江西省吉安市峡江中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（九省联考题型）（PDF版无答案）

机密★启用前（新题型）
2023—2024 学年度峡江中学高二年级第一学期期末教学质量检测
数学试题卷
命题：高二数学备课组 （考试时间：120 分钟 卷面总分：150 分） 2024.1
注意事项：
1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。

1． 在正四面体 P ABC中，棱长为 2，且 E是棱 AB中点，则 PE BC的值为
A．-1 B．-2 C．-3 D．-7
2． 已知(x2+x+a)(2x-1)6展开式中各项系数之和为3，则展开式中 x的系数为
A．-10 B． 11 C． 13 D． 15
3． 在空间直角坐标系O xyz中，A(8，0，0)，B(0，8，0)，C(0，0，8)，则三棱锥O ABC内部整点（所
有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数为
A．35 B．36 C．84 D．21
x2 y24． 已知椭圆 F，F PQ F P，Q
a2
2 1 (a> b> 00) 的左、右焦点分别为 1 2，直线 过b 1 与椭圆交于 两点，若
2 PF1 3 PF2 6 QF1 ，则椭圆的离心率是
A 2 13． B 3 13． C 10 10． D．
13 13 5 4
5． 如图，在四棱锥 P ABCD中，已知 PA 平面 ABCD， BAD 90 ，BC∥AD，
PA AB BC 1 AD 2，已知Q是四边形 ABCD内部一点（包括边界），且二面
2
角Q PD A
π
的平面角大小为 ，若点M 是 PC中点，则四棱锥M ADQ体积的
3
最大值是
A 4 15 B 8 15 C 4 15
4
． ． ． D．
15 15 5 3

