对。
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式和对数的运算法则，再结合指数函数与对数函数的单调性比较大小的方法、作差法比较大小的方法、不等式的基本性质比较大小的方法、放缩法、构造函数结合函数求导判断单调性比较大小的方法，从而找出结论正确的选项。
13．【答案】10
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：在的展开式中，要得到项，需要x，2y分别与展开式中的项相乘，
因为的通项公式为，r=0，1，2，3，4，5，6，
所以的系数为。
故答案为：10.
【分析】利用已知条件结合二项式定理中二项式的系数，再由分类加法计数原理得出的展开式中的系数。
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为曲线在处的切线的倾斜角为，
所以，，
则
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出曲线的切线的斜率，再结合切线的斜率与切线的倾斜角的关系式，进而得出切线的倾斜角的正切值，再结合同角三角函数基本关系式变形得出的值。
15．【答案】399
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：在数列中，，其中为常数，
则称数列为“等比差”数列，
已知“等比差”数列中，，，则，而，
所以数列是以1为首项，公差为2的等差数列，
所以，
所以，
则
所以
故答案为：399.
【分析】利用已知条件结合等比差的定义，从而得出首项和公差，再利用等差数列定义证出数列是以1为首项，公差为2的等差数列，再由等差数列的通项公式得出与n的关系式，最后由代入法得出的值。
16．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数，
所以由奇函数和偶函数的定义得出，
因为
又因为在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
则在区间上的最小值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合奇函数的和偶函数的定义，从而建立关于f(x)和f(-x)的方程组，进而解方程组求出函数f(x)和函数f(-x)的解析式，再利用函数的单调性定义判断函数f(x)在给定区间为减函数，再结合函数的单调性得出函数在给定区间的最小值。
17．【答案】（1）解：根据，由正弦定理可得，
由二倍角公式可得，又因为，
所以，即可得，
即，所以，即；
（2）解：如下图所示：
由（1）可知，即，可得
又，解得，当且仅当时，等号成立；
所以，
由可得，
所以面积的最大值为.
【知识点】基本不等式；二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和二倍角的正弦公式以及三角形中角的取值范围，从而又同角三角函数基本关系式得出角A的值。
（2）由（1）中角A的值和余弦定理以及均值不等式求最值的方法，从而由三角形的面积公式和向量共线定理得出三角形面积的最大值。
18．【答案】（1）解：列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢
不喜欢
合计
零假设该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别无关，
，
，
采用小概率值的独立性检验，可推断不成立，即能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关，
（2）解：采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率为．
（3）解：由题意可知喜欢电子竞技的概率为，所以，
故．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法，从而得出能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法和组合数公式求计数问题的方法，再结合对立事件求概率公式，进而得出“至少抽到一名男生”的概率。
（3）利用已知条件结合古典概型求概率公式可知喜欢电子竞技的概率，再利用二项分布定义，从而判断出随机变量X服从二项分布，再结合二项分布求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
19．【答案】（1）解：由，
得，
则当时，，
所以，
当时，上式成立，
所以；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
．
因此，
，
当，即，
当时，，即，
最大项，．
【知识点】函数恒成立问题；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用的关系式和分类讨论的方法，进而求出数列的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列的通项公式，再结合错位相减的方法得出数列的前项和，进而得出数列的通项公式，再利用单调性的定义判断出数列的单调性，从而得出数列的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数的取值范围。
20．【答案】（1）解：令，
，
则，
，所以，
所以；
（2）解：设甲公司获得“优胜公司”为事件，
则，
所以甲公司获得“优胜公司”的概率为．
【知识点】最小二乘法；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合模型拟合与的关系的方法，再结合最小二乘法求出与的经验回归方程。
（2）利用已知条件结合对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出甲公司获得“优胜公司”的概率。
21．【答案】（1）解：若时，，则，
，
可得在点处的切线方程为，
即．
（2）解：函数，则，
令得，
①若，则在上恒成立，
此时在上单调递增，无极值，不符合题意，
②若，则与情况如下：
若在上恰有一个极小值点，则需满足，
解得，
即实数的取值范围为．
（3）解：易知，所以可化为，
又，所以可得，
即对于任意恒成立，
令，则，
又，所以，
又可得
即在上单调递减，所以，
可得，
