广东省江门市鹤山市重点中学2023-2024学年高一上学期数学第二阶段考试试卷
一、单项选择题：本大题共8题，每题5分，共40分．
1．集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021高二下·滨海期末）给定函数 对于 用 表示 中的较小者，记为 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
7．若，且，则k的值为（ ）
A． B． C．15 D．225
8．已知函数有三个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4题，每题5分，共20分．
9．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，是的充分不必要条件
B．的充要条件是
C．命题“，使得”的否定是“，都有”
D．命题“，”的否定是“，”
10．（2021高一上·青岛期中）下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．最大值为
B．
C．若，则
D．的解集为
12．下列说法正确的是（ ）
A．函数（且）的图像恒过定点
B．若不等式的解集为或，则
C．函数的最小值为6
D．函数的单调增区间为
三、填空题：本大题共4题，每题5分，共20分．
13．已知集合，，若，则 .
14．（2023高一上·苏州期中）已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为 .
15．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是 .
16．（2020高一上·和平期末）若函数 满足对任意的实数 都有 成立，则实数 的取值范围是 .
四、解答题：本大题共6题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分．
17．
（1）计算：；
（2）已知，求的值．
18．已知函数.
（1）判断函数的单调性，并证明你的结论；
（2）若函数在区间（，1）上有零点，求a的取值范围.
19．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围.
20．（2023高一上·定州期末）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．
（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
21．已知函数的幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
22．（2020高一上·天津期末）已知函数 的图象过点 ， .
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 在区间 上有零点，求整数k的值；
（3）设 ，若对于任意 ，都有 ，求m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由题意可得 图中阴影部分表示的集合为 A中去掉B的元素，
所以 图中阴影部分表示的集合为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意结合韦恩图运算求解.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若，例如，但 ，即充分性不成立；
若 ，等价于，可得，即必要性成立；
综上所述：“”是“”的必要不充分条件 .
故答案为：B.
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.
3．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，，即，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据题意结合指、对数函数单调性分析求解.
4．【答案】B
【知识点】函数图象的作法；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令 ，则，
在同一坐标系内作出的图象，
由图象可知有且仅有一个交点，即只有一个零点，
且，
所以 函数的零点所在的区间是 .
故答案为：B.
【分析】令 ，则，结合图象只有一个零点，再根据零点存在性定理分析判断.
5．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为 的定义域为R，且 ，
可知为奇函数，故AB错误，
且，故C错误；
故答案为：D.
【分析】根据函数奇偶性以及特殊值分析判断.
6．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；分段函数的应用
【解析】【解答】解：令 ，即 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，
当 或 时， ，
所以，函数 的最大值为3。
故答案为：C．
【分析】利用给定函数 对于 用 表示 中的较小者，记为 ， 从而求出分段函数的解析式，再利用分段函数的解析式求出函数 的最大值。
7．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，
因为 ， 则，可得，
又因为 ， 则，
所以，即.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，结合对数的运算求解.
8．【答案】A
【知识点】函数的图象；函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可知，
令 ，可得，
作出的图象
若 函数有三个零点， 即与有三个交点，
则，可得 .
故答案为：A.
【分析】由题意分析可知与有三个交点，结合图象分析求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A：若 ， ，则 ，即充分性成立；
若，例如，，不满足， ，即必要性不成立，
综上所述： ，是的充分不必要条件 ，故A正确；
对于B： 若，例如，，则 不成立，即充分性不成立，故B错误；
对于C：命题“，使得”的否定是“，都有”故C正确；
对于D：命题“，”的否定是“，”，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】对于AB：根据充分、必要条件分析判断；对于CD：根据命题的否定分析判断.
10．【答案】A,C
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 ， 是偶函数，且在 上单调递增， 是奇函数， 在 上单调递减
故答案为：AC
【分析】根据题意由函数奇偶性和单调性的性质，对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】B,D
【知识点】函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：作出函数 的 图象，
对于A：可知 无最大值，故A错误；
对于B： ，故B正确；
对于C： 若，则 或，故C错误；
对于D： 的解集为，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】作出函数 的 图象，结合图象逐项分析判断.