6． 向量 a，b 满足| b| b| |=1,1 ，a =30 ，则| a |的取值范围是
A．[ 2 1, 2 1] B．[ 3 1, 3 1] C． [ 5 1, 5 1] D．[ 6 1, 6 1]
7． 已知抛物线C : y2 4x，M 是直线 y x 4上的一个动点，过M 作抛物线C的两条切线，切点分别为
A，B，若 H为圆N : (x 3)2 (y 4)2 5 上的动点，则点 H到直线 AB距离的最大值为
A． 5 B．5 C．2 D． 2 5
数学试题卷 第 1页（共 4页）
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8． 如图，在杨辉三角形中，斜线 l的上方从 1按箭头所示方向可以构成“锯齿形”的一列数：1，3，3，4，
6，5，10…，记此列数的前 n项之和为 Sn，则 S32的值为
A．452 B．848 C．984 D．1003
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9． 若 (1 2x)2n a0 a1x a x
2
2 a2nx
2n
，则
2n n n
i 2 n 9n 1A． a0 1 B． ai 1 C． (Cn ) C2n D． a2i
i 0 i 0 i 1 2
10．已知圆C： x2 y2 2，点 P为直线 l： x 2y 4 0上一动点，点Q在圆C上，以下四个命题表述正
确的是
A．直线 l与圆C相离
B．圆C上有 2个点到直线 l的距离等于 1
C．过点 P向圆C引一条切线 PA，其中 A 6为切点，则 PA的最小值为
5
1
D．过点 P向圆C引两条切线 PA、 PB，A、B为切点，则直线 AB经过点 ,- 1
2
2
11．已知双曲线 E : x2 y 1 3的左 右焦点分别为 F
3 1
、 F2，过点C(1, )的直线 l与双曲线 E的左 右两支分
2
别交于 P、Q两点，以下四个命题表述正确的是
A．当点C为线段 PQ的中点时，直线 l的斜率为 3
B．若 A(-1，0)，则 QF2A 2 QAF2
C． PF1 PF2 PO
2
D．若直线 l 2 3的斜率为 ，且 B(0, 3)，则 PF1 QF1 PB QB
3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一
个开关 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）
的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
按 1次，则(2，3)和(4，1)的最终状态都未改变的概率为 .
(3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
13．已知正四棱台 ABCD A1B1C1D1 ,AB 3,A1B1 1,AA1 2,M 是C1D1的
(4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
中点，在直线 AA1、BC上各取一个点 P、Q，使得 M、P、Q三点共
线，则线段 PQ的长度为 .
数学试题卷 第 2页（共 4页）
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y2 214 x．已知双曲线 2 2 1( aa> 0，0,b> 00)的 两个焦点分别为 F1(0，-c)，F2(0，c)，c 0，以 F1F2 为直径的圆与a b
c 2 b2
双曲线在第一象限的交点为 P，若直线 PF 21与圆 E：x y 相切，则双曲线的离心率是 .
3 9
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。其中 15~18题为必考
题，每个试题考生都必须作答；19题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60分.
15．（13分）
有 5对夫妇和 A，B共 12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有 12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算
相同坐法），而后进行合影留念.
（1）就餐时，5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多
少种坐法；
（2）合影时，若随机选择 5人站成一排进行合影，求有且只有 1对夫妇被选中且合影时相邻的概率.
16．（15分）
已知圆 C的圆心为 C(a，b)（a 0且b 0），ab 1，圆 C与 x轴、y轴分别交于 A，B两点（与坐标
原点O不重合），且线段 AB为圆 C的一条直径．
（1）求证：△AOB的面积为定值；
（2）若直线 x y 0经过圆 C的圆心，设 P是直线 l : x 2y 2 0上的一个动点，过点 P作圆 C的切
线 PG，PH，切点为 G，H，求线段 GH 长度的最小值．
17．（15分）
如图，在多面体 ABCDEF 中，侧面 BCDF 为菱形，侧面 ACDE为直角梯形，AC / /DE, AC CD,M ,N分
别为DF , AB的中点，且 BC 2, AC 2DE, CBF 60 .
（1）证明：MN / /平面 ACDE；
10 3
（2）若平面 BCDF 平面 ACDE，多面体 ABCDEF的体积为 ，求直线 MN与平面 ABF所成角的
3
正弦值.
数学试题卷 第 3页（共 4页）
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18．（17分）
已知抛物线 C：y2=2px的焦点 F在 x轴正半轴上，过 F的直线 l交 C于 A，B两点，过 F与 l垂直的直
线交 C于 D，E两点，其中 B，D在 x轴上方，M，N分别为 AB，DE的中点．已知当 l的斜率为 2时，|AB|=5.
（1）求抛物线 C的解析式；
（2）试判断直线 MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）设 G为直线 AE与直线 BD的交点，求△GMN面积的最小值．
（二）选考题：共 17分.请考生在 19（a）、19（b）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
19（a）．（17分）
2 2
已知点 A(4，7)，集合 S (x, y)
x y
∣ 1 ，点 P S ，且对于 S中任何异于 P的点 Q，都有 AP PQ 0．
16 12
1 P x
2 y2
（ ）试判断点 关于椭圆 1的位置关系，并说明理由；
16 12
（2）求 P的坐标；
x2 y2
（3）设椭圆 1的焦点为 F1,F2，证明： APF1 APF16 12 2
．
[参考公式：(ad -bc)2+(ac + bd)2= (a2+ b2)(c2 + d2).]
19（b）．（17分）

已 知 集 合 A a1,a2 , ,an n N ， 规 定 ： 若 集 合 A1 A2 Am A m 2,m N ， 则 称
A1, A2 , , Am 为集合 A 的一个分拆，当且仅当： A1 B1， A2 B2 ，…， Am Bm 时， A1, A2 , , Am 与
B1,B2 , ,Bm 为同一分拆，所有不同的分拆种数记为 fn m .例如：当 n 1，m 2时，集合 A a1 的所有
分拆为： a1 a1 ， a1 ， a1 ，即 f1 2 3 .
（1）求 f2 2 ；
（2）试用 m，n表示 fn m ；
（3）设 F m fn 1 fn 2 fn m ，规定 fn 1 1，证明：当m 2时，F m 与m同为奇数或者
同为偶数.
数学试题卷 第 4页（共 4页）
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