湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年高一元月期末考试
数学试卷
2024.1
本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则等于（ ）
A. B. C. D.
6.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知正实数满足：，则的值是（ ）
A. B.2 C. D.3
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则（ ）
A.函数的最小正周期为
B.函数的定义域为
C.函数的图象的对称中心为
D.函数的单调递增区间为
11.镇江五峰山长江大桥是世界首座千米级公铁两用悬索桥，其两个主塔之间的悬索可近似看作一条“悬链线”“悬链线”的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数为，则（ ）
A.双曲正切函数是偶函数
B.
C.
D.若时，恒成立，则
12.已知函数是定义域为的奇函数，直线是函数的图象的一条对称轴，当时，，则（ ）
A. B.
C.在上单调递减 D.方程恰有10个解
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.__________.
14.函数满足，请写出一个符合题意的函数的解析式__________.
15.酒驾新规来了，2024年3月1日起实施，新国标将酒驾的上限从降低到了，也就是说，只要驾驶员血液中酒精含量超过了，就属于违法行为.某人饮酒后，体内血液酒精含量迅速上升到，然后血液酒精含量会以每小时的速度减少，则按照新规他至少经过__________小时后才能开车.（参考数据：）
16.已知函数，若 ，则__________，的取值范围为__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（10分）
已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（12分）
已知幂函数为偶函数.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式.
19.（12分）
已知函数，且函数在区间上的值域为.
（1）求函数的解析式；
（2）令函数，求函数的单调递增区间.
20.（12分）
已知，函数.
（1）判断函数的单调性，并用定义证明；
（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21.（12分）
随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示：
60 70 80 90 100
8.8 11 13.6 16.6 20
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②.
（1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）.若不充电，该电动汽车能否到达地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从地到达地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值.
22.（12分）
已知函数，函数与互为反函数.
（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；
（2）求证：函数仅有1个零点，且.
高一数学期末考试试题
参考答案
一 选择题：
1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.A 8.C
二 多选题
9.BD 10.ABD 11.BCD 12.AC
三 填空题：
13.6
14.或或或或
（注：答案不唯一，填对任意一个均可得满分，且前面4个函数不需要加附加定义域.但若答案中掉了这一条件，不能得分.）
15.7
16.；
四 解答题：
17.【解析】（1）由题意：，则或，所以.
（2）若时，则.
当时，则①，解得；
当时，则②解得.
综上所述：的取值范围是.
（注：第（2）小题没有分两种情况讨论扣2分；每种情况下根据条件得到正确不等式（组）得1分，正确解出不等式（组）再得1分）
18.【解析】（1）由题意，，解得或.
当时，，显然成立，故为偶函数，符合题意；
当时，，此时的定义域为，关于原点不是对称区间，
故不是偶函数，不符合题意.
故函数.
（2）因为，则不等式等价于，即.
当时，有，不等式的解集为；
当时，有，不等式的解集为；
当时，有，不等式的解集为.
（注：第（2）小题，若每种情况下没有写成集合形式，不予扣分.）
19.【解析】（1）当时，，则，
所以，由题意：解得
故.
（2）由题意：，令，则，
解得.
又由得，
即当时，单调递增，
此时也单调递增，故函数的单调增区间为.
（注：若第（2）小题的结论中掉了，扣1分；注意单调增区间的多种表达形式，
如也是正确的.）
20.【解析】（1）.
令解得：，则的定义域为，关于原点对称，
当时，，所以为偶函数.
任取，且，
则
因为，所以，则，
又因为，则，所以，所以在上单调递减.
由偶函数的性质知在上单调递增，在上单调递减.
（2）不等式等价于.
由（1）得，当时，在时取得最大值0.
又，当且仅当时，取得最小值2，
所以当时，取得最大值-2，
所以实数的取值范围为.
（注：第（2）小题也可证明函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值-2，故.）
21.【解析】（1）选择函数模型①，由题意有：
解得：
所以.
（2）设耗电量为，则，
函数在区间单调递增，所以，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达地.
又设行驶时间与充电时间分别为，总和为，若能到达地，
则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，
即，解得，
所以总时间，
当且仅当，即时取等，所以该汽车到达地的最少用时为小时.
（注：若第（1）小题方程组的解出现错误，第（2）小题不予给分）
22.【解析】（1）因为函数与互为反函数，所以.
因为的值域为，所以能取遍的所有值，
当时，能取遍的所有值，符合题意；
当时，则只需解得，
综上所述：实数的取值范围为；
（2），定义域为.
因为，，
由零点存在定理有，存在零点，使得，
又因为是增函数，所以仅有1个零点，且.
等价于，
令，显然函数在定义域上单调递增，
因为，所以，
因为，所以，则.
所以，故，得证.
（注：在第（2）小题，若不证明，直接由得到扣1分）