12．【答案】B,D
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：对于A：令，可得，
所以 函数（且）的图像恒过定点，故A错误；
对于B： 若不等式的解集为或，
则 若方程的解集为或，且，
可得，解得，所以 ，故B正确；
对于C：因为 ，
当且仅当，即时，等号成立，
显然不成立，所以 函数的最小值不为6，故C错误；
对于D：令，解得，即函数的定义域为 ，
因为的单调递增区间为 ，且在定义域内单调递增，
则的单调递增区间为，
又因为在定义域内单调递增，所以 函数的单调增区间为 ，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】对于A：根据指数函数的定点分析求解；对于B：根据三个二次之间的关系分析求解；对于C：根据基本不等式运算求解；对于D：根据符合函数单调性分析求解.
13．【答案】0
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；并集及其运算
【解析】【解答】解： 若， 则有：
若，则，不合题意；
若，即，则 ，，
此时，符合题意；
综上所述： .
故答案为：0.
【分析】根据交集的运算结合集合的互异性运算求解.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】偶函数在区间上单调递减，且，时，，时，，
，即或，求得.
故答案为：.
【分析】根据偶函数性质得当时，，时，，进而求的解集.
15．【答案】
【知识点】对数的概念与表示；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：当 ，可得 .
故答案为：.
【分析】代入，结合对数运算即可.
16．【答案】[4，8)
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】 对任意的实数 都有 成立，
函数 在 上单调递增，
，
解得： ， ，
故答案为：[4，8)。
【分析】利用增函数的定义结合已知条件，判断出函数是增函数，再利用函数的单调性，从而求出实数a的取值范围。
17．【答案】（1）原式 ；
（2）因为 ，则 ，即，
，即，
可得，
所以 .
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】 (1) 根据指数幂运算求解；
(2) 根据 ，，之间的平方关系，以及立方和公式运算求解.
18．【答案】（1）解：在上单调递增，
对任意 ，令，
则 ，
因为，则，
可得，即，
所以在上单调递增.
（2）由（1）可知：在上单调递增，
若 函数在区间（，1）上有零点，
则 ，解得，
所以 a的取值范围 为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数函数单调性的应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1) 根据函数性质判断单调性并结合单调性的定义分析证明；
(2) 根据函数单调性结合零点存在性定理分析证明.
19．【答案】（1）解：因为开口向上，对称轴为，
且 ， 可知当时，，
若命题：“，都有不等式成立”是真命题.
则，解得，
所以 实数的取值集合.
（2）解： 若是的充分条件， 则，
不等式 ，可得，
若，可得，
则，即；
若，可得，符合题意，
综上所述： 实数的取值范围 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件；全称量词命题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】 (1)根据恒成立问题结合二次函数的最值分析求解；
(2) 由题意可知：，分和两种情况，结合一元二次不等式分析求解.
20．【答案】（1）解：由题意可得，
由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利．
（2）解：方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值160，
此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，
平均盈利额为
，
当且仅当，即时等号成立；
即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元．
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1） 由题意可得，由得，又，即可求得结果；
（2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.
21．【答案】（1）解：由题意可得：，解得，
所以；
（2）解：由（1）可得，
则函数图像开口向下，对称轴为：，
当时，函数在区间[上 单调递减，
则的最大值为，解得，符合题意；
当时，函数在区间上单调递增，
则的最大值为，解得，符合题意；
当时，则的最大值为，
解得，不符题意；
综上所述：存在实数满足题意.
【知识点】函数的最大（小）值；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据幂函数的定义和性质分析求解；
(2) 由（1）可得，分、和三种情况，结合二次函数单调性分析求解.
22．【答案】（1）解：函数 的图像过点 ，所以 ，解得 ，
所以函数 的解析式为 .
（2）解：由（1）可知 ， ，
令 ，得 ，
设 ，则函数 在区间 上有零点，
等价于函数 在 上有零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的取值为2或3.
（3）解：因为 且 ，所以 且 ，
因为 ，
所以 的最大值可能是 或 ，
因为
所以 ，
只需 ，即 ，
设 ， 在 上单调递增，
又 ，∴ ，即 ，所以 ，
所以m的取值范围是 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用对数型函数图象过点 ，求出a的值，进而求出函数 的解析式 。
（2） 由（1）可知 ， ， 再利用函数零点的定义，
设 ，则函数 在区间 上有零点，等价于函数 在 上有零点，从而利用零点存在性定理，从而求出整数k的值。
（3） 因为 且 ，所以 且 ，因为 ，再利用二次函数图象求最值的方法，从而求出函数 的最大值可能是 或 ， 再利用函数的单调性定义求出函数g(x)的最大值，则只需 ，即 ，设 ，再利用增函数的定义判断函数h(m)为增函数，再利用函数h(m）的单调性，从而求出实数m的取值范围。
1 / 1广东省江门市鹤山市重点中学2023-2024学年高一上学期数学第二阶段考试试卷
一、单项选择题：本大题共8题，每题5分，共40分．
1．集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由题意可得 图中阴影部分表示的集合为 A中去掉B的元素，
所以 图中阴影部分表示的集合为 .
