广西柳州二中、鹿寨中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含答案）

柳州二中、鹿寨中学2023级高一上学期期末考数学科试题
考试时间：120分钟；满分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B. C. D.
3.下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，，则
C.，
D.“”是“”的充分不必要条件
4.下列函数中，最小正周期是且是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5.要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
6.加快县域范围内农业转移人口市名化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点.某高二数学兴趣小组，通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以的增长率递增，若要据此预测该县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在上恰有2个不同零点，则正实数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下殀说法正确的是（ ）
A.若幂函数的图象过点，则
B.函数与函数表示同一个函数
C.若在上单调递增，则的取值范围为
D.函数的零点可能位于区间中
10.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.函数的图象关于点对称
B.
C.函数的图象关于直线对称
D.函数在区间上单调递增
12.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（ ）
A.
B.若，则
C.若，则
D.，，使得
第II卷（非选择题）
三.填空题：本题共4小题，每小题5分。共20分。
13.已知一扇形的圆心角为，弧长是，则扇形的面积是______.
14.求值______.
15.已知，则______.
16.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题10分）
（1）若不等式的解集为，求不等式的解集.
（2）；
18.（本小题12分）已知，
（1）求的值
（2）.
19.（本小题12分）
（1）已知角的终边过点，且，求的值；
（2）已知，，且，求.
20.（本小题12分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期和对称轴.
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
21.（本小题12分）
建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计。某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调。如图是该市冬季某一天的气温（单位：0℃）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足，关系.
（1）求的表达式；
（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
22.（本小题12分）
已知函数的图象关于原点对称，其中.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
柳州二中、鹿寨中学2023级高一上学期期末考试
数学参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B C C D B B A AD ABD ABD ACD
7.B【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，又因为，，，所以，选B.
8.A【详解】∵函数，当，∴，在上恰有2个不同零点；∴，∴，故选：A.
9.AD【详解】对于A，因为幂函数的图象过点，所以，所以，
所以，则，故A正确；
对于B，因为的定义域为，的定义域为，故B错误；
对于C，因为的对称轴为，且开口向上，
又在上单调递增，所以，解得，故C错误；
对于D，因为是连续函数，且，，
所以根据零点存在定理可得的零点位于区间中，故D正确；故选：AD
10.ABD【详解】由，则，即，故B正确；
又，所以，，故为第二象限角，则，
，则，故D正确，
由，，则，故C错误；
又，即有，，又，故，故A正确.
11.【答案】ABD
【解析】由图象可得：，最小正周期为，所以，
又，，，又，所以，所以.
对于A，，所以是的一个对称中心，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，令，解得：，，令，，所以D正确.故选：ABD
12.ACD【详解】由，得：函数是上的偶函数，
由，，得：在上单调递增，
对于A，，A正确；
对于B，，又函数的图象是连续不断的，
则有，解得，B不正确；
对于C，由及得，，解得或，
由得：，解得，
化为：或，解得或，即，C正确；
对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增，
因此，，，取实数，使得，则，，D正确.故选：ACD
13. 14. 15. 16.
15.【详解】.
16.【详解】由得，所以，所以，
所以，当且仅当，时，等号成立，所以，
所以恒成立，可化为，即，解得.
17.【详解】（1）由题意得：，3就是方程的两根，
∴，则，
∴
即，即
∴不等式的解集为：
（2）原式
18.【详解】（1）因为，
又因为，所以
（2）
.
19.【详解】解：（1）因为角的终边过点，且，
所以，解得，即，
所以，
所以，，所以；
（2）因为，，所以，
又，，所以，
所以
所以，
因为所以
20.【详解】（1）
所以函数的最小正周期
由，，∴对称轴为，
（2）因为，所以，
当，即时，；
当，即时，，
故函数在区间上的最小值为0，最大值为3
21.【详解】（1）由题意，，，
所以，又，所以，
又因为过，∴，
即
∴，
∵，∴
所以
（2）根据题设，由（1）得，即，
由的图像得，，
解得，
又因为，
当时，，
当时，，
所以或，
所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时.
22.【详解】（1）∵函数的图象关于原点对称，
∴函数为奇函数，
∴，即，
解得或（舍），
∵，
∵在递减，所以，
所以恒成立，
∴，即的取值范围为；
（2）由（1）知，即，
即，即在上有解，
∵在上单调递减，
，，
∴的值域为
∴