2009年福建省文科数学高考样卷
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2009年福建省高考数学文科样卷
第I卷（选择题共60分）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
复数等于 A． B． C． D．
已知全集U={-1,0,1,2}，集合A={-1，2}，B={0，2}，则等于 A. {0} B.{2} C. {0，1，2} D.
已知是定义在上的奇函数，当时，，则等于 A.3 B.-3 C.6 D.-6
命题“对任意的”的否定是 A.不存在 B.存在 C.存在 D.对任意的
曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
已知直线和两个不同的平面、，则下列命题正确的是 A. 若，，则// B. 若//， //，则// C. 若，，则// D. 若//，，则
对于右边的程序框图，当输入的值是5，则输出的值是
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 1
△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，b=sinB，则a等于 A. B. C. D.
已知向量a=（2，1），b=（3，2），若a（a+b），则实数等于 A. B. C. D.
在某五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如右.下列说法正确的是 A．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙稳定 B．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲稳定 C．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定 D．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙稳定
已知圆的方程为.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为
A.10 B.20 C.30 D.40
已知函数，正实数、、满足，若实数是函数的一个零点，那么下列四个判断：
①；②；③；④．
其中可能成立的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷（非选择题共90分）
填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
双曲线的焦距为 ．
由x，y满足的约束条件，作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，则目标函数z=3x+y的最大值是________.
若函数，（0，+∞）的值恒大于4，则实数m的取值范围是_______.
为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案．据预测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务，各种方案的运煤总量Q与时间t的函数关系如下图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是＿＿＿．（填写所有正确的图象的编号）
解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（本小题满分12分） 已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R). （I）求f()的值； （Ⅱ）求f(x)的单调递增区间．
（本小题满分12分） 已知等差数列的前项和是，且. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若数列满足，求.
（本小题满分12分） 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）. （Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积； （Ⅲ）在所给直观图中连结，证明：∥面EFG. 正视图 侧视图
（本小题满分12分） 某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表. 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19. （Ⅰ）求x的值； （Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问应在初三年级抽取多少名？ （Ⅲ）已知，求初三年级中女生比男生多的概率.
（本小题满分12分） 如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(2,0)，且过点（0，）. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）是否存在过点F且斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点，使得∠AOB为锐角？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
22. （本小题满分14分） 已知为实数，x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．D． 2．A. 3．B. 4．C． 5．B. 6．A.
7．C. 8．D. 9．D. 10．C. 11．B. 12．B.
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
13．． 14．5. 15．或. 16．②.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．本题主要考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力．满分12分.
.
，
，
即时，f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递增区间为[，].
18．本题主要考查等差数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力；考查化归与转化思想．满分12分．
（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，则 解得.
因此，an=-1+2（n-1）=2n-3. （Ⅱ）由已知 （1）得，
当n≥2时， （2）.
由（1）-（2）得，
所以，又，
故.
在式（1）中，令n=1得，，
又，故.
所以.
19.本题主要考查空间几何体的直观图、三视图，空间线面的位置关系等基础知识；考查空间想像能力及推理论证能力.满分12分. （Ⅰ）如图 俯视图 （Ⅱ）所求多面体的体积 . （Ⅲ）证明：如图，在长方体中，连接，则∥. 因为Ｅ，Ｇ分别为的中点， 所以∥，从而∥. 又，所以∥平面ＥＦＧ.
20.本题主要考查概率与统计的基础知识，考查运算求解能力及应用意识.满分12分.
(Ⅰ)由,解得. (Ⅱ)初三年级人数为, 设应在初三年级抽取m人，则，解得m=12. 所以应在初三年级抽取12名. （Ⅲ）设初三年级女生比男生多的事件为，初三年级女生和男生数记为数对， 由（Ⅱ）知，则基本事件总数有： 共11个， 而事件包含的基本事件有： 共5个， 所以.
21.本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力及化归与转化思想.满分12分. （Ⅰ）由题设b=，c=2，从而a2=b2+c2=6， 所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）假设斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点，使得∠AOB为锐角，
设直线l的方程为y=k(x - 2).
所以满足题意的的直线l存在，斜率k的取值范围为
方法二： 同方法一得到.
所以满足题意的的直线l存在，斜率k的取值范围为
22.本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力及数形结合思想.满分14分. （Ⅰ）,由得， ，解得. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， , . 当时，； 当时，；
时，. 所以的单调增区间是；的单调减区间是. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增，且当或时，. 所以的极大值为，极小值为. 又因为, .
