1.2矩形的性质和判定导学学案（1）
学法指导
1．能运用综合法证明矩形性质定理。
2．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。
二、回顾旧知
1．平行四边形具有哪些性质？你了解哪些特殊的平行四边形？
2．这些特殊的平行四边形与平行四边形有哪些关系？
3．能用一张图来表示它们之间的关系吗？
三、超前体验
第一环节：创设情景，导入新课
问题：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察：
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？
（2）在运动过程中四边形不变的是什么？
（3）在运动过程中四边形改变的是什么？
（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形
矩形的定义：——————————————————————————————————————。
第二环节：分组讨论，探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？
性质 边 角 对角线 对称性
矩形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形
问题2
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；
（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？
结论：矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等.
第三环节：层层递进，推理论证
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。
求证(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
(2) AC=BD
第四环节：乘胜追击，完善性质
问题1：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。
（1）矩形是不是中心对称图形 如果是，那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形 如果是，那么对称轴有几条
结论：——————————————————————————————————————————————。
问题2：请你总结一下矩形有哪些性质？
归纳概括矩形的性质：
从边来说，——————————————————————————————
从角来说，——————————————————————————————
从对角线来说，——————————————————————————
从对称性来说，——————————————————————————。
问题3：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
第五环节：建构新知，发展问题
问题1： （1） 矩形的两条 ( http: / / www.21cnjy.com )对角线可以把矩形分成几个直角三角形？ （2）在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？ （3）你能发现它有什么特殊的性质吗？ （4）你能借助于矩形加以证明吗？
定理：——————————————————————————————————————。
练一练
已知△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;
(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则
AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.
第六环节：合作交流，解决问题
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
第七环节：反思交流，反馈提高
1.本节课你学到了什么？
（1）矩形定义
（2）矩形的性质
（3）直角三角形的性质
（4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全 ( http: / / www.21cnjy.com )等的直角三角形；两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，矩形的问题可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。
自我检测。
（1）下列说法错误的是（ ）．
A.矩形的对角线互相平分 B. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 矩形的对角线相等。
（2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的长和宽分别为 _____。
提高练习：
一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长
一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个矩形较短的边
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论
4、证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。1.2矩形的性质与判定学案（3）
知识与技能：
知识目标：能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；提高实际动手操作能力。
2、 能力目标：经历探索、猜 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；
过程与方法：通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科
学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
情感态度价值观：通过课堂的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )自主探究活动，让学生感受合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，激发学生学习数学的激情，树立学好数学的信心。
教学过程：本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习导入；第二环节：讲授新课；第三环节：巩固提高；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。
第一环节 复习导入
1.如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD= 120°，AB=2.5cm，则∠DAO= ,AC= cm，_______。
2. 如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 ，可使它成为矩形。
目的：通过两道题目复习矩形的性质和判定，复习旧知识为本节课的进行热身。
学生回答解题时使用的方法，进一步为本节课的开展做铺垫。
第二环 讲授新课
如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.
解：
例4 如图1-15，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.
证明：
第三环节 巩固提高
在例题4中，若连接DE，交AC于点F（如图1-16）
试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.
线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.
练习：已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，M、N分别是BC和AD的中点.
求证：四边形BMDN是矩形.
第四环节 课堂小结:
说说你的收获。2、说说你的困惑。3、说说你的方法。
第五环节 夯实基础
1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB=30°，BD=4，求矩形ABCD的面积
2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E。已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO的度数
3、已知：如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形
4、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合。请在图中画出折痕，并求折痕的长。
5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F。
求PE+PF的值
6、如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD， BC，AC的中点。
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论。1.2矩形的性质与判定学案(2)
1、教学目标：
能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；
2、过程与方法：
经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的 ( http: / / www.21cnjy.com )推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；
3、情感态度与价值观：
通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
教学重点：矩行的性质和直角三角形的性质
教学难点：矩行的性质和直角三角形的性质的应用
教 学 过 程
第一环节：课前准备（学生完成5分钟）
活动内容：知识回顾
矩形的定义：——————————————————————————————————————————
矩形的性质：边
角
对角线
第二环节：课题引入，（学生探究10分钟）
活动内容：情境一
如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
请学生交流大体思路；
用规范的数学语言写出证明过程；
同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。
问题（1）: 随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
问题（2）: 当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：——————————————————————————————————————————————————————
已知：四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
矩形判定方法一：
数学符号语言：
情境二：李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边” ，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么
猜想：
你能证明你的结论吗？
矩形判定方法二：——————————————————————————————
数学符号语言：
第三环节：教师引导，独立证明（10分钟）
活动内容：议一议：
1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？
2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？
3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？
第四环节：实际应用，练习提高（学生独立完成10分钟）
活动内容：例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.
求□ABCD的面积.
练一练1
已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC.
求证：四边形ABCD是矩形.
练一练2
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，CM∥BD,DM∥AC.
求证:四边形OCMD是矩形.
第五环节：课堂小节，回顾思考（师生共同总结5分钟）
矩形的判定方法:
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
第六环节：巩固提高
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE、CE。
试判断四边形ABEC的形状
当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？
2、如图，点B在MN上，过AB的中点O ( http: / / www.21cnjy.com )作MN的平分线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D。试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论。
如图，已知菱形ABCD，画一个矩形，使A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍。
D
A
B
C
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
M