故答案为：B.
【分析】根据题意结合韦恩图运算求解.
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若，例如，但 ，即充分性不成立；
若 ，等价于，可得，即必要性成立；
综上所述：“”是“”的必要不充分条件 .
故答案为：B.
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，，即，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据题意结合指、对数函数单调性分析求解.
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数图象的作法；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令 ，则，
在同一坐标系内作出的图象，
由图象可知有且仅有一个交点，即只有一个零点，
且，
所以 函数的零点所在的区间是 .
故答案为：B.
【分析】令 ，则，结合图象只有一个零点，再根据零点存在性定理分析判断.
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为 的定义域为R，且 ，
可知为奇函数，故AB错误，
且，故C错误；
故答案为：D.
【分析】根据函数奇偶性以及特殊值分析判断.
6．（2021高二下·滨海期末）给定函数 对于 用 表示 中的较小者，记为 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；分段函数的应用
【解析】【解答】解：令 ，即 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，
当 或 时， ，
所以，函数 的最大值为3。
故答案为：C．
【分析】利用给定函数 对于 用 表示 中的较小者，记为 ， 从而求出分段函数的解析式，再利用分段函数的解析式求出函数 的最大值。
7．若，且，则k的值为（ ）
A． B． C．15 D．225
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，
因为 ， 则，可得，
又因为 ， 则，
所以，即.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，结合对数的运算求解.
8．已知函数有三个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可知，
令 ，可得，
作出的图象
若 函数有三个零点， 即与有三个交点，
则，可得 .
故答案为：A.
【分析】由题意分析可知与有三个交点，结合图象分析求解.
二、多项选择题：本大题共4题，每题5分，共20分．
9．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，是的充分不必要条件
B．的充要条件是
C．命题“，使得”的否定是“，都有”
D．命题“，”的否定是“，”
【答案】A,C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A：若 ， ，则 ，即充分性成立；
若，例如，，不满足， ，即必要性不成立，
综上所述： ，是的充分不必要条件 ，故A正确；
对于B： 若，例如，，则 不成立，即充分性不成立，故B错误；
对于C：命题“，使得”的否定是“，都有”故C正确；
对于D：命题“，”的否定是“，”，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】对于AB：根据充分、必要条件分析判断；对于CD：根据命题的否定分析判断.
10．（2021高一上·青岛期中）下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 ， 是偶函数，且在 上单调递增， 是奇函数， 在 上单调递减
故答案为：AC
【分析】根据题意由函数奇偶性和单调性的性质，对选项逐一判断即可得出答案。
11．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．最大值为
B．
C．若，则
D．的解集为
【答案】B,D
【知识点】函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：作出函数 的 图象，
对于A：可知 无最大值，故A错误；
对于B： ，故B正确；
对于C： 若，则 或，故C错误；
对于D： 的解集为，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】作出函数 的 图象，结合图象逐项分析判断.
12．下列说法正确的是（ ）
A．函数（且）的图像恒过定点
B．若不等式的解集为或，则
C．函数的最小值为6
D．函数的单调增区间为
【答案】B,D
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：对于A：令，可得，
所以 函数（且）的图像恒过定点，故A错误；
对于B： 若不等式的解集为或，
则 若方程的解集为或，且，
可得，解得，所以 ，故B正确；
对于C：因为 ，
当且仅当，即时，等号成立，
显然不成立，所以 函数的最小值不为6，故C错误；
对于D：令，解得，即函数的定义域为 ，
因为的单调递增区间为 ，且在定义域内单调递增，
则的单调递增区间为，
又因为在定义域内单调递增，所以 函数的单调增区间为 ，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】对于A：根据指数函数的定点分析求解；对于B：根据三个二次之间的关系分析求解；对于C：根据基本不等式运算求解；对于D：根据符合函数单调性分析求解.
三、填空题：本大题共4题，每题5分，共20分．
13．已知集合，，若，则 .
【答案】0
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；并集及其运算
【解析】【解答】解： 若， 则有：
若，则，不合题意；
若，即，则 ，，
此时，符合题意；
综上所述： .