即实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用m的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出函数在切点处的切线的斜率，再利用代入法得出切点的坐标，最后由点斜式得出函数在切点处的切线方程。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极小值点，再利用不等式恒成立问题求解方法和函数在上恰有一个极小值点，进而求出实数的取值范围。
（3）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围。
22．【答案】（1）解：的定义域为，
，
函数是减函数，故在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，且，
故，解得，
故的取值范围是；
（2）解：若有两个零点，则，
得．
，令，则，
故，
则，
，
令，则，
令，则，
在上单调递增，
，
，则在上单调递增，
，即，
故.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围。
（2）利用已知条件结合函数的零点求解方法，从而构造函数结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再利用对数函数的单调性，从而证出不等式成立。
1 / 1重庆市主城九龙坡区2024届高三第一学期数学期中试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高三上·九龙期中）设均为非空集合，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：设均为非空集合，且满足，
则
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合非空集合的真包含关系，再结合交集、并集和补集的运算法则，进而得出集合。
2．（2024高三上·九龙期中）已知命题，命题q：复数为纯虚数，则命题是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为命题，命题q：复数为纯虚数，
由命题q：复数为纯虚数，则为纯虚数，所以，所以，所以a=-1，
则命题是的充要条件。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而判断出命题是的充要条件。
3．（2024高三上·九龙期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：已知向量，的夹角为，且，
则，
则，
所以，
所以，
则，
所以，
则向量在向量上的投影向量为。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合向量的模的平方等于向量的平方的性质以及数量积的运算法则，从而由数量积的定义求投影向量的方法，进而得出向量在向量上的投影向量。
4．（2020高一上·建昌月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且 ，设 ， ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】由图形可知， ， ，
由勾股定理可得 ，
在 中，由 可得 ，
故答案为：D.
【分析】由图形可知， ， ，再由勾股定理得出，再利用在 中，由 可得。
5．（2024高三上·九龙期中）已知数列均为等差数列，且，设数列前项的和为，则（ ）
A．84 B．540 C．780 D．920
【答案】D
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：已知数列均为等差数列，且，
所以，
所以，
因为
所以数列是首项为8，公差为4的等差数列，
所以等差数列前项的和为：，
则。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式得出的值，再利用等差数列的定义判断出数列是首项为8，公差为4的等差数列，再结合等差数列前n项和公式得出等差数列前20项的和。
6．（2024高三上·九龙期中）函数的最大值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解： ，
令
而
所以当时，，
所以函数的最大值2。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式，再结合换元法和辅助角公式化简函数为三角型函数，再利用三角型函数的图象求出其值域，再结合完全平方公式将函数f(x)转化为二次函数，再由二次函数的图象求最值的方法等差函数f(x)的最大值。
7．（2024高三上·九龙期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．60种 B．150种 C．180种 D．300种
【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：因为某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则需要分为三组，有两类情况：
（1）三组人数为1、1、3，此时有种；
（2）三组人数为2、2、1，此时有种，
所以不同的报名方法共有60+90=150种。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合平均分组的方法，再由组合数和排列数求计数问题的方法，进而由分类加法计数原理等差不同的报名方法种数。
8．（2024高三上·九龙期中）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为函数，
构造函数
当时，则
当时，，所以函数单调递减，
当时，，所以函数单调递增，且，
当时，恒成立，
当时，，则
当时，则单调递增，且
从而画出分段函数的图象如下：
要使方程有两个不相等的实数根，由图可知，
则实数的取值范围是。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合构造法得出函数h(x)，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象和方程的根与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，进而得出实数k的取值范围。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2024高三上·九龙期中）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A．样本的众数为70