当且仅当，直线与的图象有三个交点. 所以，的取值范围为.
第I卷（选择题共60分）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
复数等于 A． B． C． D．
已知全集U={-1,0,1,2}，集合A={-1，2}，B={0，2}，则等于 A. {0} B.{2} C. {0，1，2} D.
已知是定义在上的奇函数，当时，，则等于 A.3 B.-3 C.6 D.-6
命题“对任意的”的否定是 A.不存在 B.存在 C.存在 D.对任意的
曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
已知直线和两个不同的平面、，则下列命题正确的是 A. 若，，则// B. 若//， //，则// C. 若，，则// D. 若//，，则
对于右边的程序框图，当输入的值是5，则输出的值是
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 1
△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，b=sinB，则a等于 A. B. C. D.
已知向量a=（2，1），b=（3，2），若a（a+b），则实数等于 A. B. C. D.
在某五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如右.下列说法正确的是 A．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙稳定 B．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲稳定 C．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定 D．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙稳定
已知圆的方程为.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为
A.10 B.20 C.30 D.40
已知函数，正实数、、满足，若实数是函数的一个零点，那么下列四个判断：
①；②；③；④．
其中可能成立的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷（非选择题共90分）
填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
双曲线的焦距为 ．
由x，y满足的约束条件，作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，则目标函数z=3x+y的最大值是________.
若函数，（0，+∞）的值恒大于4，则实数m的取值范围是_______.
为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案．据预测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务，各种方案的运煤总量Q与时间t的函数关系如下图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是＿＿＿．（填写所有正确的图象的编号）
解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（本小题满分12分） 已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R). （I）求f()的值； （Ⅱ）求f(x)的单调递增区间．
（本小题满分12分） 已知等差数列的前项和是，且. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若数列满足，求.
（本小题满分12分） 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）. （Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积； （Ⅲ）在所给直观图中连结，证明：∥面EFG. 正视图 侧视图
（本小题满分12分） 某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表. 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19. （Ⅰ）求x的值； （Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问应在初三年级抽取多少名？ （Ⅲ）已知，求初三年级中女生比男生多的概率.
（本小题满分12分） 如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(2,0)，且过点（0，）. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）是否存在过点F且斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点，使得∠AOB为锐角？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
22. （本小题满分14分） 已知为实数，x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．D． 2．A. 3．B. 4．C． 5．B. 6．A.
7．C. 8．D. 9．D. 10．C. 11．B. 12．B.
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
13．． 14．5. 15．或. 16．②.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．本题主要考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力．满分12分.
.
，
，
即时，f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递增区间为[，].
18．本题主要考查等差数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力；考查化归与转化思想．满分12分．
（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，则 解得.
因此，an=-1+2（n-1）=2n-3. （Ⅱ）由已知 （1）得，
当n≥2时， （2）.
由（1）-（2）得，
所以，又，
故.
在式（1）中，令n=1得，，
又，故.
所以.
19.本题主要考查空间几何体的直观图、三视图，空间线面的位置关系等基础知识；考查空间想像能力及推理论证能力.满分12分. （Ⅰ）如图 俯视图 （Ⅱ）所求多面体的体积 . （Ⅲ）证明：如图，在长方体中，连接，则∥. 因为Ｅ，Ｇ分别为的中点， 所以∥，从而∥. 又，所以∥平面ＥＦＧ.
20.本题主要考查概率与统计的基础知识，考查运算求解能力及应用意识.满分12分.
(Ⅰ)由,解得. (Ⅱ)初三年级人数为, 设应在初三年级抽取m人，则，解得m=12. 所以应在初三年级抽取12名. （Ⅲ）设初三年级女生比男生多的事件为，初三年级女生和男生数记为数对， 由（Ⅱ）知，则基本事件总数有： 共11个， 而事件包含的基本事件有： 共5个， 所以.
21.本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力及化归与转化思想.满分12分. （Ⅰ）由题设b=，c=2，从而a2=b2+c2=6， 所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）假设斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点，使得∠AOB为锐角，
设直线l的方程为y=k(x - 2).
所以满足题意的的直线l存在，斜率k的取值范围为
方法二： 同方法一得到.
所以满足题意的的直线l存在，斜率k的取值范围为
22.本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力及数形结合思想.满分14分. （Ⅰ）,由得， ，解得. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， , . 当时，； 当时，；
时，. 所以的单调增区间是；的单调减区间是. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增，且当或时，. 所以的极大值为，极小值为. 又因为, .
当且仅当，直线与的图象有三个交点. 所以，的取值范围为.
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