故答案为：0.
【分析】根据交集的运算结合集合的互异性运算求解.
14．（2023高一上·苏州期中）已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】偶函数在区间上单调递减，且，时，，时，，
，即或，求得.
故答案为：.
【分析】根据偶函数性质得当时，，时，，进而求的解集.
15．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是 .
【答案】
【知识点】对数的概念与表示；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：当 ，可得 .
故答案为：.
【分析】代入，结合对数运算即可.
16．（2020高一上·和平期末）若函数 满足对任意的实数 都有 成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】[4，8)
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】 对任意的实数 都有 成立，
函数 在 上单调递增，
，
解得： ， ，
故答案为：[4，8)。
【分析】利用增函数的定义结合已知条件，判断出函数是增函数，再利用函数的单调性，从而求出实数a的取值范围。
四、解答题：本大题共6题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分．
17．
（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）原式 ；
（2）因为 ，则 ，即，
，即，
可得，
所以 .
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】 (1) 根据指数幂运算求解；
(2) 根据 ，，之间的平方关系，以及立方和公式运算求解.
18．已知函数.
（1）判断函数的单调性，并证明你的结论；
（2）若函数在区间（，1）上有零点，求a的取值范围.
【答案】（1）解：在上单调递增，
对任意 ，令，
则 ，
因为，则，
可得，即，
所以在上单调递增.
（2）由（1）可知：在上单调递增，
若 函数在区间（，1）上有零点，
则 ，解得，
所以 a的取值范围 为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数函数单调性的应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1) 根据函数性质判断单调性并结合单调性的定义分析证明；
(2) 根据函数单调性结合零点存在性定理分析证明.
19．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为开口向上，对称轴为，
且 ， 可知当时，，
若命题：“，都有不等式成立”是真命题.
则，解得，
所以 实数的取值集合.
（2）解： 若是的充分条件， 则，
不等式 ，可得，
若，可得，
则，即；
若，可得，符合题意，
综上所述： 实数的取值范围 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题；充分条件；全称量词命题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】 (1)根据恒成立问题结合二次函数的最值分析求解；
(2) 由题意可知：，分和两种情况，结合一元二次不等式分析求解.
20．（2023高一上·定州期末）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．
（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得，
由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利．
（2）解：方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值160，
此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，
平均盈利额为
，
当且仅当，即时等号成立；
即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元．
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1） 由题意可得，由得，又，即可求得结果；
（2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.
21．已知函数的幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可得：，解得，
所以；
（2）解：由（1）可得，
则函数图像开口向下，对称轴为：，
当时，函数在区间[上 单调递减，
则的最大值为，解得，符合题意；
当时，函数在区间上单调递增，
则的最大值为，解得，符合题意；
当时，则的最大值为，
解得，不符题意；
综上所述：存在实数满足题意.
【知识点】函数的最大（小）值；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据幂函数的定义和性质分析求解；
(2) 由（1）可得，分、和三种情况，结合二次函数单调性分析求解.
22．（2020高一上·天津期末）已知函数 的图象过点 ， .
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 在区间 上有零点，求整数k的值；
（3）设 ，若对于任意 ，都有 ，求m的取值范围.
【答案】（1）解：函数 的图像过点 ，所以 ，解得 ，
所以函数 的解析式为 .
（2）解：由（1）可知 ， ，
令 ，得 ，
设 ，则函数 在区间 上有零点，
等价于函数 在 上有零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的取值为2或3.
（3）解：因为 且 ，所以 且 ，
因为 ，
所以 的最大值可能是 或 ，
因为
所以 ，
只需 ，即 ，
设 ， 在 上单调递增，
又 ，∴ ，即 ，所以 ，
所以m的取值范围是 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用对数型函数图象过点 ，求出a的值，进而求出函数 的解析式 。
（2） 由（1）可知 ， ， 再利用函数零点的定义，
设 ，则函数 在区间 上有零点，等价于函数 在 上有零点，从而利用零点存在性定理，从而求出整数k的值。
（3） 因为 且 ，所以 且 ，因为 ，再利用二次函数图象求最值的方法，从而求出函数 的最大值可能是 或 ， 再利用函数的单调性定义求出函数g(x)的最大值，则只需 ，即 ，设 ，再利用增函数的定义判断函数h(m)为增函数，再利用函数h(m）的单调性，从而求出实数m的取值范围。
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