B．样本的分位数为78.5
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6
D．该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人
【答案】B,C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得出众数约为，所以A错；
对于B，设样本的分位数为x，
由频率分布直方图得出，、
所以x=78.5，所以B对；
对于C，设该市全体学生成绩的平均分估计为，所以
，
所以C对；
对于D，该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为人，所以D错。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图求众数公式、分位数公式和平均数公式，进而得出样本的众数和分位数以及估计出该市全体学生成绩的平均分，再结合各小组频率等于各小组矩形的面积和频数等于频率乘以样本容量，进而估计出该市参加测试的学生中低于60分的学生，从而找出说法正确的选项。
10．（2024高三上·九龙期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称
C．若对任意实数都成立，则
D．方程有3个不同的实数根
【答案】B,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，当时，所以，
则在上单调递增，在上单调递减，所以A错；
对于B，将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象，
因为为偶函数，所以函数关于轴对称；所以B对；
对于C，因为对任意实数都成立，所以是的最大值，则所以，所以C对；
对于D，设函数y=f(x)与函数的图象如下图：
则函数y=f(x)与函数有多于3个交点的交点，
所以方程有多于3个不同的实数根，所以D错。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合x的取值范围和换元法以及正弦型函数的图象，从而判断出正弦型函数在给定区间的单调性，进而判断出选项A；利用正弦型函数的图象变换和偶函数的图象的对称性，进而判断出选项B；利用已知条件结合正弦型函数的图象求最值的方法，从而得出，进而判断出选项C；利用函数y=f(x)与函数的图象结合方程的根的个数与函数y=f(x)和函数交点的个数的等价关系，进而判断出选项D。
11．（2024高三上·九龙期中）甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球次后球仍回到甲手里的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】解：对于A，由已知条件得出第一次传球后到乙或丙手里，故，
第二次传球，乙或丙有的概率回到甲手里，故所以A对；
对于C，为传球n-1次后球仍回到甲手里的概率，要想传球n次后球仍回到甲手里，则第n-1次传球后球不在甲手里，在乙，丙手里，且下一次传球有的概率回到甲手里，故，所以C对；
对于D，由选项C可知，，即，
设，又因为，
所以，
所以，又因为，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故，
所以，所以D对；
对于B，由选项D可知，所以B错。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合概率的求解方法和对立事件求概率公式以及独立事件求概率公式，进而得出传球次后球仍回到甲手里的概率与传球次后球仍回到甲手里的概率的关系式，再利用等比数列的定义变形证出传球次后球仍回到甲手里的概率为等比数列，再利用等比数列的通项公式得出与n的关系式，进而找出正确的选项。
12．（2024高三上·九龙期中）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：因为，所以
对于A，因为所以，
从而
因为所以，
从而
所以所以A错；
对于B，，由得出
所以，则则，所以B对；
对于C，因为
所以，
所以，所以C错；
对于D，构造所以
当时，则，所以f(x)在(0，e)上单调递增，
所以则，
则，所以，
所以，所以，所以D对。
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式和对数的运算法则，再结合指数函数与对数函数的单调性比较大小的方法、作差法比较大小的方法、不等式的基本性质比较大小的方法、放缩法、构造函数结合函数求导判断单调性比较大小的方法，从而找出结论正确的选项。
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高三上·九龙期中）的展开式中，的系数为 （用数字作答）．
【答案】10
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：在的展开式中，要得到项，需要x，2y分别与展开式中的项相乘，
因为的通项公式为，r=0，1，2，3，4，5，6，
所以的系数为。
故答案为：10.
【分析】利用已知条件结合二项式定理中二项式的系数，再由分类加法计数原理得出的展开式中的系数。
14．（2024高三上·九龙期中）曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为曲线在处的切线的倾斜角为，
所以，，
则
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出曲线的切线的斜率，再结合切线的斜率与切线的倾斜角的关系式，进而得出切线的倾斜角的正切值，再结合同角三角函数基本关系式变形得出的值。
15．（2024高三上·九龙期中）定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则 ．
【答案】399
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：在数列中，，其中为常数，
则称数列为“等比差”数列，
已知“等比差”数列中，，，则，而，
所以数列是以1为首项，公差为2的等差数列，
所以，
所以，
则
所以
故答案为：399.
【分析】利用已知条件结合等比差的定义，从而得出首项和公差，再利用等差数列定义证出数列是以1为首项，公差为2的等差数列，再由等差数列的通项公式得出与n的关系式，最后由代入法得出的值。
16．（2024高三上·九龙期中）若是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数．则在区间上的最小值为 ．
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数，
所以由奇函数和偶函数的定义得出，
因为
又因为在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
则在区间上的最小值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合奇函数的和偶函数的定义，从而建立关于f(x)和f(-x)的方程组，进而解方程组求出函数f(x)和函数f(-x)的解析式，再利用函数的单调性定义判断函数f(x)在给定区间为减函数，再结合函数的单调性得出函数在给定区间的最小值。
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2024高三上·九龙期中）在中，内角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，点在边上，且，求面积的最大值．
【答案】（1）解：根据，由正弦定理可得，
由二倍角公式可得，又因为，
所以，即可得，
即，所以，即；
（2）解：如下图所示：
由（1）可知，即，可得
又，解得，当且仅当时，等号成立；
所以，
由可得，
所以面积的最大值为.
【知识点】基本不等式；二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和二倍角的正弦公式以及三角形中角的取值范围，从而又同角三角函数基本关系式得出角A的值。
（2）由（1）中角A的值和余弦定理以及均值不等式求最值的方法，从而由三角形的面积公式和向量共线定理得出三角形面积的最大值。
18．（2024高三上·九龙期中） 2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
（1）根据表中数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？
（2）为弄清学生不喜欢电子竞技原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为，求的数学期望．
参考公式及数据：，其中．
【答案】（1）解：列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢
不喜欢
合计
零假设该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别无关，
，
，
采用小概率值的独立性检验，可推断不成立，即能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关，
（2）解：采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率为．
（3）解：由题意可知喜欢电子竞技的概率为，所以，
故．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法，从而得出能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法和组合数公式求计数问题的方法，再结合对立事件求概率公式，进而得出“至少抽到一名男生”的概率。
（3）利用已知条件结合古典概型求概率公式可知喜欢电子竞技的概率，再利用二项分布定义，从而判断出随机变量X服从二项分布，再结合二项分布求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
19．（2024高三上·九龙期中）已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，若对任意都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由，
得，
则当时，，
所以，
当时，上式成立，
所以；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
．
因此，
，
当，即，
当时，，即，
最大项，．
【知识点】函数恒成立问题；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用的关系式和分类讨论的方法，进而求出数列的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列的通项公式，再结合错位相减的方法得出数列的前项和，进而得出数列的通项公式，再利用单调性的定义判断出数列的单调性，从而得出数列的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数的取值范围。
20．（2024高三上·九龙期中）当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；
（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据：，其中，
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
【答案】（1）解：令，
，
则，
，所以，
所以；
（2）解：设甲公司获得“优胜公司”为事件，
则，
所以甲公司获得“优胜公司”的概率为．
【知识点】最小二乘法；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合模型拟合与的关系的方法，再结合最小二乘法求出与的经验回归方程。
（2）利用已知条件结合对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出甲公司获得“优胜公司”的概率。
21．（2024高三上·九龙期中）已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；
（3）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：若时，，则，
，
可得在点处的切线方程为，
即．
（2）解：函数，则，
令得，
①若，则在上恒成立，
此时在上单调递增，无极值，不符合题意，
②若，则与情况如下：
若在上恰有一个极小值点，则需满足，
解得，
即实数的取值范围为．
（3）解：易知，所以可化为，
又，所以可得，
即对于任意恒成立，
令，则，
又，所以，
又可得
即在上单调递减，所以，
可得，
即实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用m的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出函数在切点处的切线的斜率，再利用代入法得出切点的坐标，最后由点斜式得出函数在切点处的切线方程。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极小值点，再利用不等式恒成立问题求解方法和函数在上恰有一个极小值点，进而求出实数的取值范围。
（3）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围。
22．（2024高三上·九龙期中）已知函数．
（1）若函数是减函数，求的取值范围；
（2）若有两个零点，且，证明：．
【答案】（1）解：的定义域为，
，
函数是减函数，故在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，且，
故，解得，
故的取值范围是；
（2）解：若有两个零点，则，
得．
，令，则，
故，
则，
，
令，则，
令，则，
在上单调递增，
，
，则在上单调递增，
，即，
故.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围。
（2）利用已知条件结合函数的零点求解方法，从而构造函数结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再利用对数函数的单调性，从而证出不等式成立。
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